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[!--downpath--]例21行星蝸桿機(jī)構(gòu)的曲柄OO1受轉(zhuǎn)矩M作用而繞固定鉛直軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，并推動(dòng)蝸桿O1在固定水平蝸桿O上滾動(dòng)如圖所示。設(shè)曲柄OO1為均質(zhì)桿，長(zhǎng)l、重P；蝸桿O1為均質(zhì)圓盤(pán)，直徑r、重Q。試求曲柄的角加速度及兩蝸桿接觸處沿切線方向的力。解：以曲柄為研究對(duì)象，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，列舉定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分等式OO1MO1OaFnFtRnRtM由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，有聯(lián)立求解(1)~(4)，得O1F'nF'tTNatana1取蝸桿O1剖析，蝸桿O1作平面運(yùn)動(dòng)MO1OaFnFtRnRt**忽然解除約束瞬時(shí)，桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不再是靜力學(xué)問(wèn)題。這時(shí)，??0，??0。須要先求出?，再確定約束力。應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分等式應(yīng)用剛體運(yùn)動(dòng)定律?OFOxFOyW=mg由前知，質(zhì)心對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩定義為：質(zhì)心上所有質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸z的垂直距離的平方乘積的算術(shù)和。即對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)心，上式可寫(xiě)成積分方式由定義可知，轉(zhuǎn)動(dòng)力矩除了與質(zhì)量有關(guān)，并且與質(zhì)量的分布有關(guān)；在國(guó)際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的單位是:kg·m2。
同一質(zhì)心對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩是不同的，而它對(duì)某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩卻是常數(shù)。因而在談及轉(zhuǎn)動(dòng)力矩時(shí)，必須指明它是對(duì)哪一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。12.4質(zhì)心對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩1.均質(zhì)細(xì)桿12.4.1簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩z1dxxxCzdxxxOl設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，取微段dx,則2.均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，直徑為R。則3.均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩設(shè)圓板的質(zhì)量為m，直徑為R。將圓板分為無(wú)數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圓板轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為12.4.1簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩在工程上常用回轉(zhuǎn)直徑來(lái)估算質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，其定義為假如已知回轉(zhuǎn)直徑，則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為回轉(zhuǎn)直徑的幾何意義是：假想地將物體的質(zhì)量集中到一點(diǎn)處，并保持物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩不變，則該點(diǎn)到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)直徑的厚度。對(duì)于幾何形狀相同的均質(zhì)物體，其回轉(zhuǎn)直徑相同。12.4.2回轉(zhuǎn)直徑(慣性直徑)定律：質(zhì)心對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，等于質(zhì)心對(duì)于通過(guò)剛體、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，加上質(zhì)心的質(zhì)量與兩軸寬度離平方的乘積，即證明：因14.4.3平行軸定律y,y1z1zdxmCOz＝z1x＝x1r1ryy1x1由剛體座標(biāo)公式由定律可知：質(zhì)心對(duì)于所有平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，過(guò)剛體軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩最小。
當(dāng)座標(biāo)原點(diǎn)取在剛體C時(shí),yC＝0,Smiyi＝0,又有Smi＝m,于是得14.4.3平行軸定律例11如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對(duì)z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為J1，求桿對(duì)z2的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩J2。解：由，得平行軸定律(1)－(2)得zz1z2abC例12均質(zhì)直角折桿規(guī)格如圖，其質(zhì)量為3m，求其對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。解：組合質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩例13如圖所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)空心圓錐體直徑為R1，外徑為R2，求對(duì)中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。解：空心圓錐可看成由兩個(gè)實(shí)心圓錐體組成，外圓錐體的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為J外理論力學(xué)動(dòng)量矩定理ppt，內(nèi)圓錐體的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為J內(nèi)取負(fù)值，即設(shè)m1、m2分別為外、內(nèi)圓錐體的質(zhì)量，則于是組合質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩設(shè)單位容積的質(zhì)量為r，則代入前式得注意到rpl(R21－R22)＝m,則得組合質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩如圖所示，O為固定點(diǎn)，C為質(zhì)點(diǎn)系的剛體，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)mi于是12.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于剛體的動(dòng)量矩定律因?yàn)閞ir'irCmiyy'x'z'COxzvirir'irCmiyy'x'z'COxzvi它是質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于剛體的動(dòng)量矩。
于是得即：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于集中于剛體的系統(tǒng)動(dòng)量mvC對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩再加上此系統(tǒng)對(duì)于剛體的動(dòng)量矩LC(應(yīng)為矢量和)。12.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于剛體的動(dòng)量矩定律質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定律可寫(xiě)成令展開(kāi)上式,注意右端項(xiàng)中ri＝rC+ri',于是上式化為上式右端是外力對(duì)剛體的主矩，于是得由于于是上式成為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于剛體的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的行列式，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)剛體的主矩。12.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于剛體的動(dòng)量矩定律例14均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為2m，直徑為r。細(xì)桿OA質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l＝3r，繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速率為w、求下述三種情況下系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩：(a)圓盤(pán)與桿土體；(b)圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速率w逆秒針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；(c)圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速率w順秒針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。解：(a)(b)(c)由質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)理論知：平面運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的位置可由基點(diǎn)的位置與質(zhì)心繞基點(diǎn)的拐角確定。取剛體為基點(diǎn)，如圖所示，則質(zhì)心的位置可有剛體座標(biāo)和j角確定。質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可分解為陪同剛體的平動(dòng)和相對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部份。取如圖的動(dòng)座標(biāo)系，則質(zhì)心繞剛體的動(dòng)量矩為JC為質(zhì)心過(guò)剛體且垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。
12.6質(zhì)心的平面運(yùn)動(dòng)微分等式y(tǒng)'x'xyOCD設(shè)作用在質(zhì)心上的外力可向質(zhì)所在平面簡(jiǎn)化為一平面力系，由剛體運(yùn)動(dòng)定律和相對(duì)剛體的動(dòng)量矩定律得上式也可寫(xiě)成12.6質(zhì)心的平面運(yùn)動(dòng)微分等式y(tǒng)'x'xyOCD以上兩式稱為質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)微分等式。應(yīng)用時(shí)，前一式取其投影式。即12.6質(zhì)心的平面運(yùn)動(dòng)微分等式例15一均質(zhì)圓錐，質(zhì)量為m，直徑為r，無(wú)初速地置于夾角為q的斜面上，不計(jì)滾動(dòng)阻力，求其力偶的加速度。解：以圓錐體為研究對(duì)象。圓錐體在斜面上的運(yùn)動(dòng)方式，取決于接觸處的光滑程度，下邊分三種情況進(jìn)行討論：(1)設(shè)接觸處完全光滑此時(shí)圓錐作平動(dòng)，由剛體運(yùn)動(dòng)定律即得圓錐剛體的加速度CqCxyOqaCFNmg(2)設(shè)接觸處足夠粗糙此時(shí)圓錐作純滾動(dòng)，列舉平面運(yùn)動(dòng)微分等式解得因?yàn)閳A錐作純滾動(dòng)，故F由純滾動(dòng)條件有所以，可得這就是圓錐體在斜面上作純滾動(dòng)的條件。qCxyaCOFNmg(3)設(shè)不滿足圓錐體在斜面上作純滾動(dòng)的條件設(shè)圓錐體沿斜面滑動(dòng)的動(dòng)磨擦系數(shù)為f'，則滑動(dòng)磨擦力于是圓錐體在斜面上既滾動(dòng)又滑動(dòng),在這些情況下，aC≠ra例16均質(zhì)圓錐體A和B質(zhì)量均為m，直徑均為r。
圓錐A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓錐A上，繩的另一端繞在圓錐B上。求B下落時(shí)，剛體C點(diǎn)的加速度。磨擦不計(jì)。解：取A剖析，受力如圖。A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分多項(xiàng)式有其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC取B剖析，受力如圖。B作平面運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)的微分多項(xiàng)式有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aD＝raA,，而由加速度合成定律有例17均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，在鉛直平面內(nèi)一端順著水平地面，另一端順著鉛垂墻面，從圖示位置無(wú)初速地滑下。不計(jì)磨擦，求開(kāi)始滑動(dòng)的瞬時(shí)，地面和墻面對(duì)桿的約束反力。解：以桿AB為研究對(duì)象，剖析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB桿作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)剛體C的加速度為aCx、aCy，角加速度為a。aaCxaCy由質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)微分等式mgBqCAxy以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度為再以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為aAaaBaCxaCyatBCatAC在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),w＝0,故,將上式投影到y(tǒng)軸上，得an＝0AC同理，，將上式投影到x軸上，得an＝0BC聯(lián)立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：亦可由座標(biāo)法求出(4)、(5)式：運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，，故BqCAxyjAxCB例18如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細(xì)繩吊住，已知兩繩與水平方向的傾角為j。
求B端繩斷掉瞬時(shí)，A端繩的張力。解：取桿剖析，構(gòu)建如圖座標(biāo)。有AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則jjABFT由于斷掉初瞬時(shí),vA＝0,w＝0,故,an＝0Aan＝0CA將上式投影到x軸上，得anCAatCAatAanAajAxCBaaCxmg例19長(zhǎng)l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB和BC用合頁(yè)B連接，并用合頁(yè)A固定，坐落平衡位置。今在C端作用一水平力F，求此瞬時(shí)，兩桿的角加速度。解：分別以AB和BC為研究對(duì)象，受力如圖。AB和BC分別作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)。對(duì)AB由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分等式得CBAFABFAxFBxFByaBWaABFAyBC作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)，則將以上矢量式投影到水平方向，得(4)由(1)~(4)聯(lián)立解得對(duì)BC由質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)的微分等式得(2)(3)BGCaBCFWaGxaGyatGBF'ByF'BxO例20平板質(zhì)量為m1，受水平力F作用而沿水平面運(yùn)動(dòng)，板與水平面間的動(dòng)磨擦系數(shù)為f，平板上放一質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓錐，它相對(duì)平板只滾動(dòng)不滑動(dòng)，求平板的加速度。
解：取圓錐剖析，構(gòu)建如圖座標(biāo)。于是得：FaCFN1F1m2gaaOaxyxyF'N1F'1FN2F2m1gFa取板剖析12動(dòng)量矩定律質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩動(dòng)量矩定律質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分等式質(zhì)心對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)剛體的動(dòng)量矩定律質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)微分等式序言由靜力學(xué)力系簡(jiǎn)化理論知：平面任意力系向任一簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化可得一力和一質(zhì)心，此力等于平面力系的主矢，此質(zhì)心等于平面力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。由質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)理論知：質(zhì)心的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為陪同基點(diǎn)的平動(dòng)和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。若將簡(jiǎn)化中心和基點(diǎn)取在剛體上，則動(dòng)量定律(剛體運(yùn)動(dòng)定律)描述了質(zhì)心陪同剛體的運(yùn)動(dòng)的變化和外力系主矢的關(guān)系。它闡明了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)側(cè)面。質(zhì)心相對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)變化與外力系對(duì)剛體的主矩的關(guān)系將有本章的動(dòng)量矩定律給出。它闡明了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的另一個(gè)側(cè)面。1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩，是矢量。12.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv在oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對(duì)于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)于z軸的矩，簡(jiǎn)稱對(duì)于z軸的動(dòng)量矩，是代數(shù)目。
類似于力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在z軸上的投影，等于對(duì)z的動(dòng)量矩。在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的單位是kg·m2/s。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩[MO(mv)]z＝Mz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩LO=ΣMO(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一z軸的動(dòng)量矩的代數(shù)和。LO=ΣMz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的z軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩。[LO]z=Lz3平動(dòng)質(zhì)心的動(dòng)量矩質(zhì)心平移時(shí)，可將全部質(zhì)量集中于剛體，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)估算其動(dòng)量矩。質(zhì)心的動(dòng)量矩4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心的動(dòng)量矩令Jz＝Σmiri2稱為質(zhì)心對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩,于是得即：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于質(zhì)心對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速率的乘積。例1均質(zhì)圓盤(pán)可繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其上纏有一繩，繩上端吊一重物A。若圓盤(pán)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為J，直徑為r，角速率為w，重物A的質(zhì)量為m，并設(shè)繩與原盤(pán)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩。解：LO的轉(zhuǎn)向沿逆秒針?lè)较颉Ｙ|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩12.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定律設(shè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為MO(mv)，斥力F對(duì)同一點(diǎn)的矩為MO(F)，如圖所示。
12.2動(dòng)量矩定律xyzOMO(mv)mvrMO(F)F將動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次求導(dǎo)，得12.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定律由于所以又由于所以xyzOMO(mv)mvrMO(F)F質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階求導(dǎo)，等于斥力對(duì)同一點(diǎn)的矩。將上式投影在直角座標(biāo)軸上，并將對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與對(duì)軸的動(dòng)量矩的關(guān)系代入，得質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階行列式等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)同一軸的矩。12.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定律例2圖示為一單擺（物理擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線長(zhǎng)為l，如給擺錘以初位移或初速率（也稱初擾動(dòng)），它就在經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)。求此單擺在微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：以擺錘為研究對(duì)象，受力如圖，構(gòu)建如圖座標(biāo)。在任剎那時(shí)，擺錘的速率為v，擺的偏角為j，則式中減號(hào)表示扭矩的正負(fù)號(hào)恒與角座標(biāo)j的正負(fù)號(hào)相反。它表明扭力總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢(shì)。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定律MyxNvmg由即這就是單擺的運(yùn)動(dòng)微分等式。當(dāng)j很小時(shí)擺作微擺動(dòng)，sinj≈j，于是上式變?yōu)榇宋⒎值仁降慕鉃槠渲蠥和a為積分常數(shù)，取決于初始條件。
可見(jiàn)單擺的微幅擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。擺動(dòng)的周期為其實(shí)，周期只與l有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。得設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于每位質(zhì)點(diǎn)的力分為外力Fi(e)和內(nèi)力Fi(i)。由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定律有這樣的多項(xiàng)式共有n個(gè)，相乘后得因?yàn)閮?nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，因而上式右端的底二項(xiàng)12.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定律上式上端為于是得12.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定律質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的行列式，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和。在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定律時(shí)，取投影式質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的行列式，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一軸的矩的代數(shù)和。12.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定律1.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定理假如作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)某定點(diǎn)(或定軸)之矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩保持不變。12.2.3動(dòng)量矩守恒定律當(dāng)外力對(duì)于某定點(diǎn)(或某定軸)的主矩等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩保持不變。2.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理例3轉(zhuǎn)爐運(yùn)送礦石的絞盤(pán)如圖。已知鼓輪的直徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。貨車(chē)和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的質(zhì)心矩為M，鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為J，軌道夾角為a。
設(shè)繩質(zhì)量和各處磨擦不計(jì)，求貨車(chē)的加速度a。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。以順秒針為正，則由，有動(dòng)量矩定律MOm2gNvm1gFOxFOyw因,于是解得若M＞m2gRsina理論力學(xué)動(dòng)量矩定理ppt，則a＞0，貨車(chē)的加速度沿軌道向下。必須指出的是：為使動(dòng)量矩定律中各化學(xué)量的正負(fù)號(hào)保持協(xié)調(diào)，動(dòng)量矩和扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完全一致。動(dòng)量矩定律例4水平桿AB長(zhǎng)2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用合頁(yè)與長(zhǎng)為l的桿AC及BD相連，桿端各連結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。原本兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，這系統(tǒng)繞z軸的角速率為w0。如某時(shí)此細(xì)線扭斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速率w。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這種力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，即其實(shí)，此時(shí)的角速率w＜w0。解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象例5均質(zhì)圓輪直徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為JO。圓輪在重物P推動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。應(yīng)用動(dòng)量矩定律OPWvmgFOxFOyw例6水流通過(guò)固定導(dǎo)流莖稈步入軸套，入口和出口的流速分別為v1和v2，兩者與軸套外周邊和內(nèi)周邊切線之間的傾角分別為?1和?2，水的容積流量為qV、密度為?，水流入口和出口處軸套的直徑分別為r1和r2，軸套水平放置。
求水流對(duì)軸套的驅(qū)動(dòng)扭矩。解：在dt時(shí)間間隔內(nèi)，水流ABCD段的水流運(yùn)動(dòng)到abcd時(shí)，所受的力以及她們對(duì)O軸之矩：重力——由于水輪機(jī)水平放置，重力對(duì)O軸之矩等于0；相鄰水流的壓力——忽略不計(jì)；軸套的反作用扭力——與水流對(duì)軸套的驅(qū)動(dòng)扭矩大小相等，方向相反。abcdabcd應(yīng)用動(dòng)量矩定律Mz例7一繩越過(guò)定滑輪，其二端吊有質(zhì)量為m的重物A，另一端有一質(zhì)量為m的人以速率u相對(duì)細(xì)繩向下爬。若滑輪直徑為r，質(zhì)量不計(jì)，但是開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，求人的速率。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。設(shè)重物A上升的速率為v，則人的絕對(duì)速率va的大小為因?yàn)镾MO(F(e))＝0，且系統(tǒng)初始靜止，所以LO＝0。由上可知，人與重物A具有相同的的速率，此速率等于人相對(duì)繩的速率的一半。假如開(kāi)始時(shí)，人與重物A坐落同一高度，則不論人以多大的相對(duì)速率爬繩，人與重物A將一直保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy設(shè)質(zhì)心繞定軸z以角速率w轉(zhuǎn)動(dòng)，則Lz＝Jzw。12.3質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分等式xyzFN1FN2FnF1F2質(zhì)心受有主動(dòng)力和軸承約束反力，如不計(jì)磨擦，則由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定律得或12.3質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分等式質(zhì)心對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩與角加速度的乘積，等于作用于質(zhì)心上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。
以上各色均稱為質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分等式。應(yīng)用質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分等式可以解決動(dòng)力學(xué)兩類問(wèn)題。例6如圖所示，已知滑輪直徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為J，推動(dòng)滑輪的皮帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度a。解：由質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分等式于是得由上式可見(jiàn)，只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（包括靜止）或雖有勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，但可忽視滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩時(shí)，越過(guò)定滑輪的皮帶拉力才是相等的。F1F2ORa定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分等式例7圖示化學(xué)擺的質(zhì)量為m，C為其力偶，擺對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為JO。求微小擺動(dòng)的周期。解：設(shè)j角以逆秒針?lè)较驗(yàn)檎?。?dāng)j角為正時(shí)，重力對(duì)O點(diǎn)之矩為負(fù)。由質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分多項(xiàng)式，有當(dāng)微擺動(dòng)時(shí)，有sinj≈j，故等式寫(xiě)為此多項(xiàng)式通解為j0為角振幅，a為初相位。它們均由初始條件確定。擺動(dòng)周期為mg這就表明，如已知某物體的質(zhì)量和形心位置，并將物體懸掛于O點(diǎn)作微幅擺動(dòng)，測(cè)出擺動(dòng)周期后即可估算出此物體對(duì)于O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。例8如圖，飛輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為J，以初角速率w0繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其阻轉(zhuǎn)矩M＝－aw(a為常數(shù))。求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，角速率降至初角速率的一半，在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)?解：以飛輪為研究對(duì)象，由質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分多項(xiàng)式，有Mw0將（1）式變換，有將上式求定積分，得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分多項(xiàng)式將(1)式改寫(xiě)為即將上式求定積分，得轉(zhuǎn)過(guò)的角度為因而轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)例9如圖所示，漸開(kāi)線蝸桿各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動(dòng)，其直徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動(dòng)力矩分別為J1、J2，今在輪O1上作用一扭力M，求其角加速度。
解：分別以三輪為研究對(duì)象，受力如圖，由質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分多項(xiàng)式，有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，得注意到，聯(lián)立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nMOFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：FOx=0,FOy=mg/2忽然解除約束瞬時(shí)：FOx=？,FOy=？例題10關(guān)于忽然解除約束問(wèn)題**