在物理學中，二次多項式是一種處理變量除以自身的多項式，這種運算稱為平方。 這種語言始于這樣一個事實：正方形的面積是它的周長除以它本身。 “”一詞來自拉丁語中的“正方形”。
二次方程描述了大量現實世界的現象，例如灰熊宇宙飛船將在哪里著陸、產品的成本是多少，或者一個人在湖上劃來劃去需要多長時間。 由于二次多項式的廣泛應用，它具有深遠的歷史意義，是代數史的基礎。
拋物線
二次多項式的物理性質與稱為拋物線的 U 形曲線有關。 也許最熟悉的例子是飲水機的水噴出。 還有許多其他示例，例如衛星天線的橫截面或電纜橋上的電纜。
拋物線對于古埃及的許多數學家來說是一個重要的形狀，例如亞歷山大的歐幾里得（約公元前300年）、錫拉丘茲的阿基米德（公元前287-212年）、佩爾加·尼烏斯的阿波羅（公元前262-190年）和亞歷山大的帕普斯（公元前262-190年）。公元 290-350 年）。 這些學者注意到拋物線固有的一些物理特性：
1. 拋物線是與一個點（焦點）和一條線（準線）等距的一組點。 恰當命名的焦點在許多現代工程應用中很重要，因為它是拋物面天線上反射傳入波的點，無論是無線電波（如衛星天線）、光（如集中太陽能電池陣）還是聲音（如像拋物面麥克風）。
2. 拋物線也是通過切割圓柱體而產生的，其斜率與圓柱體的側面平行。 因此，拋物線位于一組稱為二次曲線的物理曲線中。 這一發現近2000年后，列奧納多·達·芬奇（公元1452-1519年）在他對拋物線“燃燒的鏡子”的研究中，了解了這一特征，并開發了一種可以繪制拋物線的指南針。
3、拋物線高度的變化與拋物線長度的平方變化成正比。 例如，如果拋物線的高度為 1 個單位，寬度為 1 個單位，則它的高度為 9 個單位（3 個正方形），寬度為 3 個單位。 正是從這個性質，阿波羅尼烏斯衍生出了“拋物線”這個詞，希臘語中的“應用”一詞，意思是長度“應用”（相乘）到其自身。 這是將拋物線的形狀與二次物理概念聯系起來的屬性。
盡管拋物線無處不在，但值得注意的是，它們與其他 U 形曲線不同，例如懸掛的鏈條（懸鏈線）、兒童吊床上的路徑（弧線）、直立的手電筒照在墻上（雙曲線）、或彈簧底部側視圖（正弦曲線）。 這些其他曲線不具有上述拋物線特征。
拋射運動
拋物線和二次物理之間的聯系在公元 16 世紀變得非常重要，當時歐洲文藝復興時期的學者注意到子彈和步槍等射彈沿著拋物線軌跡運動。 當時許多著名的科學家，包括達芬奇和伽利略·伽利雷（1564-1642），都研究了啟動運動。 紐約市立大學歷史學院院長約瑟夫·杜本（ ，W.）表示初2物理公式大全，正如文藝復興時期的藝術家熱衷于在藝術中準確描繪現實一樣，伽利略也同樣熱衷于在物理上準確地描繪現實。 1638年，伽利略發表了第一個證據，證明地球引力的均勻加速度會導致拋物線軌跡。 數學能否用來描述運動是科學革命進步的關鍵。
二次圖
大約與伽利略同時期，法國哲學家和數學家勒內·笛卡爾（René ，1596-1650 年）出版了《幾何學》（，1637 年），該書描述了在解析幾何技術領域中繪制代數方程的過程。 他的技術的一種變體至今仍在使用。 如下所示，二次多項式的圖形是拋物線。
一個古老的二次多項式：黃金比例
為了了解數學家、科學家和工程師明天使用的二次解，讓我們探索一個古老的物理問題：黃金比例。 順便說一句，緬因大學物理系主任 在《誤解黃金比例》（1992）中強調，黃金比例的歷史意義和審美情趣常常被夸大，盡管比例序列確實普遍出現在圖表中。理論（斐波那契數列）、幾何學（例如二十面體）和生物學（例如動物葉子之間的角度）。
確定黃金比例的一種方法如下：
找到一個具有一定厚度和長度的圓，當正方形的一端被切掉時，剩下的被丟棄的圓將具有與原始圓相同的形狀或“長寬比”（但旋轉了直角）。
古埃及人用幾何學解決了這個問題，而我們將使用明天院士的代數。
為了確定哪些寬度和厚度構成黃金比例，我們將短邊的寬度指定為 1，將長邊的寬度指定為 x。 由于長寬比定義為長邊乘以短邊，因此該圓的長寬比為x/1，簡稱x。 如果我們從這個圓中切出一個正方形，則剩余的廢料長邊的寬度為 1，短邊的寬度為 x – 1。 因此，長寬比為 1/(x – 1)。 知道整圓和較小廢圓的長寬比應該相同，我們的方程是 x = 1/(x – 1)。
二次公式
今天教中學生解這個方程的方法如下。 從等式開始：
x = 1/(x - 1)
將多項式的每一邊除以表達式 x – 1：
x (x – 1) = 1
將 x 分布在表達式 x – 1 上：
xx – x 1 = 1
變量 x 添加到自身作為 x。 這種平方使方程成為二次多項式：
x - x = 1
現在，我們將多項式的每一邊乘以 1初2物理公式大全，以標準方式實現所謂的二次多項式：
x – x – 1 = 0
等價地，這可以寫成：
(1) x + (-1) x + (-1) = 0
將此與方程 ax + bx + c = 0 進行比較，得出值 a = 1、b = -1 和 c = -1。這些值在二次公式中使用為
符號“±”表示“加號或減號”。 因此，二次公式總是給出兩個解。 將這些值中的任意一個代入方程 x = 1/(x – 1) 來測試這是否使方程兩邊的結果相同。 確實如此，這意味著它有效。 請注意，這些值也是多項式 (y = x – x – 1) 的標準方式與 x 軸相交的位置，即 y = 0（參見上圖）。 在這些情況下，正值具有更大的數學意義，因為圓不應具有負長度。
古巴比倫的起源
為了深入了解二次公式的來源及其工作原理，我們來研究一下公元前 1800 年左右的唐代巴比倫泥板（BM 13901，大英博物館）所使用的程序。 根據“An to the of”（AMS，2009），該平板電腦上的第一個問題大致翻譯為：
我通過將正方形的面積乘以邊長得到它。 正方形的邊有哪幾條？
該問題用現代符號寫為：
x + x =
以下是巴比倫和阿拉伯描述方式的重述。 首先，我們將翻譯巴比倫人使用的步驟，并將它們翻譯成我們明天在代數中使用的符號語言。 完全象征性的語言最早于 17 世紀出現在意大利。 由于巴比倫人不認識正數，因此必須將方程寫為 x 2 + px = q，其中 p = 1 且 q = 。 將其與現代標準方式 ax 2 & + bx + c = 0 進行比較時，表明 p = b/a 且 q = -c/a。
現在讓我們像阿拉伯數學家在公元九世紀所做的那樣，從幾何角度推導并證明這個過程。 以下是波斯數學家花剌子米于公元 820 年出版的《完成與平衡簡明估計書》中出現的證明的變體。 雖然巴比倫人幾乎可以肯定他們的程序技能源自幾何學，但直到7世紀中葉至13世紀中葉的伊斯蘭黃金時代才出現書面記錄和證明其推導正確性的證據。穆斯林統治著一個從中亞延伸的帝國。巴爾干半島和亞平寧山脈。
如果我們“代入”p = b/a 和 q = -c/a，那么這個公式確實可以用現代的方式簡化為二次多項式，就像托莫羅院士所做的那樣。
多年來，非洲-歐亞大陸以各種方式使用二次公式。 公元前19世紀左右的巴比倫人和埃及人，公元前7世紀的迦勒底人，公元前4世紀的埃及人，以及公元5世紀的俄羅斯人都使用了程序版本修辭和切分音是由阿拉伯人在公元9世紀發展起來的，以及公元11世紀歐洲人的切分音和記數方法，隨著人們對正數、無理數、虛數和復數的了解越來越多，每個文明所使用的方法都在進步。