牛頓主要有三大成就:
1 微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學成就。牛頓為解決運動問題，才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學理論的，牛頓稱之為流數(shù)術。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數(shù)的極大和極小值問題等，在牛頓前已經(jīng)得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發(fā)明中最關鍵的一步，為近代科學發(fā)展提供了最有效的工具，開辟了數(shù)學上的一個新紀元。
2 對光學的三大貢獻.發(fā)現(xiàn)了白光是由各種不同顏色的光組成的，這是第一大貢獻。牛頓為了驗證這個發(fā)現(xiàn)，設法把幾種不同的單色光合成白光，并且計算出不同顏色光的折射率，精確地說明了色散現(xiàn)象。揭開了物質(zhì)的顏色之謎，原來物質(zhì)的色彩是不同顏色的光在物體上有不同的反射率和折射率造成的,這是第二大貢獻.公元1668年，他制成了第一架反射望遠鏡樣機，這是第三大貢獻。
3 偉大的成就～萬有引力定律.萬有引力定律是牛頓在1687年出版的《自然哲學的數(shù)學原理》一書中首先提出的。牛頓利用萬有引力定律不僅說明了行星運動規(guī)律，而且還指出木星、土星的衛(wèi)星圍繞行星也有同樣的運動規(guī)律。他認為月球除了受到地球的引力外，還受到太陽的引力，從而解釋了月球運動中早已發(fā)現(xiàn)的二均差、出差等。另外，他還解釋了慧星的運動軌道和地球上的潮汐現(xiàn)象。根據(jù)萬有引力定律成功地預言并發(fā)現(xiàn)了海王星。萬有引力定律出現(xiàn)后，才正式把研究天體的運動建立在力學理論的基礎上，從而創(chuàng)立了天體力學。
拉格朗日
拉格朗日科學研究所涉及的領域極其廣泛。他在數(shù)學上最突出的貢獻是使數(shù)學分析與幾何與力學脫離開來，使數(shù)學的獨立性更為清楚，從此數(shù)學不再僅僅是其他學科的工具。
拉格朗日總結了18世紀的數(shù)學成果，同時又為19世紀的數(shù)學研究開辟了道路，堪稱法國最杰出的數(shù)學大師。同時，他的關于月球運動(三體問題)、行星運動、軌道計算、兩個不動中心問題、流體力學等方面的成果，在使天文學力學化、力學分析化上，也起到了歷史性的作用，促進了力學和天體力學的進一步發(fā)展，成為這些領域的開創(chuàng)性或奠基性研究。
在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上，作出了有價值的貢獻，推動了代數(shù)學的發(fā)展。他提交給柏林科學院兩篇著名的論文：《關于解數(shù)值方程》和《關于方程的代數(shù)解法的研究》 。把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結為一套標準方法，即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預解式)以求解。
他試圖尋找五次方程的預解函數(shù)，希望這個函數(shù)是低于五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對后來阿貝爾和伽羅華起到啟發(fā)性作用，最終解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅(qū)。
在數(shù)論方面，拉格朗日也顯示出非凡的才能。他對費馬提出的許多問題作出了解答。如，一個正整數(shù)是不多于4個平方數(shù)的和的問題等等，他還證明了圓周率的無理性。這些研究成果豐富了數(shù)論的內(nèi)容。
在《解析函數(shù)論》以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎方面作了獨特的嘗試，他企圖把微分運算歸結為代數(shù)運算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，并想由此出發(fā)建立全部分析學。但是由于他沒有考慮到無窮級數(shù)的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實只是回避了極限概念，并沒有能達到他想使微積分代數(shù)化、嚴密化的目的。不過，他用冪級數(shù)表示函數(shù)的處理方法對分析學的發(fā)展產(chǎn)生了影響，成為實變函數(shù)論的起點。
拉格朗日也是分析力學的創(chuàng)立者。拉格朗日在其名著《分析力學》中，在總結歷史上各種力學基本原理的基礎上，發(fā)展達朗貝爾、歐拉等人研究成果，引入了勢和等勢面的概念，進一步把數(shù)學分析應用于質(zhì)點和剛體力學，提出了運用于靜力學和動力學的普遍方程，引進廣義坐標的概念，建立了拉格朗日方程，把力學體系的運動方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變?yōu)橐阅芰繛榛靖拍畹姆治隽W形式，奠定了分析力學的基礎，為把力學理論推廣應用到物理學其他領域開辟了道路。
他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉(zhuǎn)對稱軸上的定點轉(zhuǎn)動(拉格朗日陀螺)的歐拉動力學方程的解，對三體問題的求解方法有重要貢獻，解決了限制性三體運動的定型問題。拉格朗日對流體運動的理論也有重要貢獻，提出了描述流體運動的拉格朗日方法。
拉格朗日的研究工作中，約有一半同天體力學有關。他用自己在分析力學中的原理和公式，建立起各類天體的運動方程。在天體運動方程的解法中，拉格朗日發(fā)現(xiàn)了三體問題運動方程的五個特解，即拉格朗日平動解。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動問題，提出了彗星起源假說等。
近百余年來，數(shù)學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學史上被認為是對分析數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一。被譽為“歐洲最大的數(shù)學家”。
哈密頓
他的研究工作涉及不少領域，成果最大的是光學、力學和四元數(shù)．他研究的光學是幾何光學，具有數(shù)學性質(zhì)；力學則是列出動力學方程及求解；因此哈密頓主要是數(shù)學家．但在科學史中影響最大的卻是他對力學的貢獻．哈密頓量是現(xiàn)代物理最重要的量，當我們得到哈密頓量，就意味著得到了全部。
傅立葉
最早使用定積分符號，改進符號法則及根數(shù)判別方法。主要 貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。1807年向巴黎科學院呈交《熱的傳播》論文， 推導出著名的熱傳導方程 ，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。
1822 年在代表作《熱的分析理論》中解 決了熱在非均勻加熱的 固體中分布傳播問題，成為分析學在物理中應用的最早例證之一，對19 世紀數(shù)學和理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論 均由此創(chuàng)始。其他貢獻有：最早使用定積分符號，改進了代數(shù)方 程符號法則的證法和實根個數(shù) 的判別法等。
圖為數(shù)學家傅立葉。