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第6講 運動圖像 相對運動
6.1 學習提要
6.1.1 正比例函數及圖像
1. 正比例函數
一般地，兩個變量x,y之間的關系式可以表示成形如y=kx（k為常數，且k≠0）的形式，那么y就叫做x的正比例函數。
2. 正比例函數圖像
在平面直角坐標系中，正比例函數y=kx（k>0）的圖像是一條過原點O的傾斜直線，這條直線直觀地反映了函數y與自變量x的正比關系，如圖6-1所示。

6.1.2 勻速直線運動圖像
根據數學知識可知，勻速直線運動的路程s跟時間t之間的關系為s=vt，式中的路程s相當于正比例函數y=kx中的y，時間t相當于x，保持不變的速度v相當于比例系數k，因此，勻速直線運動的路程-時間圖像是一條過原點的傾斜直線。
物體運動的規律不但可以用公式來表示，還可以用圖像來表示。表示路程和時間關系的圖像，叫路程-時間圖像（s-t圖像）。表示速度和時間關系的圖像，叫速度-時間圖像（v-t圖像）。圖像通常是根據實驗測定的數據作出的。
例如，我們要研究一輛汽車在一段公路上運動的情況，可以在公路旁每隔100m站一名拿著停表的觀測者，記下汽車到達每個觀測者的時間，如圖6-2所示。測量的結果記入表6-1.

在平面直角坐標系中，以縱軸表示路程s的值，橫軸表示時間t，標出表示（4.9，100）、（10.0，200）、（15.1，300）、（19.9，400）的點，每個點代表一對數據。可以看出各點幾乎都在一條通過原點的直線上，如圖6-3中的直線l，有的點略微偏離這條直線，這是由于測量誤差引起的。畫出這條直線，就得到了汽車的路程-時間圖像。
從圖6-3可以看出，勻速直線運動的路程-時間圖像是過原點的一條傾斜的直線，這樣一條過原點的直線表示正比例函數，即時間t增大幾倍，路程s也增大幾倍，或者說s/t=恒量。而s/t=v，v是恒量，表示汽車是做勻速運動，根據圖像中s、t的數值，可以求出汽車

的速度為v=20.0m/s。圖6-3中的直線2是一輛勻速運動的自行車的路程-時間圖像，它的速度為5.0m/s。
利用路程-時間圖像不僅可以求出速度，還可以直接讀出任一時間內的路程。例如，利用圖6-3汽車的路程-時間圖像，可以知道12s內汽車通過的路程為240m。同樣，利用圖像也可以直接讀出通過任意路程所需的時間。
在平面直角坐標系中，以縱軸表示速度，橫軸表示時間，根據實驗數據可以畫出速度-時間圖像。勻速直線運動的速度不隨時間而改變，所以它的速度-時間圖像是平行于橫軸的直線。圖6-4是圖6-3所表示的兩個勻速直線運動的速度圖像。圖像表明，速度不隨時間而改變。如果圖像與橫軸的距離越大，速度就越大。利用圖像還可以求物體在時間t內通過的路程，數值上等于矩形OABt的面積，如圖6-5所示。


6.1.3 相對運動的速度
兩物體相對于地面的運動速度分別為v1和v2（v1>v2），當兩物體沿一直線向相反方向運動時，若選其中之一為參照物，則另一物體相對于它的速度大小為原來相對于地面的速度之和，即v=v1+v2；當兩物體沿一直線同方向運動時，若選其中一個為參照物，則另一個相對于它的速度大小為原來各自相對于地面的速度之差v=v1-v2。例如船在航行中考慮水流速度時，可以用上述方法求得合速度。

6.2 難點釋疑
6.2.1 如何獲得勻速直線運動圖像信息
圖6-6是一物體在某段時間內運動的路程-時間圖像，從圖像中可以獲得許多關于物體運動的信息：如在0~2s內物體是做勻速直線運動，速度大小為1m/s；2~4s內物體處于靜止狀態；4~7s物體繼續做勻速直線運動，速度大小為1.33m/s等。

6.2.2 行船問題和自動扶梯問題
如果小船在靜水中劃行的速度為v1，水流速度為v2，則小船順流而下時相對于岸的速度v順=v1+v2，小船逆流而上時相對于岸的速度v逆=v1-v2。
在自動扶梯問題中，若自動扶梯向上運動的速度為v1，人在靜止的扶梯上行走的速度為v2，則人沿上行的扶梯上樓時，對地的速度v上=v1+v2，人沿上行的扶梯下樓時，對地的速度v下=v2-v1。

6.3 例題精析
6.3.1 勻速直線運動圖像的繪制
例1 小車從靜止開始做勻速直線運動，通過測量可得到做勻速直線運動小車的路程和時間數值（見表6-2）。
表6-2
路程s（10-2m） 0 1.8 3.6 5.4 7.2 9.0
時間t（s） 0 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30
利用表6-2中的數據，繪制出路程-時間（s-t）圖像和速度-時間（v-t）圖像。
【點撥】取縱坐標表示小車運動的路程s，橫坐標表示小車運動的時間t。表6-2中每一組對應的s、t值都可以用s-t坐標系中的一個點來表示，將這些點連起來就是一條過坐標原點的傾斜直線。由此可見，勻速直線運動的路程-時間（s-t）圖像是一條過坐標原點的傾斜直線。若用縱坐標表示速度v，橫坐標表示時間t，勻速直線運動也可用速度-時間（v-t）圖像來表示。由于做勻速直線運動的物體的速度是恒定的，所以速度-時間圖像是一條平行于時間t軸的直線。
【答案】如圖6-7所示，（a）為路程-時間（s-t）圖像；（b）為速度-時間（v-t）圖像。

【反思】從s-t圖像中，可以直接找到做勻速直線運動的物體在某一段時間內通過的路程s，或者通過某一段路程所用的時間t，也能計算出勻速直線運動的速度v。根據勻速直線運動的速度公式，在通過的路程s、所用的時間t和速度v三個物理量中，只要已知其中任意兩個量，便可求出第三個量。

6.3.2 路程-時間圖像應用
例2 某物體的路程-時間圖像如圖6-8所示，若規定向東為正方向，試分析和描述物體在各階段的運動情況。
【點撥】在分析圖像前，首先要看懂橫、縱軸所表達的物理量，然后再結合函數關系圖像去認識物理量之間的關系。
【解答】物體自計時時刻t=0開始，從原點出發向東做勻速直線運動，1s內向東運動了10m，對應圖6-8中OA段；接著從1s末到第2s末在出發點東邊10m處靜止1s，對應圖6-8中的AB段；在第3s內又向東運動了20m，對應于圖6-8中的BC段，第3s末離出發點最遠，為30m，對應圖6-8中的C點；在第3s末到第5s末，物體返回，向西運動，第5s末回到出發點，對應圖6-8中的CD段。
【反思】物體的路程-時間圖像和運動軌跡是兩個不同的概念，在直線運動中，s-t圖像可以是直線、折線和曲線，但軌跡一定是直線。

6.3.3 如何根據不同參照物判斷物體的時間運動
例3 A、B、C三列火車在一個車站。如圖6-9所示，A車上的乘客看到B車向東運動，B車上的乘客看到C車和站臺都向東運動，C車上的乘客看到A車向西運動，站臺上的人看A、B、C三列火車各向水面方向運動？
【點撥】B車上的乘客以B車為參照物，看到C車和站臺都向東運動，而實際上站臺相對于地面是靜止的，可判斷站臺上的人看到B車是向西運動。A車上的乘客以A車為參照物，看到B車向東運動，則可判定站臺上的人看到A車也在向西運動，且比B車運動快。C車上的乘客以C車為參照物，看到A車向西運動，則相對于站臺C車有可能在向西運動，且比A車、B車運動慢；C車也有可能靜止沒動；C車還有可能向東運動。
【答案】站臺上的人看到：A車向西運動；B車向西運動，且比A車慢；C車有可能靜止，有可能向東運動，有可能向西運動，但比A車、B車慢。
【反思】判斷物體是否運動時，一般先確定被研究的物體，其次選定參照物，最后根據研究物體相對參照物的位置是否發生變化來確定。如果被研究物體相對于參照物位置改變了，則它是運動的；如果被研究物體相對于參照物位置不變，則它是靜止的。本題中判斷B車的運動情況是切入點。

6.3.4 如何用相對運動解錯車時間
例4 甲、乙兩列火車，車長分別為L1和L2，在相鄰的兩條軌道上，甲車以速度v1向東勻速行駛，乙車以速度v2向西勻速行駛，則甲、乙兩列火車從相遇到離開所需時間為多少？
【點撥】方法（一）是以地面為參照物，根據已知條件建立有關方程并求解。方法（二）以火車為參照物，此時的速度是相對速度。
【解答一】圖6-10分別表示出了兩車相遇和相離時刻的位置，以t表示兩車由相遇到相離的時間，則在這段時間內兩車通過的距離分別為
s1=v1t ①
s2=v2t ②
由圖6-10可以看到，s1與s2之和應等于兩車長度之和，即應有
s1+s2=L1+L2 ③
聯立以上三式，可解得t=(L_1+L_2)/(v_1+v_2 )。
【解答二】根據相對運動來求解，即以甲車為參照物，則乙車的速度（即乙車相對于甲車的速度）大小為（v1+v2），而在此過程中，乙車通過的距離為L1+L2，則所經歷的時間應為
t=(L_1+L_2)/(v_1+v_2 )
【答案】甲、乙兩列火車從相遇到離開所需時間為t=(L_1+L_2)/(v_1+v_2 )。
【反思】從以上兩種解法可以看出，方法（一）借助直觀的示意圖，思維要求比較低：方法（二），選取運動物體甲車為參照物，可以使問題簡化，但思維要求比較高。

6.4強化訓練
A卷
1、勻速直線運動的路程-時間圖像，橫軸t表示 ，縱軸s表示 。該圖像表示勻速直線運動 的變化規律，這個圖像 物