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1. 2021/8/141 一、 of mass，質心Rigid body（剛體（））是與質量分布有關的代表點，其位置代表平均意義上的質量分布中心點，其表示平均意義上的質心分布 3-2 Rigid body law Rigid body law 2021/8/142 For a of N : a of N :,, ,,21 )(/笛卡爾坐標系中的分量公式： 笛卡爾坐標系中的分量公式： 剛體的勢： 剛體的勢： ///2021/8//d 對于質量分布連續的物體為具有連續質量分布的物體的量公式： 量公式
2.: body body line line ) d(///d 剛體的位置向量: 剛體的位置向量: n 剛體和重心(剛體和重心(的)是兩個不同的概念）是兩個不同的概念，重心是月球引力對物體各部分的合力，重心是月球引力合力的作用點作用在物體各部分的力（即重力就是重力）。剛體的位置和重心不一定重合。。作用點，剛體的位置和重心的位置不一定重合。 2021/8/144 例3-8 求腰長為等邊直角三角形均勻板的剛體位置 腰長為a 剛體位置. 設. 取厚度為面積元素, 厚度為dx ，設板的單位面積元，設板的單位面積質量為面積
3. 的質量，然后這個區域元素的質量，那么這個區域元素的質量就是解： 解： 取坐標軸如圖，根據對稱性分析，根據對稱性分析我們可以知道2 /02//8/145 二二，質心運動定律，質心運動定律是由剛體位置推導出來的矢量公式： 由剛體位置矢量公式： 剛體的速度為 剛體的速度為 剛體的加速度為 剛體的加速度為/8/146 由牛頓第二定理推導出牛頓第二定理）1（對于
4、對于系統中成對的內力和內力，/8/147剛體的運動等價于一個質點的運動，剛體的運動等價于一個質點的運動。 該粒子具有粒子系統的總質量。 它所受的外力就是質量。 這個粒子具有粒子系統的總質量，它所受的外力是粒子系統所受的所有外力的矢量和。 作用在點系上的所有外力的矢量和。 Laws of Rigid Body : Laws of Rigid Body : /8/148 1. law 1. 動量定理是基于牛頓運動定理：由牛頓運動定理：) 稱為沖量()。
5. 其中3-3動量定律動量守恒定律動量守恒定理動量守恒定理動量守恒定理2021/8/149 (1)沖量的方向為所有元素沖量的方向為所有元素脈沖方向之和的方向向量。 動量定律 動量定律反映了力隨時間的累積作用，反映了力隨時間的累積作用對粒子形成的療效。 用于影響粒子形成。 ItFd質點在運動過程中，合外力的沖量等于質點動量的增量。 在此過程中，合外力的沖量等于質點動量的增量。 ): ): /8/1410(2) 動量定律中的動量與沖量
6、量是矢量，符合矢量動量定律。 矢量動量定律中的動量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理，或者可以用權重估計：疊加原理，或者用權重估計：/8/1411(3)計算平均力（力）在撞擊、沖擊和碰撞問題上。 (4) 動量定律是牛頓第二定理的積分法，只適用于動量定律。 就是牛頓第二定理的積分法。 只適用于慣性系。 F(t)(5)動量定律在處理模量時非常方便。 動量定律在處理模具量時非常方便。 2021/8/
7、1412，研究錘子對腔體的作用過程，研究錘子對腔體的作用過程，利用垂直方向的動量定律，以垂直向下為正。 借助垂直方向的動量定律，以垂直向下為正。 例3-9 質量為m=0.3t的重物從h=1.5m的高度自由落到鍛造的螺孔上，螺孔發生變形。 如果動作的時候是在鍛造的螺絲孔上，螺絲孔會變形。 如果動作時間（1）=0.1s，（2）=0.01s。 找出錘子對空腔的平均力。 找出錘子對空腔的平均力。 以重錘為研究對象，分析受力，以重錘為研究對象，分析受力，繪制受力圖。 做一個力圖。 解決方法： 解決方法： 解決方法一： 解決方法一:)()(/N2N.s,.)(
8. 101FN.s,.)(/8/1413 解法二：研究錘子從自由落體到靜止的全過程，解法二：研究錘子從自由落體到靜止的全過程，其動量變化為零.其動量變化為零。02)/(重力作用時間為重力作用時間為gh/2支撐力作用時間為支撐力作用時間由動量定律：由law of : //8/1414 例子3-10 一根繩子越過某個滑輪，繩子的兩端分別系著一根質量為m和m的繩子，物體A和B越過某個滑輪，兩端分別系有質量為m和m的物體，m小于m。B靜止在地面上，當靜止在地面上時，繩子在A自由下落并下落距離h時被拉緊。發現剛拉緊繩子的時候，繩子跟在兩個物體后面。
9.緊。 求兩個物體在繩子第一次被拉開時的速度，以及它們能上升的最大高度。 速度，以及可以上升的最大高度。 繩索張緊時的力圖。 繩索張緊時的力圖。緊接繩索張緊前，物體繩索緊接緊前，物體A的速度為ghv2 解：解：經過短暫的撞擊過程后，兩物體速度相等一個短暫的撞擊過程，動量率分別等于兩個物體動量定理動碰動公式，分別對兩個物體應用動量定律（ in ）： 定律（ in ）： )()()(T2021/8/ the rope be , there is : 考慮到繩子不能被拉伸, 有: force, force FT1, FT2 , so . , is . 繩子被拉緊了
10、最后，繩子拉緊后，系統A和B的加速度為系統的加速度，也就是繩子剛拉緊時兩個物體的速度。 兩個物體的速度。 當速度為零時，當物體速度為零時，物體B達到最大高度，達到最大高度H：022)()()(/8/1416* 2.變質量的運動多項式物體2.變質量物體的運動多項式設置假設時間t，物體的質量為時間，物體的質量為m，速度為，速度為（c），還有一個，并且還有一個質量元dm，速度為，速度為。vut+dt組合后的共同結果速度為力矩合并后的共同速度。vvd將物體和質量元視為系統，并且動量定律把物體和質量元素看作一個系統，動量定律um
11.)d)(d(tdF省略二階小量,省略二階小量,)(dd酸敗量物體運動多項式為負,當dm為負時,表示物體質量為.當它是負數時，表示物體的質量減少了.Small. 2021/8/1417 例3-11 質量為質量為m的均質鏈，總長度為m的均質鏈，總長L，握住它的下端，握住它的下端，使上端離地的高度為h。松手后讓它自由落到地上。然后讓它自由落到求鏈條落在地面上的寬度為上，當鏈條落在地面上的寬度為l時，當地面受到鏈條的作用時，鏈條對地面的排斥力的大小地面 力的大小 解法： 解法：用酸敗物運動量的多項式求解 酸敗物運動多項式
12.解決。 落在地面上，鏈段在地面上的速度為零，鏈段作用在地面上的速度為零。 作用在非落地部分（m-ml）的外力有重力，作用在地面上的外力有重力。 以及大地賦予它的力量。 向下是積極的：它的力量。 向下的方向為正：) () () (dd) () (dd為2021/8/) (dd) () (dd free fall: free fall :) () () (22 鏈條對上的排斥力地面為鏈條對地面的斥力為)23((鏈條落地重力)(鏈條落地重力)2021/8
13. /1419 例3-12 礦石從傳送帶落下 礦石從傳送帶A落到另一條傳送帶又落到另一條傳送帶B，它的速度，它的速度v1=4m/s，方向是在與垂直方向一致，方向與垂直方向成30度角，輸送帶的角度與水平方向成15度角。 其速度的角度為v2=2m/s。 如果傳送帶的傳送能力是恒定的，則設置 。 若輸送帶的輸送能力一定，則設k=20kg/s。 求落在傳送帶 B 上的礦石落在傳送帶上時受到的力。 力量。 解： 解：設m為在某極短時間t內落在傳送帶上的礦石質量中m=某極短時間內落在傳送帶上的礦石質量，即m=kt，則 of this ore 礦石砂動量增量為12)(/8/1420
14.它的大小是.398.)（假設這個礦砂在t時刻的平均排斥力在t時刻是力，由動量定律，由動量定律F）(.79)( tvmF by by)(2vmvm 2021/8/== == 常數向量根據剛體運動定理：根據剛體運動定理：若0iF 3. 3. 即如果作用在系統上的外力之和為零，系統的總運動量如果作用在系統上的外力之和為零，則系統的總動量保持不變變化，這個推論稱為量保持不變，這個推論稱為
15.做動量守恒定律（動量守恒定律（）.CiamF rule/8/1422 (2)當外力遠大于內力時，系統可以近似。當外力力遠大于內力，系統可近似認為 系統的總動量守恒。(如：碰撞、撞擊過程等) 總動量守恒。(如：碰撞、撞擊過程等) .) (1)動量守恒是指系統的總動量保持不變，但系統中每個動量守恒是指系統的動量總和保持不變，但系統中每個粒子的動量是可以改變的。質點的動量是可以改變的，它是通過內力來傳遞和交換的。它是通過內力來傳遞和交換的。解釋（3）權重公式）（）（）（當常數時當常數時xFvmp
16. (4) 定理不僅適用于宏觀物體，也適用于微觀領域。 該定理除了適用于宏觀物體外，還適用于微觀領域。 2021/8/1423* 4. 火箭飛行 4. 火箭飛行假設時間t，尼克斯的質量為時間，熱火的質量為m，速度為，速度為v（向下和向上），at， dt, the jet in , 吐出二氧化碳 dm(0), jet, jet相對于的速度相對于的速度（稱為噴射速度稱為噴射速度）為u（向上向上），這降低了灰熊隊的速度，使湖人隊的速度降低了dv。 若忽略重力等外力，由動量守恒的動量守恒定理可得定理)(d()d)(d(省略二階小量，省略二階小量，2021 /8/14
17、24 設u為常數，常數0lnd0，設尼克斯開始飛行的速度為零，質量為 設尼克斯開始飛行的速度為零，質量為m0，當燃料為，當燃料耗盡時，湖人剩余質量為m，馬刺剩余質量為m。 這個時候鵜鶘能達到的速度是，而鵜鶘這個時候能達到的速度是灰熊的質量比尼克斯的質量要多于2021/8/1425級別的湖人：多- level : i-th level jet speed level jet speed iN level mass ratio level mass ratio, ln, final : final : 2021/8/1426 例子3-13 eg 如圖
18、如圖，讓炮車以仰角發射炮彈，炮車發射炮彈。 炮車和子彈的質量分別為m和m，子彈的出射速度為As，子彈的出射速度為v，求炮車的后坐速度，求炮車的后坐速度v大炮車。 大炮與地面之間的摩擦力被忽略。 大炮與地面之間的摩擦力被忽略。 解決方案： 解決方案：選擇槍架和子彈組成的系統。 選取炮架與子彈的組成體系進行內外力分析。 內外力分析。 忽略炮架與地面的摩擦力，系統水平方向的動量守恒。 系統的水平動量守恒。 2021/8/ 炮車后坐速度 考慮炮車后坐速度：垂直方向的動量是否守恒？ 思考：垂直方向的動量是否守恒？系統水平方向的動量守恒：系統的水平方向
19. 動量守恒：2021/8/1428 爆燃力是物體爆裂時的內力，比重力小得多。 在爆燃中，動量可以被認為是守恒的。 例3-14 一個靜止的物體爆炸成三塊，其中兩塊質量相同，一個靜止的物體爆炸成三塊，其中兩塊質量相同，并且以相同的速度飛行，速度相同，均為30m /s 沿相互垂直的方向打開，第三塊沿相互垂直的方向飛走，第三塊的質量恰好等于兩塊質量之和。 嘗試發現第三塊的質量恰好等于這兩個塊的質量之和。 找出第三塊的速度（大小和方向）。 程度（幅度和方向）。 解決方案： 解決方案： 3)()()(/8/142
20, 9m/s)(2.,45,即He和He and都在南京，而且都在同一平面，都在同一平面，)()()(/8/1430例3-15 質量是兩個兒子，質量分別是m1和m2，兩個兒子在光滑的水平湖上用繩子互相拉，在光滑的水平湖上他們一開始是靜止的，距離就是繩子拉的距離彼此。開始時，它是靜止的，距離是 l。問他們將在哪里。問他們將在哪里相遇？他們將在哪里相遇？將兩個孩子和繩子視為一個系統動量定理動碰動公式，并且動量在水平方向守恒。系統，水平方向的動量守恒。連接兩個兒子的直線上的任何一點是
21、以連接兩個兒子的直線上任意一點為原點，向右走為原點，向右走為x軸為正方向。 軸為正。解法：解法：設一開始孩子的坐標分別為x10和x20，任意時刻的速度分別為v1和v2任意時刻坐標為，坐標為x1和x2。 2d 由運動學關系: 由運動學關系: 2021/8/202d 相遇時: 相遇時: x1=) (由動量守恒: 由動量守恒: (1)代入公式(代入公式(1)得到)得到
22. 2021/8/ 結果顯示，在純內力的作用下，兩個女兒會在共同的剛體中相遇。 上述結果也可以直接由剛體運動和同剛體相遇來判斷。 上述結果也可以直接由剛體運動定理得到。 查出。 有相遇時有2021/8/1433 作業： 作業：3.9, 3.17, 3./8/1434 如果兩個或兩個以上的物體在相遇，物體之間的相互作用 如果兩個或兩個以上的物體在相遇在 中，物體之間的相互作用只持續很短的時間，這種現象就是效果只持續很短的時間，這種現象就是碰撞（碰撞）。eg ,
23、、熟鐵等，微觀顆粒。 如：撞擊、打樁、鐵藝等，微觀粒子間的非接觸相互作用過程為散射（The non- is (), etc.）等等。討論討論兩球的中心對中心碰撞也稱為正向碰撞（ ()）：即兩球碰撞前后的速度在兩球中心連線上兩個球。即兩個球碰撞前后的速度在 兩球中心連線。 1. of the of of the the ： : 2021/8/.'s : the rate of the two balls after : 碰撞后兩球的分離速度（v2-v1），和球的接近速度碰撞前的兩個球和碰撞前的兩個球
24、接近速度（v10-v20）與兩者的比值成反比，比值由兩球的材料特性決定。即恢復系數（由球的材料特性決定。即恢復系數(of):: 完全非彈性碰撞( (): e=0v2=v1 非彈性碰撞( ()): 0em1, then, Then, 質點后質量很小與質量大的靜止質點相撞，質量小的質點與質量大的質點相撞后運動方向反轉，而質量大的質點幾乎保持不變
25.不動。 運動方向，而質點幾乎保持不動。 3、若v20=0，m2m1，則質量大的質點與質量小的靜止質點碰撞后的速度幾乎不變，但質量很小的粒子以接近兩倍的速度向上運動. 保持不變，但質量非常小的粒子以幾乎兩倍的速度向上移動。 討論 2021/8/101)()1()()1(非彈性碰撞：非彈性碰撞：兩球碰撞后速度為 兩球碰撞后速度為機械能損失：機械能loss:)()1( : : 2021/8/1439 Lost : 損失的機械能: 比如打樁打鐵的時候,)1()1(/m2越大，越小機械能損失。尺寸越大，機械能損失越小。鍛造的m1/m2越小，機械能損失越大； ！