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第10講 杠桿
10.1 學習提要
簡單機械可以改變力的大小和方向，是人們在生產(chǎn)活動中達到省力、方便的目的。
一根硬棒，在力的作用下如果能夠繞著固定點轉(zhuǎn)動，這根硬棒就叫杠桿，如圖10-1所示，用硬棒撬動大石塊。杠桿是在特定條件下的總名稱，硬棒并不一定是直棒，可直可彎，任何形狀都可以。

10.1.1 支點、力臂、動力、阻力
1. 支點
杠桿繞著轉(zhuǎn)動的固定點，叫做支點。當有力作用在杠桿上時，杠桿繞其轉(zhuǎn)動。對杠桿本身而言，這一點是固定的。
當物體體積較大時，支點不再是一個點，而成為一個轉(zhuǎn)動軸，比如我們抬起木板時，以其與地面的接觸線為轉(zhuǎn)動軸。
2. 力臂
從支點到力的作用線的距離，叫做力臂，用字母L表示。力臂并不一定是杠桿上某一段長度，力臂的大小與其在杠桿上的作用點和動力與阻力的方向都有關(guān)。
如圖10-2所示，在力F1（或F2或F3）的作用下，硬棒OA處于水平位置靜止，同樣作用于A點的三個力F1、F2、F3，其方向不同，對應(yīng)的力臂也不同。在圖10-2中，力F1的力臂是L1，力F2的力臂是L2，力F3的力臂是L3。
3. 動力和阻力
許多場合下，動力和阻力不能絕對區(qū)分，我們可設(shè)其中一個力為動力，則另一個力為阻力，這樣的設(shè)定并不影響我們的研究。對于一個杠桿而言，動力和阻力對于使杠桿轉(zhuǎn)動作用的方向總是相反的，即若阻力使杠桿順時針旋轉(zhuǎn)時，動力就必須使杠桿逆時針旋轉(zhuǎn)，杠桿才能平衡。
當杠桿受到兩個以上的力的作用時，按使杠桿轉(zhuǎn)動方向區(qū)分動力和阻力較為方便。

10.1.2 杠桿的平衡
通常情況下，杠桿是在平衡或非常接近平衡的情況下使用的。所謂杠桿平衡，并非指杠桿一定處于水平位置而靜止，而是指杠桿在力的作用下保持靜止狀態(tài)或勻速轉(zhuǎn)動狀態(tài)。
10.1.3 杠桿平衡的條件
杠桿是否平衡由動力、動力臂、阻力、阻力臂的關(guān)系決定，我們由大量實驗得出杠桿平衡條件是“動力×動力臂=阻力×阻力臂”，即
F1?L1=F2?L2 或 F1/F2=L2/L1
當杠桿受到多個力的作用而處于平衡狀態(tài)時，則所有動力與動力臂乘積的和等于所有阻力與阻力臂乘積的和。

10.1.4 杠桿應(yīng)用的實例
1. 省力杠桿
動力臂大于阻力臂的杠桿，他雖然省力，但要多移動距離，如圖10-3所示。例如剪鐵片的剪刀、開瓶蓋的起子、撬石頭的硬棒等都是省力杠桿。
2. 費力杠桿
動力臂小于阻力臂的杠桿。它雖然費力，但可以少移動距離。比如鑷子、理發(fā)用的剪刀、釣魚竿等都是費力杠桿。
3. 等臂杠桿
動力臂等于阻力臂的杠桿。它既不省力，也不省距離。例如天平的橫梁、公園里的摩天輪等都是等臂杠桿，小孩子玩的蹺蹺板我們一般也認為是等臂杠桿。

10.2 難點解釋
10.2.1 杠桿模型的建立
在實際中由于各種各樣的杠桿其具體的形狀不同，因此在畫示意圖時，要從實際的情景中確定出“標準化”的杠桿，然后才能進行分析。
如圖10-4所示，生活中常見的鋼絲鉗就可以看成是由左右兩個杠桿組合而成的工具，以此鋼絲鉗的右邊把手為例進行分析：鋼絲對鉗口的阻力F2的方向向左，手對把手的動力F1的方向也向左，這個杠桿的模型就是圖10-4（c）的省力杠桿。

10.2.2 力臂實質(zhì)的理解
力臂的實質(zhì)，，從數(shù)學的角度來看，就是點到直線的距離，當力的作用線正好與杠桿垂直時，力臂在杠桿上，當力的作用線不與杠桿垂直時，力臂不在杠桿上。
注意：對于杠桿是省力杠桿還是費力杠桿的分析，關(guān)鍵點取決于動力臂和阻力臂的大小對比，而不是取決于用眼睛直接看到的支點某測的杠桿的長短對比，這一點是引起同學們對題意理解錯誤的最常見原因之一。
10.3 例題解析
10.3.1 關(guān)于力臂的畫法
例1 如圖10-5（a）所示，杠桿OA在力F1、F2的作用下處于靜止狀態(tài)，L2是力F2的力臂。在圖中畫出力F1的力臂L1和力F2的示意圖。

【點撥】力臂與力總是垂直的。要畫力臂，首先要找到支點O，然后由支點O作力的作用線的垂線。而要做力F2的示意圖，關(guān)鍵要過力臂L2的端點作L2的垂線，且注意力的作用點是在杠桿上。
【答案】如圖10-5（b）所示
【反思】關(guān)鍵點一：作與力臂L2相垂直的作用線（虛線），并做出直角符號（提醒自己是在做到O點距離為L2的直線）。
關(guān)鍵點二：以虛線與杠桿的交點處為起點（提示自己力的作用點在杠桿上）。
關(guān)鍵點三：因F1使杠桿順時針旋轉(zhuǎn)，則F2使杠桿逆時針旋轉(zhuǎn)，則從交點起沿虛線向上畫力的示意圖。

10.3.2 關(guān)于生活中實際的工具與杠桿抽象模型的對照
例2 如圖10-6所示的幾種使用杠桿的實例中，屬于費力杠桿的是____________、____________、_______________（選填字母）。

【點撥】找出實例中的每一個杠桿的支點，即該杠桿可以繞那一點轉(zhuǎn)動，然后再找動力和阻力，再判斷動力臂和阻力臂的大小，只有動力臂小于阻力臂的杠桿，才是費力杠桿。
本題中的鑷子和火鉗均為兩個杠桿組成的組合式杠桿機械，因為是對稱性的杠桿，研究時我們只研究其中一個杠桿即可。
獨輪車實例中，前輪為支點，所以工人的手提供動力F1，砂石的重力為阻力F2，顯然L1>L2，這是一個省力杠桿。
鑷子實例中，鑷根為支點，人手提供動力F1，物體阻礙鑷尖合攏的力為阻力F2，顯然L1 腳踏板實例中，腳跟處為支點，腳掌提供動力F1，向上的拉桿阻礙踏板向下移動為阻力F2，顯然L1 扳頭實例中，扳頭左方與瓶蓋上方接觸處為支點，手提供動力F1，瓶蓋阻礙扳頭下方的小鉤向上移動為阻力F2，顯然L1>L2，這是一個省力杠桿。
火鉗實例與鑷子實例很相似，只是支點在兩個鉗刃的交叉處，這是一個費力杠桿。
【答案】（b）（c）（e）
【反思】在省力杠桿中，動力作用點所移動的距離都比阻力作用點移動的距離大；而在費力杠桿中，動力作用點所移動的距離都比阻力作用點移動的距離小。這個特點，也可以用來區(qū)分省力杠桿和費力杠桿。同學們不妨一試。

10.3.3 杠桿平衡條件的應(yīng)用練習
例3如圖10-7所示，一根長40cm的輕質(zhì)杠桿，它的一端可以繞固定點轉(zhuǎn)動，另一端A用線豎直向上拉著，在離A點12cm的B點掛一個質(zhì)量為200g的鉤碼。當杠桿在水平位置平衡時，線的拉力是多大？
【點撥】在例1我們學會辨認杠桿的五要素，學會畫出杠桿的利力臂的基礎(chǔ)上，本題中加入了公式的計算。只要足夠細心，認清動力、動力臂、阻力、阻力臂，直接代入公式即可得到本題的答案。
【解析】阻力大小等于鉤碼的重力G，方向豎直向下，因杠桿為水平放置，可以看出阻力臂恰好為OB段的長度，又因為拉力的方向是豎直向上的，所以動力臂為OA段的長度，再來求動力F的大小。
根據(jù)杠桿平衡條件可知，
F?OA=G?OB
F×40cm=0.2kg×9.8N/kg×（40cm-12cm）
F=1.372N
【答案】拉力為1.372N。
【反思】本題中有兩點應(yīng)引起同學們注意：一是已知物體的質(zhì)量，而參與計算的物理量卻是物體的重力，要用G=mg公式進行計算后方可代入式中；二是阻力臂OB的長度也要進行計算后方可得到。

10.3.4 力臂變化對杠桿平衡的影響
例4 一根均勻的木棒，可繞O點自由轉(zhuǎn)動，現(xiàn)在A端施加一個與OA方向垂直的力F，使木棒繞O點轉(zhuǎn)動，由位置I，到位置II，再到位置III，如圖10-8（a）所示，則F的大小將（ ）

A.逐漸變大 B.逐漸變小 C.先變大再變小 D.先變小再變大
【點撥】因為力F始終與OA垂直，所以在杠桿旋轉(zhuǎn)的過程中，力F的力臂始終是不變的，且杠桿受到的阻力為桿重也不變，所以在杠桿轉(zhuǎn)動過程中，阻力的力臂如何變化是分析問題的關(guān)鍵點。
【解析】由圖10-8（b）所示，阻力的力臂由位置I到位置II是變大，到III的位置再變小，由杠桿的平衡條件F1×L1=F2×L2可知，要想使等式保持成立，也就是說要使杠桿保持平衡，則力F的變化要先變大再變小。
【答案】C
【反思】在動態(tài)的杠桿試題中，杠桿上的幾個物理量有時會發(fā)生變化，尤其是力臂的變化，初學者極不容易分析清楚，在分析時，要根據(jù)杠桿的平衡條件“動力×動力臂=阻力×阻力臂”，先分析其中哪幾個量是不變的，然后根據(jù)某個變化量（如本題中的阻力臂L2）的變化情況，確定要判斷的另一個物理量。
10.3.5 杠桿平衡的一題多解
例5 如圖10-9（a）所示，一根粗細均勻的硬棒AB被懸掛起來，已知AB=8AO，當在一處懸掛120牛的重物G時，杠桿恰好平衡，則杠桿自身的重力為________N。

【點撥】由于要考慮硬棒本身的重力，且支點又不在硬棒的端點，所以本題有不同的考慮和解法。
【解析一】若木棒AB總重為G木，總長度為L木。將OA作為一段硬棒，其重心在OA中心，OA重力為1/8G，力臂為1/16L。將OB作為一段硬棒，其重心在OB的中心，OB重力為7/8G，力臂為7/16L。如圖10-9（b）所示，由杠桿平衡條件可知：
G左?L左=G右?L右+F?OA
7/8G木×7/16L木=1/8G木×L木+G×7/8L木
則G木=1/3G
【解析二】分析如圖10-9（c）所示。
主要思路是因支點相鄰兩格的作用相互抵消，不予考慮。
右端所掛物體的重力G只與最左邊的6格木棒重力作用相平衡，則
6/8G木×4/8L木=G×1/8L木
G木=1/3G
【解析三】如果將木棒看成一個整體，則這個整體的重力作用是使杠桿沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，而外力G的作用是使杠桿沿順時針的方向轉(zhuǎn)動。分析如圖10-9（d）所示。
G木?3/8L木=G?1/8L木
則G木=1/3G
G木=1/3G=1/3?120N=20N
【答案】40N
【反思】局部和整體的分析方法在物理學中是最基本的，而且是常用的方法，在力學的分析中，多個物體受力和一個物體受多個力時，我們常常采用這種方法。從結(jié)果上來看，局部和整體的方法是等效的，不存在孰優(yōu)孰劣的問題，只是從過程上來看，整體法解題往往較為簡練。



A 卷
1. __________________________叫做杠桿，這個固定點叫做_________；促使杠桿轉(zhuǎn)動的力叫做__________，阻礙杠桿轉(zhuǎn)動的力叫做__________，這兩個力對于使杠桿向哪個方向轉(zhuǎn)動的作用是__________（選填“相同”或“相反”）的；____________叫做力臂。
2. 杠桿的平衡狀態(tài)是指杠桿處于_________或_________________狀態(tài)，杠桿的平衡條件是_____________________，數(shù)學表達式為_____________________。
3. 動力臂為阻力臂4倍的杠桿是__________杠桿（選填“省力”或“費力”）。若該杠桿受到的阻力為20N，則當動力為__________N時，杠桿處于平衡狀態(tài)。
4. 如圖10-10所示，輕質(zhì)杠桿OA可繞O點轉(zhuǎn)動，OA=0.3m，OB=0.2m。A點處掛一個質(zhì)量為2kg的物體G，B點處加一個豎直向上的力F，杠桿在水平位置平衡，則物體G的重力大小為__________N，力F大小為___________N。