碰撞是自然界中常見的現象，大到宇宙中天體間的碰撞，小到微觀中基本粒子的碰撞；無論是不該發生的動車追尾，還是各類給人類帶來無限樂趣的棋類運動中的碰撞……碰撞也是中學數學中常見的、重要的數學模型。研究碰撞的特性和所遵守的規律，可以使我們更深刻地了解自然、宇宙，寬闊眼界，可以使我們更深刻地理解化學規律的內涵和外延，鍛煉思維能力，增強綜合剖析問題的能力。
尋根探源·根題詮釋
方式總結·規律提練
一、動量守恒定理
1.內容：互相作用的物體，假若不受外力或所受外力的合力為零，它們的總動量保持不變，即作用前的總動量與作用后的總動量相等．
2.常見的表達式
①p＇=p，其中p＇、p分別表示系統的末動量和初動量，表示系統作用前的總動量等于作用后的總動量。
②Δp=0，表示系統總動量的增量等于零。
③Δp1=－Δp2，其中Δp1、Δp2分別表示系統內兩個物體初、末動量的變化量，表示兩個物體組成的系統，各自動量的增量大小相等、方向相反。
二、碰撞有三種類型：
1.彈性碰撞：碰撞過程中所形成的形變才能完全恢復的碰撞；碰撞過程中沒有機械能損失，即同時滿足動量守恒和機械能守恒。
2.非彈性碰撞：碰撞過程中所形成的形變不能否完全恢復的碰撞；碰撞過程中有機械能損失。
3.完全非彈性碰撞：碰撞過程中所形成的形變完全不能否恢復的非碰撞。碰撞過程中機械能損失最多。
說明：在非彈性碰撞和完全非彈性碰撞的過程中，盡管機械能不守恒，但動量始終是守恒的。所有的碰撞，只要外力遠小于內內，動量都是守恒的。
考場精彩·衍題百變
一、彈性碰撞模型探究及拓展
【衍題4】（2019全省1）豎直面內一傾斜軌道與一足夠長的水平軌道通過一小段光滑弧形平滑聯接，小物塊B靜止于水平軌道的最下端，如圖（a）所示。t=0時刻，小物塊A在傾斜軌道上從靜止開始下降，一段時間后與B發生彈性碰撞（碰撞時間極短）；當A返回到傾斜軌道上的P點（圖中未標出）時，速率減為0，此時對其施加一外力，使其在傾斜軌道上保持靜止。物塊A運動的v-t圖象如圖（b）所示，圖中的v1和t1均為未知量。已知A的質量為m，初始時A與B的高度差為H，重力加速度大小為g，不計空氣阻力。
（1）求物塊B的質量；
（2）在圖（b）所描述的整個運動過程中，求物塊A克服磨擦力所做的功；
（3）已知兩物塊與軌道間的動磨擦質數均相等，在物塊B停止運動后，改變物塊與軌道間的動磨擦質數，之后將A從P點釋放，一段時間后A恰好能與B再度碰上。求改變上面動磨擦質數的比值。
（2）（3）與動量守恒定理無相關性，解析略。這也說明在熱學綜合估算題中大多數情況下，是牛頓第二定理、動能定律（或能量守恒定理）以及動量守恒定理多個規律綜合解題，可能只在某一個過程使用動量守恒定理。
二、完全非彈性模型的剖析和拓展
完全非彈性碰撞：碰撞過程中所形成的形變完全不才能恢復的碰撞。特征是互相作用的末態系統具有相同的速率。碰撞過程中動量守恒，機械能損失最多。
【衍題6】如圖6所示,一質量為M的鐵塊置于光滑的水平面上，一質量m的炮彈以初速率v水平飛來打進鐵塊并留在其中，設互相斥力為Ff．試求：
（1）炮彈、木塊相對靜止時的速率v？
（2）炮彈、木塊發生的位移s1、s2以及炮彈打進鐵塊的深度l相分別為多少？
（3）系統損失的機械能、系統降低的內能分別為多少？
拓展延展·縱橫推演
動量守恒在力電綜合問題中的應用
小試身手·根題精練
1.（2010·全國Ⅱ）小球A和B的質量分別為mA和mB且mA＞mB，在某高度處將A和B先后從靜止釋放。小球A與水平地面碰撞后向下彈回，在釋放處的下方與釋放初距離為H的地方正好與正在下落的小球B發生正撞，設所有碰撞都是彈性的動量定理人船模型解析，碰撞時間極短。求小球A、B碰撞后B上升的最大高度。
2.（2014·全國卷1）如圖所示，質量分別為mA、mB的兩個彈性小球A、B靜止在地面上，B球距地面的高度h＝0.8m，A球在B球的正上方動量定理人船模型解析，先將B球釋放，經過一段時間后再將A球釋放，當A球下落t＝0.3s時，正好與B球在地面上方的P點處相撞，碰撞時間極短，碰后頓時A球的速率恰為零，已知mB＝3mA，重力加速度大小g取10m/s2，忽視空氣阻力及碰撞中的動能損失．求：
(1)B球第一次到過地面時的速率；
(2)P點距離地面的高度．
(1)B球第一次到過地面時的速率；
(2)P點距離地面的高度．
【答案】見解析
【解析】（1）設B球第一次抵達地面時的速率大小為vB，由運動學公式有
vB＝①
將h＝0.8m代入上式，得
v1＝4m/s.②
(2)設兩球相撞前后，A球的速率大小分別為v1和v′1(v′1＝0)，B球的速率分別為v2和v′2，由運動學規律可得
v1＝gt③
因為碰撞時間極短，重力的作用可以忽視，兩球相撞前后的動量守恒，總動能保持不變，規定向上的方向為正，有
mAv1＋mBv2＝mBv′2④
2(1)mAv1(2)＋2(1)mBv2(2)＝2(1)mv′2(2)⑤
設B球與地面相撞后速率大小為v′B，由運動學及碰撞的規律可得
v′B＝vB⑥
設P點距地面的高度為h′，由運動學規律可得
h′＝（v′B^2-v^2)/2g⑦
聯立②③④⑤⑥⑦式，并代入已知條件可得
h′＝0.75m．⑧
3.(2015全省1).如圖，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C坐落同仍然線上，A坐落B、C之間。A的質量為m，B、C的質量都為M，兩者都處于靜止狀態，現使A以某一速率往右運動，求m和M之間滿足哪些條件才會使A只與B、C各發生一次碰撞。設物體間的碰撞都是彈性的。
4.（2011全省2）裝甲車和戰艦采用多層厚板比采用同樣質量的雙層厚板更能抵擋煙幕彈的射箭。通過對一下簡化模型的估算可以簡略說明其緣由。
質量為2m、厚度為2d的厚板靜止在水平光滑桌面上。質量為m的炮彈以某一速率垂直射向該厚板，恰好能將厚板射穿。現把厚板分成長度均為d、質量均為m的相同兩塊，間隔一段距離水平放置，如圖所示。若炮彈以相同的速率垂直射向第一塊厚板，穿出后再射向第二塊厚板，求炮彈射入第二塊厚板的深度。設炮彈在厚板中遭到的阻力為恒力，且兩塊厚板不會發生碰撞不計重力影響。