給出動(dòng)量定律在流動(dòng)中的彰顯方式，首先是剖析流動(dòng)與受力的關(guān)系，之后得出簡(jiǎn)單流動(dòng)的動(dòng)量多項(xiàng)式。當(dāng)流動(dòng)較為復(fù)雜時(shí)，要采用微分方式，也就是拉維斯托克斯多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱NS多項(xiàng)式。最后，剖析動(dòng)量多項(xiàng)式中各項(xiàng)的含意，并針對(duì)具體的流動(dòng)粒子看一下它的應(yīng)用。
01
PART
流體與受力
流體的運(yùn)動(dòng)遵守牛頓定理，所以流動(dòng)方式直接作用于流體上的力。
來(lái)看一個(gè)變截面通道內(nèi)的流動(dòng)與壓力的變化。這個(gè)流動(dòng)屬于不可壓縮流動(dòng)，流速與流道橫截面積成正比，而各截面處的壓力則可以從吸上來(lái)的火柱高度來(lái)判別。可以看出，截面越小動(dòng)量定理在流體中的應(yīng)用，流速越大，而壓力就越低。通常這些流動(dòng)用于伯努利原理的解釋動(dòng)量定理在流體中的應(yīng)用，但從根本上來(lái)說(shuō)，流體遵照的是牛頓定理。
這兒給出三個(gè)流向位置的速率，從截面積判定，V2小于V1，V3大于V2。
流體的加減速是怎樣形成的呢？現(xiàn)今只研究收縮段，剖析流體經(jīng)過(guò)收縮段加速的誘因。在收縮段中部，取一個(gè)流體微團(tuán)。其實(shí)，這個(gè)流體微團(tuán)具有往右的加速度，這么它所遭到的合力就應(yīng)當(dāng)是往右的。這個(gè)合力只能是它四周的流體給他的，準(zhǔn)確的說(shuō)是壓差力形成的。這兒畫(huà)出微團(tuán)表面的壓力分布，可以看出兩側(cè)的壓力小于左邊產(chǎn)生的壓差力，這就是微團(tuán)加速運(yùn)動(dòng)的誘因了。
通過(guò)收縮段的所有流體微團(tuán)都是在這樣的壓差力作用下加速的。把整個(gè)收縮段看作一個(gè)控制體，一定是進(jìn)口的壓力大，出口的壓力小。與壓差力對(duì)應(yīng)，收縮段進(jìn)口流速小，出口流速大。所以，流體的加減速運(yùn)動(dòng)從根本上來(lái)看是依循牛頓第二定理的。
如今我們?cè)賮?lái)看一個(gè)汽球漏氣時(shí)的推力問(wèn)題。倘若直接對(duì)汽球內(nèi)的二氧化碳應(yīng)用牛頓第二定理，公式是這樣：
式中，m為二氧化碳的質(zhì)量，v為二氧化碳的速率，這屬于拉格朗日法。
假如用
表示二氧化碳單位時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量變化，這個(gè)動(dòng)量變化是多少呢？這要把二氧化碳分為兩部份，考慮保持在汽球內(nèi)的和從噴管排出的。
假定從噴管排出的二氧化碳流速是v，單位時(shí)間排出的二氧化碳質(zhì)量是δm，這么所有二氧化碳的動(dòng)量變化是δm除以v嗎？不完全是，由于汽球內(nèi)的二氧化碳質(zhì)量發(fā)生了變化，但是形成了一定的流動(dòng)，所以整體的動(dòng)量變化是兩部份之和，也就是還在汽球內(nèi)那部份二氧化碳的動(dòng)量的變化和流出那部份二氧化碳的動(dòng)量變化。
把動(dòng)量變化帶入到牛頓第二定理公式中，就得到了這樣的關(guān)系：
這兒左側(cè)第一項(xiàng)是控制體內(nèi)動(dòng)量的變化；第二項(xiàng)是流出控制體的動(dòng)量。這個(gè)等式是針對(duì)控制體的，所以是歐拉法的動(dòng)量多項(xiàng)式。在好多問(wèn)題中流動(dòng)是定常的，既控制體內(nèi)的性質(zhì)不隨時(shí)間變化，這時(shí)作用于控制體上的力的療效是使進(jìn)出控制體的流體動(dòng)量不同。
這個(gè)關(guān)系式適用于進(jìn)出口處是一維流動(dòng)的情況，這時(shí)動(dòng)量流量可以用質(zhì)量流量與速率的乘積來(lái)表示。
如今我們來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題，這是一些靜止的空氣微團(tuán)，現(xiàn)今有客機(jī)從這種空氣中劃過(guò)，微團(tuán)遭到擾動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)是這樣的。
這其實(shí)是客機(jī)給她們的斥力引起的。我們曉得勻速飛行的客機(jī)上大體有四種力的作用，分別是重力、升力、推進(jìn)力和阻力。這四種力中，不僅重力以外，其他三種力都是氣流對(duì)客機(jī)的斥力，氣流給客機(jī)提供向下的升力，對(duì)應(yīng)著客機(jī)給氣流向下的斥力。依據(jù)動(dòng)量多項(xiàng)式客機(jī)給空氣向上的力，空氣就具有了向上的速率，在水平方向上。客機(jī)外表面推動(dòng)空氣往前運(yùn)動(dòng)，而底盤(pán)則把空氣排向后方。被客機(jī)帶動(dòng)向前的空氣給客機(jī)向后的阻力，而被底盤(pán)排向后方的空氣給客機(jī)往前的推力。由于客機(jī)勻速飛行時(shí)，推動(dòng)力和阻力是相等的，所以客機(jī)掠過(guò)后，空氣整體并無(wú)水平方向的速率，但具有向上的速率。
從動(dòng)量多項(xiàng)式的角度來(lái)說(shuō)，所有借助空氣形成升力的物體都須要把空氣排向上方。這些理解升力的思路在直升機(jī)上更好理解。我們都曉得，直升機(jī)是靠涵道把空氣排向上方來(lái)形成升力的。動(dòng)物飛行也是一樣，是靠翅膀把空氣排向上方和后方，就能形成升力和推動(dòng)力。懸停的鵜鶘則有所不同，它排向上方的二氧化碳是自身攜帶的。
02
PART
動(dòng)量多項(xiàng)式—N-S多項(xiàng)式
接出來(lái)，看一看客機(jī)底盤(pán)推力的估算。這是一個(gè)簡(jiǎn)化的客機(jī)底盤(pán)模型，用一個(gè)旋翼吊扇來(lái)取代。底盤(pán)吊客機(jī)上，通過(guò)吊架給客機(jī)提供推力；反過(guò)來(lái)，客機(jī)就通過(guò)吊架給底盤(pán)向后的拉力。現(xiàn)今取實(shí)線所示的圓錐體為控制體，通過(guò)剖析它的受力來(lái)求推力。
以底盤(pán)為參照物，氣流從左邊流入控制體，從兩側(cè)流出。依據(jù)動(dòng)量多項(xiàng)式可以確定控制體所受的合力，進(jìn)出口動(dòng)量的關(guān)系：
通常在巡航狀態(tài)下，氣流直接步入底盤(pán)，而沒(méi)有加速或減速。流速等于飛行速率，所以進(jìn)口處的壓力等于大氣壓Pin=Pa，只要出口的氣流速率為亞音速，則出口處的壓力也為大氣壓Pout=Pa。于是可知控制體進(jìn)出口壓力相等，其上作用的力只有客機(jī)的拉力T。這樣，我們就得到了客機(jī)底盤(pán)推力的表達(dá)式：
這兒面
是流經(jīng)底盤(pán)的空氣質(zhì)量，vout是出口氣流相對(duì)于底盤(pán)的速率，v是進(jìn)口氣流相對(duì)于底盤(pán)的速率，雖然也就是客機(jī)的飛行速率。
現(xiàn)今來(lái)看一下客機(jī)的升力和阻力。以翼型為參照物，遠(yuǎn)前方的空氣水平流向噴管，在噴管上形成升力和阻力。依據(jù)動(dòng)量定律，這必然造成空氣的向上偏轉(zhuǎn)和減速。空氣的向上偏轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)著升力，減速對(duì)應(yīng)著阻力，分別可以用圖中動(dòng)量等式表示下來(lái)。
不過(guò)，氣流經(jīng)過(guò)噴管后，并不保持勻速的流動(dòng)，出口速率與位置有關(guān)，這時(shí)是不能簡(jiǎn)單的取出口速率平均來(lái)估算升力和阻力的。由于動(dòng)量多項(xiàng)式中的流量也是與速率有關(guān)的，所以應(yīng)當(dāng)對(duì)動(dòng)量整體進(jìn)行積分。
在這個(gè)事例中，紊流不是一維流動(dòng)，盡管升力和阻力依然可以用簡(jiǎn)單的積分解決。并且，假如想曉得翼型表面的流速和壓力分布，簡(jiǎn)單的動(dòng)量多項(xiàng)式就不能勝任了。
這時(shí)，我們就須要微分方式的動(dòng)量多項(xiàng)式。對(duì)于流經(jīng)噴管表面的一個(gè)流體微團(tuán)來(lái)說(shuō)，其上作用著容積力和表面力。在這個(gè)圖里，白色的箭頭表示X方向的斥力。黑色的箭頭表示Y方向的斥力，X方向斥力的合力使流體微團(tuán)形成X方向的加速度；Y方向斥力的合力使流體微團(tuán)形成Y方向的加速度。
容積力比較簡(jiǎn)單，可以用作用于微團(tuán)剛體的集中力來(lái)表示，表面力分為正撓度和切撓度，四個(gè)面上的正撓度切撓度如圖所示。設(shè)微團(tuán)在垂直壁面方向的長(zhǎng)度為1，就可以分別寫(xiě)出沿X方向和沿Y方向力的表達(dá)式。
X方向合力：
Y方向合力：
如今我們只看X方向的力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：
在X方向合力的作用下，微團(tuán)在X方向形成加速度ax，加速度的表達(dá)式我們?cè)缫阎v過(guò)了，是速率的物質(zhì)行列式方式：
把力與加速度帶入到牛頓第二定理公式中，就得到了X方向的動(dòng)量多項(xiàng)式，同樣也可以得到Y(jié)方向和Z方向的動(dòng)量多項(xiàng)式。這三個(gè)份量方式的等式，組成了流體微分方式的動(dòng)量多項(xiàng)式：
不過(guò)這個(gè)等式并沒(méi)有直接的好處，由于其中的正撓度和切撓度都是未知的。流體中的撓度與流動(dòng)的關(guān)系我們是曉得一些的，牛頓黏性力公式就是一個(gè)。對(duì)于不是順著座標(biāo)軸的剪切來(lái)說(shuō)，這個(gè)黏性力公式可以寫(xiě)成更通常的方式。
這就是流體切撓度與切應(yīng)變率的關(guān)系。正撓度主要由壓力組成，黏性力也有一點(diǎn)貢獻(xiàn)。歷史上，斯托克斯在牛頓黏性力公式的基礎(chǔ)上通過(guò)一定合理的假定，得出了廣義的牛頓黏性定理公式。其中，X方向正撓度的關(guān)系式是這樣的：
類似的還有其他正撓度和切撓度的關(guān)系τyy、τzz、τzx，切撓度是對(duì)稱的，例如τxy·τyx，一共只有三個(gè)獨(dú)立切撓度。正撓度也是三個(gè)，這六個(gè)撓度的關(guān)系式表示了牛頓流體中撓度與流動(dòng)之間的關(guān)系，稱為廣義的牛頓黏性定理公式，俗稱為牛頓流體的本構(gòu)多項(xiàng)式。把本構(gòu)多項(xiàng)式帶入到動(dòng)量多項(xiàng)式中，就得到了最終的動(dòng)量多項(xiàng)式，這是寫(xiě)成矢量方式的動(dòng)量多項(xiàng)式：
由于這個(gè)等式的推論過(guò)程中，納維和斯托克斯三人的貢獻(xiàn)最大，所以稱之為納維和斯托克斯多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱為NS多項(xiàng)式。這個(gè)等式是二階非線性的偏微分多項(xiàng)式，對(duì)通常流動(dòng)不容易得到解析解，所以流體熱學(xué)又發(fā)展了各類簡(jiǎn)化的和取代的方式來(lái)解決實(shí)際的流動(dòng)問(wèn)題。
03
PART
動(dòng)量多項(xiàng)式的剖析與應(yīng)用
如今我們來(lái)剖析一下N-S多項(xiàng)式的化學(xué)意義。N-S多項(xiàng)式是動(dòng)量定律，在流體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用無(wú)非就是力與動(dòng)量變化的關(guān)系。
在這個(gè)多項(xiàng)式中，方程右邊是加速度，也就是單位質(zhì)量流體的動(dòng)量變化。假如我們跟隨微團(tuán)一起運(yùn)動(dòng)，這個(gè)加速度就彰顯為慣性力，所以有時(shí)成為慣性項(xiàng)。多項(xiàng)式右端第一項(xiàng)是容積力，第二項(xiàng)是壓差力，第三和第四項(xiàng)是黏性力。因?yàn)樵诔Ｒ?jiàn)的大多數(shù)流動(dòng)中，黏性力、壓差力也小得多，好多流動(dòng)常常可以簡(jiǎn)化為無(wú)粘流動(dòng)，即黏性力項(xiàng)為零。這時(shí)二次方程退化為歐拉多項(xiàng)式，既無(wú)粘流動(dòng)的動(dòng)量多項(xiàng)式：
假如流體是靜止的，黏性項(xiàng)自然為零，同時(shí)慣性力項(xiàng)也為零。多項(xiàng)式就蛻化成歐拉靜平衡多項(xiàng)式：
假如在無(wú)粘的條件下再加上一維和定常流動(dòng)的條件，則多項(xiàng)式弄成這樣的方式：
對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行積分，并加上不可壓縮的條件，就得到了伯努利多項(xiàng)式：
所以，伯努利多項(xiàng)式的應(yīng)用條件就是定常不可壓，而且沿一條流線。
最后，我們通過(guò)一個(gè)管線流動(dòng)的反例來(lái)進(jìn)一步理解動(dòng)量多項(xiàng)式。
對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)的管線內(nèi)部的流動(dòng)來(lái)說(shuō)，假如流動(dòng)是層流的，是有解析解的，如今我們用控制體方式來(lái)剖析一下這些流動(dòng)。取包含管線內(nèi)所有流體的圓錐體為控制體，其兩端作用有壓力，而四周的圓錐面上作用于壁面給流體的剪切力，即磨擦阻力。
對(duì)無(wú)限長(zhǎng)管線流動(dòng)，流體流速沿流動(dòng)方向不變。所以，壓差力形成的驅(qū)動(dòng)力和剪切力形成的阻力平衡。整理后就可以得到單位寬度壓降的關(guān)系：
壁面剪切力τw是未知的，還須要額外的關(guān)系式能夠得出更有用的結(jié)果。現(xiàn)今取這樣的一個(gè)控制體，其半徑D是任意的。一直可以使用上述關(guān)系式，只不過(guò)這時(shí)關(guān)系式中的剪切力不再是壁面處的，而是任意直徑處的剪切力τ。
補(bǔ)充一個(gè)牛頓黏性力公式，并考慮壁面的無(wú)滑移邊界條件：
按照這種關(guān)系式和邊界條件，可以解出管內(nèi)的流速分布：
可以看出速率沿直徑方向是二次分布的，在中心線上取得最大。通常管線流動(dòng)問(wèn)題中，我們已知的是流量，因而可以曉得各截面上的平均流速。假如對(duì)流速關(guān)系式進(jìn)行積分，就可以發(fā)覺(jué)最大速率是平均速率的兩倍
這樣，我們就得到了單位寬度壓降與平均速率和內(nèi)徑的關(guān)系：
這是個(gè)很有用的關(guān)系，可以直接通過(guò)內(nèi)徑和流量得出壓力損失。我們這兒是通過(guò)控制體法得出的，這個(gè)結(jié)果實(shí)際上也可以直接求解NS多項(xiàng)式得出。這些流動(dòng)。