從經典理論來看，我們經常使用坐標和動量來描述系統的運動狀態。 同樣，我們還討論能量（哈密爾頓），它決定系統隨時間的演化。 事實上，我們也可以說能量描述了系統的運動狀態。 例如，能量的大小決定了物體在引力場下的軌道。 橢圓、拋物線或雙曲線； 在基本量子力學中，我們經常區分正能量和負能量來討論勢阱下粒子的束縛態或散射態。
根據經典經驗，角動量是坐標和動量的延伸。 它還描述了系統的運動狀態，即圍繞某一點的運動。 角動量守恒通常意味著相對于參考點的表面掠過速度保持不變。 當然，在某些情況下，它也揭示了系統的空間旋轉不變性。
總之，我們只是想討論量子理論中的角動量！
角動量算子
從基本量子力學的角度來看，角動量算子是基于經典關系式完全推廣的
hat L = hat r times hat p
進一步考慮坐標算子和動量算子之間的對易關系，得到角動量分量之間的對易關系。 共有三篇，我就寫一篇。
[L_x,L_y]=ihbar L_z
請注意，交換關系也是從分析力學的泊松括號中推廣而來的。 因此，我沒有采用通過空間旋轉不變性推導角動量算子的方案，而是基于正則量化方案的邏輯。 當然橢圓軌道角動量守恒嗎，還有一些非常直接尖銳的問題：既然坐標和動量不能同時確定，那么角動量怎么得到呢？
即使我們對這個問題視而不見，物理學也不會：坐標和動量的不可交換性仍然被角動量繼承，這直接導致了一個不太好的結果：角動量的三個分量不能交換。 這意味著您無法同時確定角動量的三個分量。 從某種意義上說，角動量不是量化后的矢量。
我們無法寫出以下角動量算子的特征方程，因為這三個分量沒有共同的特征向量
hat L |psi = xi |psi
我們需要找到另一種方法來描述系統的角動量。 幸運的是，我們發現角動量的平方和角動量的各個分量是可交換的，因此它們具有共同的本征態向量。
[L^2,L_z] = 0
也就是說，角動量的平方和某個角動量分量可以寫出一個共同的特征方程，這也成為我們分析的起點（這三個分量在某種意義上是等價的，出于習慣橢圓軌道角動量守恒嗎，我們選擇z方向） 。
hat L^2 |psi = b |psi
hat L_z |psi = c |psi
事實上，如果我們的系統對于空間旋轉不變并且角動量是守恒量，那么它們的共同特征向量也將是哈密頓量的特征向量，我們甚至可以添加一個哈密頓特征方程。
hat H |psi= |psi
目前，我們從角動量的描述中可以明顯感受到量子理論與經典理論的區別。 對于角動量，在量子框架中，我們只能通過它的平方值和某個分量來描述它，而不是三個權重，不容易接受。
角動量算子的特征值譜
好吧，接下來我們需要從已有的內容開始，得到角動量算子（準確的說是指角動量平方算子和角動量分量算子，角動量算子本身是沒有意義的。）對應的特征值譜？
這個分析思路很有趣，因為我們對角動量算子完全不了解。 我們只知道各分量的交換關系和角動量平方算子的定義（以下下標不再添加算子）：
L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2
根據內蘊方程我們知道
(L_x^2 + L_y^2) |psi=(bc^2) |psi
由于這個算子顯然是一個正算子，它的特征值應該是非負的，因此存在不等式。 首先記住
c^2 le b
我們知道角動量的平方和它的三個分量之間的關系，我們可以得到一個不等式，這顯然是不夠的。 我們還需要定義升序和降序算子，或者說，在擺弄角動量算子的過程中，我們無意中發現了這樣的關系：
L_z (L_x pm i L_y) =(L_x pm i L_y)(L_z pm hbar)
如果定義算子 L_+ = L_x + i L_y 使其作用于角動量分量的特征向量上，我們會發現得到以下關系
L_z L_+ |psi= (c+hbar) L_+|psi
換句話說，該算子使系統的狀態從特征值c對應的特征向量|psi變為特征值c+hbar對應的特征向量L_+|psi，從而導致角動量As z 分量增大，狀態向量也變換為相應的本征態，我們稱之為上升算子。 同理，還有歸約算子。
我們很快發現，角動量平方算子與升、降算子是可交換的，也就是說，升、降算子作用后，其狀態向量L_pm |psi仍然是平方算子的特征向量
L^2 L_pm |psi= b L_pm|psi
至此，我們意識到了一件事。 對于平方特征值b來說，它對應一系列分量特征值c，c-hbar，c+hbar，...，并且兩個特征值存在不等式。 關系c^2le b，平方特征值b約束分量特征值c的取值范圍。 當然，我們認為如果你在邊界上應用升序和降序運算符，你將一無所有，因為你已經達到了物理上不可能的狀態。 這很容易理解。 分量如何才能大于范數？假設分量特征值的最大值為c_{max}，最小值為c_{min}，則有
L_+ |psi_{b,c_{max}}=0
L_- |psi_{b,c_{min}}=0
將上式左邊分別乘以L_-和L_+可得
L_- L_+ |psi_{b,c_{max}}=(b-c_{max}^2-hbar c_{max}) |psi_{b,c_{max}} = 0
L_+ L_- |psi_{b,c_{min}}=(b-c_{min}^2+hbar c_{min}) |psi_{b,c_{min}} = 0
您還可以了解最大值和最小值之間的關系，
b-c_{max}^2-hbar c_{max} = b-c_{min}^2+hbar c_{min} = 0
簡化一下就可以了
(c_{max} + c_{min})(c_{max}-c_{min}+hbar)=0
根據這個關系，由于第二個因子明顯大于零，我們得到
c_{最大值} = -c_{最小值}
分量特征值的最大值和最小值有正有負，這意味著分量特征值的值是一系列與零值對稱的值，間隔為hbar。 最大值和最小值的差值顯然是hbar倍的整數倍，我們完全可以用l來標記，也就是說b有2l個值。
-lhbar,(-l+1)hbar, ..., (l-1)hbar, lhbar
然后我們可以進一步代入，得到角動量平方算子的特征值
l(l+1)hbar^2, l =0,1/2,1,...
角動量 z 分量算子的特征值為
mhbar, m=-l,-l+1,...,l-1,l
我們簡稱為角動量算子的特征值譜。 它表示角動量的平方和分量的可能值，用l和m標記。 前者代表系統角動量的大小，我們稱之為角量子數。 后者代表角動量分量的大小。 不同的值可以理解為不同的方向，或者說是外部磁場中角動量的方向，因此被稱為磁量子數。
我們還注意到，對于量子化的角動量，某個方向分量永遠不可能等于角動量的范數。 當角動量平方l(l+1)hbar^2確定后，最大角動量分量只能是lhbar，且其范數l^2hbar^2總是小于角動量平方，與經典的上向量的部分關系不同。 這也很容易理解，如果其他兩個分量為零，就相當于你同時確定了角動量的三個分量，但是交換關系告訴你，你永遠無法確定角動量的三個分量。
離散特征值的值告訴我們，量子背景下的角動量，無論是平方值還是分量，都是離散的、量子化的。 這根源于坐標和動量之間的關系。
為了區分不同特征值的特征向量，我們將引入下標來標記不同的角動量本征態。 請記住這個符號的含義。
|psi_{l,m}
另外，可以看到，角動量的特征值譜完全是根據角動量的交換關系得到的，與具體算子的形式和物理意義無關。 也就是說，如果我們也定義某個物理量，那么它的三個分量之間的換向關系與角動量換向關系是一樣的，可以得到同樣的結論。 這就是自旋角動量的由來。 代表軌道運動的不是傳統意義上的角動量，而是系統固有的自由度。 當然，受限于非相對論量子力學，我們目前只能理解自旋。 因此，為了區分這兩種角動量，我們分別將它們稱為軌道角動量和自旋角動量。 自旋角動量的內參方程與軌道角動量的內參方程相同：
S^2 |psi = s(s+1)hbar^2 |psi
S_z |psi = m_s hbar |psi