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第五期 開普勒定理
和萬有引力定律
2022年1月4日
勞夫
的三定律
眉宇間，白茫茫的雪地，親吻著大地最后一抹秋色。
抬頭望去，有淡淡的星河，寶藍色映襯著夜色的呢喃。
大如宇宙星云，小如世間塵埃，萬物相連，看不見，看不見，無聲無息……
如果影子不能相依，愿星星與你同在，夢中……
——格拉斯鎮調香師
小時候，我們聽老師講牛頓在桃樹下發現萬有引力定律的故事。 當煮熟的蘋果從雌蕊上掉下來時，受傷的是牛頓，但砸碎的是人類對自然的認知。
有趣的工程談·第五期
當我們在體測中進行立定跳高時，我們一定希望重力消失一秒鐘。 事實上，這是不可能的。 萬有引力是宇宙中最基本的排斥力。 只要兩個有質量的物體存在，它們之間就一定存在萬有引力。
生活中，萬有引力很常見，但大多數物體都被地球“吸引”，人們基本感受不到人與人之間萬有引力的存在。 而放眼宇宙，當兩個物體分別是行星和恒星時，它們之間的引力就會顯得非常巨大。 這種力就像一根繩子，將兩個天體綁在一起，使行星圍繞恒星做周期性運動。
隨著年齡的增長，我們會學到更多。 我們知道，行星的運動符合開普勒三定理。
小學階段我們就知道萬有引力定律結合曲線運動公式可以引入開普勒三大定理。 而且，將萬有引力定理與開普勒定理結合起來，我們可以更準確地描述天體的運動。
那么本期趣談工程我們將對萬有引力定理的推導過程以及開普勒定理和萬有引力定理的應用有更深入的了解。 例如，在已知行星的軌道為橢圓的條件下，我們是否可以利用開普勒三定理來推導出萬有引力定律？ 這是我們本期趣談工程要討論的問題之一。
由于篇幅所限，還有很多知識需要朋友們在以后的學習中去探索。 話不多說，現在就讓我們開始本期有趣的工程討論吧！
目錄
行星的運動
① 萬有引力定律
② 開普勒定理
有心
① 瞬間
② 動量的動量
③ 動量動量定律和動量守恒理論
④ 有心
#盡責性是保守主義的證明
軌道微分方程 - Biene 公式
① 利用比電阻公式計算軌道多項式
② 極坐標系下的圓柱曲線多項式
③利用能量準則求軌道多項式（選讀）
開普勒定理和萬有引力定律
①利用開普勒三定理和比奈公式推導萬有引力定律的物理方法
平方比例重力和穩定性
①當前余額和穩定余額
②平方比例引力與圓形軌道的穩定性
行星的運動
01
萬有引力定理
我們在學校階段就學過：世界上的物體，小到天體，小到塵埃，也就是一切有質量的物體，都會受到力的影響。 這個力我們也叫萬有引力，這個定律，我們就叫它萬有引力定律。
這個偉大的定理是由美國科學家牛頓發現的； 后人在牛頓發現的基礎上建立了萬有引力定理，并設計了實驗來測量萬有引力常數G，最終給出了萬有引力定理在國際單位制中的表達：
萬有引力定律的文字描述如下：
“任何兩個粒子都通過其中心連線的方向產生相互吸引力。這種引力的大小與其質量的乘積成反比，與其距離的平方成正比，并與物理成分有關兩個物體以及它們之間的媒介。類型并不重要。”
——《自然哲學的物理原理》
事實上，萬有引力定理的推導過程充滿坎坷。 歷史上，伽利略早在1632年就提出了離心力和向心力的初步觀點。1645年，貝里亞德提出了重力與平方成正比的思想。 萬有引力與相互作用物體的質量積成反比，這是從發現萬有引力平方定理到發現萬有引力定理的必經階段。
艾薩克·牛頓從1665年到1685年花了兩六年的時間，沿著離心力-向心力-重力-萬有引力概念的演變順序，最終提出了“萬有引力”的概念和詞匯。
從1665年到1666年角動量定理公式推導過程，牛頓只使用了離心力定理和開普勒第三定理，因此他只能證明圓形軌道上的引力平方正比關系，而不能證明橢圓軌道上的引力平方正比關系。 1679年，他懂得了開普勒第二定理，但證明方法沒有突破，還停留在以前的水平。 幾年后，牛頓按照開普勒第三定理、向心力定理、物理極限的概念和微積分的概念，用幾何方法證明了這個困境。
02
開普勒三定理
開普勒定律是英國天文學家開普勒提出的關于行星運動的三個定理。 第一定理和第三定理發表于1609年，是開普勒根據天文學家第谷對火星位置的觀測總結出來的； 第三個定理發表于1619年。這三個定理也分別稱為橢圓定理、面積定理和調和定理。
橢圓定理：所有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上。
面積定理：連接行星和太陽的線在相同的時間內掃過相同的面積。
和諧定理：所有行星繞太陽公轉的時間的平方與其軌道半長軸寬度的立方成正比，即：
隨后，學者們將第一定理改為：
“所有行星（和彗星）的軌道都是圓柱形曲線，太陽位于其焦點之一。”
只有當行星的質量遠小于太陽的質量時，第二定律才準確。 如果認為行星也能吸引太陽，這就是二體問題。
修正后的第三定理的具體表達式為：
其中，m1和m2是兩顆行星的質量，m0是太陽的質量。
有心
顧名思義，有“意力”，即排斥力中有“力心”。
對于任何行星來說，它所受到的力主要是太陽對其的引力。 這個引力的作用線仍然穿過太陽中心，人造月球衛星也是如此。 它所受到的力幾乎只有月球的引力，而這個引力的作用線也穿過地球的中心。
一般來說，如果作用在運動質點上的力的作用線仍然經過某一點，我們就說作用在這個質點上的力是中心力。 中心力的大小通常是矢量半徑r（粒子與力中心之間的距離）的函數，并且力的方向始終沿著粒子與力中心的連線。 趨于固定點的力是重力，離開固定點的力是力。
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扭矩
我們在中學研究杠桿問題時引入了“力臂”的概念，它是指“從作用在杠桿上的力的一端到杠桿所在直線所畫的垂直線的寬度”。位于”。
我們知道圖中所示杠桿的均衡條件為：
我們把
稱為F1和F2的力臂，我們取乘積
扭矩稱為F1、F2，利用矢量積法，我們可以將扭矩寫為：
以向量L的方向作為支點指向力的作用點。
動量時刻
我們模仿扭矩的定義來定義動量矩。
假設有一個物體以v的速度運動，我們在它周圍選取一個參考點O，并通過O做一個軸l，該物體可以看作一個質量為m的粒子。
定義向量r的模長度為質點到軸l的距離，r的方向為軸到質點m的方向。
所以 m 的動量矩為：
動量動量定律與動量守恒理論
小學時，老師教我們：“作用在質點上的力通常會改變物體的動量”。 我們可以推測：作用在質點上的扭力也會改變質點的動量矩，因為它們是一一對應的。 我們把它拿出來驗證一下。 這個猜測正確嗎？
扭矩M等于r和F的矢量積。為了獲得扭矩M形成的療效，我們將運動多項式乘以矢量r：
在左側，我們得到：
由復合函數的導數定律可知：
在第二期體育分析中，我們談到：
即向量函數在某一點的行列式也是一個向量，且該向量與該點的原向量垂直，因此從向量積的計算規則可知：
然后我們得到：
因此，
如果將上式寫成權重表達式，
然后還有：
借助導數的知識，可以按照上面的方式寫成：
其中，i、j、k分別為x、y、z軸方向的單位向量，當向量相等時，知道對應的權重系數也相等，即可得到權重表達式。
因此，扭轉確實可以改變動量矩，這些關系稱為動量矩定律，也稱為角動量定律。 即“質點對慣性系中固定點或固定軸的動量的微分商（行列式）等于作用在同一點或同一軸上的力矩與作用在同一點或同一軸上的力”質點。”
若設 J 為動量矩，M 為扭矩，則動量矩定律可寫為：
其計分方法為：
上式右邊稱為動量矩，因此質點動量矩的變化量就等于該時間內外力給予質點的動量矩。
如果質點不受外力作用，則質點的動量矩對于該點來說是一個常數向量，這種關系稱為動量矩守恒定律，或角動量守恒定律。
補充了扭矩和動量矩相關的知識后，我們就可以繼續研究意念力了。
在向心力作用下，質點仍作平面運動，由于F與向量r共線，r×F=0，J為常數向量。 根據我們剛才補充的知識，粒子滿足角動量守恒定律的條件。
而向心力F的大小通常是徑向矢量r的函數，即：
或者
在笛卡爾坐標系中，以力為原點，質點運動平面為xy平面，則質點運動的微分方程為：
事實上，r2=x2+y2，m是粒子的質量。 可見，用上述公式來研究意向力是非常不方便的。 所以，我們可以嘗試使用極坐標系來研究這個問題。
在第二期中，我們展示了極坐標中粒子的加速度分量：
因此，我們可以由此寫出質點在極坐標系中的運動微分方程：
注意第二個式子是可以整除的，即：
兩邊積分：
也可以寫成：
其中h是常數，現在我們來理解上式的數學意義。
在第二期中，我們給出了極坐標中粒子速度的表達式：
因此動量縱向分量矢量的大小為：
徑向分量矢量的大小為：
由于徑向分量矢量經過O點，即到O點的動量矩的大小為0，而動量的縱向分量到O點的動量矩的大小
同時，它也是整個質量點到O點的動量矩的大小，所以公式：
也就是說，在極坐標系中，存在中心力和動量矩守恒定律的物理表達。
事實上，對于心力來說，外力矩r×F=0，動量J是一個常數向量，它的權重實際上是一個常數。
將運動微分方程的第二個方程代入力矩和動量守恒定律，可得方程組：
這就是粒子在向心力作用下應滿足的方程組。
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保守勢力的證據
證明力是保守的，就是證明力所做的功與路徑無關。 例如，重力是保守力，萬有引力也是保守力。 這樣，我們開始證明，有心也是一種保守的力量。
刻意工作量為：
我們可以在極坐標中分解力：
同理，我們也可以對元素位移進行同樣的分解：
因此，在極坐標中，功的表達式為：
在前面的討論中，我們得到：
那么乘積多項式可以分為：
事實上，F(r)的原函數一定存在，因此定積分的值只與起點和終點對應的向量r有關，與路徑無關。 （這個要和我們學過的定積分區別開來，因為A和B表示的是位置，也就是說積分運算是在實際曲線上進行的。r1和r2是位置對應的積分極限，相當于把現有曲線上的積分移到坐標系的軸上來計算圖像的面積，所以無論從A→B，對應的積分極限都是一樣的。又因為原來的函數是判斷存在 ，所以顯示的結果是函數圖像與坐標軸圍成的面積，即積分結果始終相同。）
或者我們可以借助第三、第四階段中卷曲的知識來判斷該力是否為保守力，即判斷：
無論是否恒定，為了證明公式成立，我們記下上式在平面極坐標系下的權重：
制作：
所以：
所以有心是一種保守的力量。
但必須存在一個勢能V，滿足意向力：
去掉上式左邊的負號后，我們稱之為標量場的梯度（梯度是由函數方向行列式在某一點的最大值決定的向量，其大小為該點方向行列式的最大值。）
又因為勢能差與原點的選擇無關，所以：
此時勢能函數V實際上只是向量r的函數，即V=V(r)。 至于機械能守恒原理，其實是成立的，其具體表達為：
其中E是粒子的總能量，是一個常數。
軌道微分方程 - Biene 公式
在第二節中，我們提出了質點在向心力作用下的運動微分方程：
那么我們可以猜測：從這個方程組中，我們能否找到質點的軌跡方程r(θ)=r？
對于多項式群中的每個等式，我們可以通過求解微分多項式得到參數多項式：
然而，在很多情況下，我們無法導出這樣的顯式函數，而只能將它們表示為關于t的隱式函數。
那么我們是否可以修改上面的多項式，從而導入粒子的軌道微分方程呢？
雖然可以，因為在熱問題中，要得到軌道多項式，一般需要先求出運動定律，然后從運動定律中消去t。 在意力問題中，我們可以使用另一種方法：先消除參數t，然后嘗試尋找運動規律。
基于這些想法，我們不妨先從方程組中消除角度θ。
為了方便估算，我們一般做如下貨幣兌換、順序：
代入方程組第二個方程，可得：
并且由于：
代替
必須：
類似地我們可以得到：
捆
代入方程組第一個方程，可得：
我們稱這個公式為比奈公式。 當F為重力時，F為乘號，否則為正號。 借助這個公式，我們不僅可以得到已知力條件下的軌道多項式，還可以從已知粒子在中心力作用下的軌道多項式得到中心力F(r)的具體方法力量。
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借助 Biene 公式計算軌道多項式
為了估計方便，我們把太陽和月亮都看成質點，但設太陽的質量為ms，行星的質量為m，則萬有引力定律可知，太陽和月球之間的斥力太陽和行星可以寫成：
式中，G為萬有引力常數，k2=Gms是一個與行星無關而只與太陽有關的量，稱為太陽高斯常數。 R是月球中心和太陽中心之間的距離。 將萬有引力定律的表達式代入比奈公式：
現在：
如果我們做：
于是原來的公式就變成了：
所以我們的主要任務就是解這個微分方程。
如果我們做：
那么微分方程可以寫為：
我們用 xi 的一階導數將方程兩邊相乘，得到：
寫成乘積多項式，即：
借助分部積分，完成上述積分，可得：
其中，C為積分常數，然后將dθ除以一側，開根為：
再次積分，得到：
所以我們可以得到：
這里的調整采用了三角函數的導出公式。
和：
或者：
式中，A和θ0是兩個積分常數。 如果我們自動旋轉調整極軸，則可以使θ0=0，則上式可分解為：
如果訂購：
那么上面的公式可以寫成：
這是原點位于焦點的圓柱曲線的極坐標方程。
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極坐標圓柱曲線方程
小學時我們學過直角坐標系下的圓柱曲線的標準多項式，那么當我們使用極坐標系時它們的表達式會是什么樣子呢？
雖然，我們只需要利用幾何方法和簡單的估計方法（以橢圓為例）就可以推導出極坐標系下圓柱曲線的多項式。
P為正焦弦寬度的一半，r為焦點到曲線上一點的距離，半焦距為c，半長軸長度為a，θ為兩者的傾角r 和 x，那么我們可以寫出準數多項式：
將點 (c,p) 代入笛卡爾系統中橢圓的標準多項式：
得到：
所以我們可以將準線寫為：
半焦距也可寫為：
借助橢圓的第二個定義，我們可以得到方程（取左焦點）：
積分獲得：
此時極坐標系的原點就是左焦點。
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選擇
讀
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使用能量準則求軌道多項式
這一點仍然需要圍繞念力的本質來展開。 在前面的討論中，我們得出了正念力是保守力的推論。 這樣，機械能守恒理論就應該成立了，我們想，是否可以用總能量E作為判據呢？ 那么我們現在來討論一下這個問題。
其實前提是F(r)的方法已知，我們來嘗試求勢能V(r)的具體方法。
后面提到：
在力函數中，V只能是r的函數，則：
所以：
以無窮大為勢能零點，引力勢能為：
因此機械能守恒定律可以寫為：
現在，讓我們找到一種方法來消除 dt 項：
進行以下轉換：
并且由于：
代入機械能守恒定律可得：
然后我們分離變量并得到：
我們可以使用積分公式：
對原公式積分，可得：
然后求解r，即：
與標準多項式：
比較一下就知道：
所以：
①E<0，e<1，軌道為橢圓。
②E=0，e=1角動量定理公式推導過程，軌道為拋物線。
③E>0，e>1，軌跡為雙曲線。
開普勒定理和萬有引力定律
前三節我們重點解釋了意念力的本質及其相關應用，但借助意念力的知識，我們給出了粒子在意念力作用下的軌道微分多項式——比奈公式。
所以在本節中，我們將利用開普勒三定理和比奈公式來嘗試推導萬有引力定理。
根據開普勒第二定理，我們知道單位時間內徑向矢量掃過的面積A相等，即：
讓我們嘗試找到面積相對于時間 t 的變化率的表達式：
P1和P2是行星運動時軌道上的兩個相鄰位置。 當P1和P2很接近時，掃掠面積約等于三角形OP1P2'的面積，即：
但：
所以：
由已知條件可知：
如果兩者都恒定，那么行星對太陽的動量矩守恒，即行星對太陽的力的力矩為0，那么行星上所受的力一定是中心力。
現在，我們有了開普勒第一定理：
軌道為橢圓，以右焦點為極點，多項式為：
或者：
將這個關系代入比奈公式并注意：
所以：
所以：
The above shows that the force on a is to the of the .
But so far there is still a , the in the :
It is not a fixed value, and it does not mean that the is the law of .
So we still have to use 's third .
We use the :
For , get:
When the the , A=πab, and the time is T, then:
和：
因為
所以：
to 's third , the right side of the above is a that has to do with , so even h and p are to , and the right side of the above (p/h2) is a that has to do with .
If order:
Then we can write as:
This is the of the law of .
and
I don't know if you have such a doubt: Why does just the law of , is it not the law of cubic ?
Of , to this , we only need to look up at the stars again. At this time, we will all find that the sun, moon, and stars are in , but they do not move and . It is not to think that the of the be in a state.
These are what we call in .
For , if there is a in the open space and a ball is at the , the whole can be in a state of force .
, these are . If we give the ball a small in the , the ball will lose its and fall from the .
, if the ball is put into a semi- bowl, as shown in the :
No how small a we give the ball, and as long as the ball is still in the bowl, the ball will tend to a state.
We call the first kind of the , and the kind the .
So in order to find out why obeys the law, we can from the of orbit.
For , we the of .
For , the :
It is a . It can be known from that if the track is a , the speed is equal , that is:
the angle θ, we get:
或者：
So the -order :
into the ratio :
The that be when the orbit of the is a orbit under the of force is :
在：
It the force on the mass of a unit.
Next, let's a to the will the of the 's .
Order rate:
a :
Both ξ and its in the can be as a very small , and the is into the , and we get:
This is so that the be seen at a , so we need to use the to the two sides of the into a :
Note that since ξ is an , then:
for , we get:
在：
Take the first-order trace, and a
可以放
as:
C2 is whose value is of the of the .
Next, let's study the of ??of C1 on the of the .
We order:
① When C1
the right side by ξ' to get:
both sides at the same time, with the help of the by parts , we get:
現在：
pass :
, the , we get:
不可缺少的：
After the above , you will get:
Where θ0 is the , and ξ is :
Use the to , and use A, B to the :
After that, we the of the other two cases, and list the total below:
只有在當C1＞0時，ξ的表達式才能始終保持在小量狀態。另外兩表達式的ξ值就會隨著θ的減小而減小，最終趨向無窮。
因而，當矩形軌道上運行的質點滿足：
時，就會漸趨穩定。
所以
在特殊情況下，我們考慮引力與距離的n次方成正比的情況。 Right now:
這么很容易得到：
代入C1＞0得n＜3。
所以只有當n=-1或n=2時吸引力能夠給出穩定的方形軌道。且n=-1時，力與距離成反比；n=2時，力與距離的平方成正比。
所以萬有引力就會滿足平方正比規律。
參考書目
①《理論熱學教程》第四版——周衍柏
高等教育出版社
②《高等物理》第七版——同濟學院物理系
高等教育出版社
③《微分幾何》第四版——梅向明/黃敬之
高等教育出版社
④《高等代數》第五版——北京學院物理系
高等教育出版社
⑤《線性代數》第六版——同濟學院物理系
高等教育出版社
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土木工程與熱學大學融媒體中心網路工作室依托于大學融媒體中心舉辦相關工作，推介專業，趣說學科。有趣也有料！
供稿|土木工程與熱學大學融媒體中心網路工作室
編輯|季懌慧
校對|蔣煜
初審|朱佳君張馳豪王若冰陳立偉