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注意數(shù)學(xué)定理、公式的適用條件和應(yīng)用范圍
數(shù)學(xué)定理和公式通常都是在一定的理想化模型下構(gòu)建或推論下來的，都只在一定條件下和一定范圍內(nèi)才適用，因而應(yīng)用數(shù)學(xué)定理和公式來剖析、解決實(shí)際問題時(shí)，必須注意其適用條件和應(yīng)用范圍。但是，這點(diǎn)卻常常被中學(xué)生所忽略，她們?cè)诟黝惥毩?xí)中往往不加剖析地從題給數(shù)據(jù)出發(fā)，亂套亂用數(shù)學(xué)公式來求答案，有的還對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式盲目地作不合理的外推，得出錯(cuò)誤的推論。為了克服中學(xué)生亂套亂用數(shù)學(xué)公式的毛病，使她們能正確、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)定理、公式來剖析、解決實(shí)際問題，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中注意了如下幾個(gè)方面。
一、闡明數(shù)學(xué)公式的類型、適用條件和應(yīng)用范圍
高中數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)公式有如下三種類型，它們各有其適用條件和應(yīng)用范圍。
（一）實(shí)驗(yàn)公式。數(shù)學(xué)學(xué)是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，對(duì)一些實(shí)驗(yàn)得到的規(guī)律性推論常用公式的方式抒發(fā)下來，這類數(shù)學(xué)公式稱作實(shí)驗(yàn)公式。諸如，玻意耳一馬略特定理、查理定理、蓋.呂薩克定理和庫(kù)侖定理，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)是通過實(shí)驗(yàn)和剖析總結(jié)下來的。班主任在進(jìn)行教學(xué)時(shí)要捉住這一特性，突出公式的適用條件。諸如，講解玻意耳一馬略特定理時(shí)，在演示實(shí)驗(yàn)的過程中，就要突出實(shí)驗(yàn)裝置本身和實(shí)驗(yàn)過程所反映的這一定理的適用條件，把數(shù)學(xué)定理和它的適用條件融合為有機(jī)的整體，進(jìn)而使中學(xué)生弄清這一定理必須是一定質(zhì)量的二氧化碳（理想二氧化碳）在等溫條件下的變化才適用，即實(shí)驗(yàn)公式只適用于得到推論的范圍。
一些通過實(shí)驗(yàn)總結(jié)下來的數(shù)學(xué)定理，其適用范圍絕不能盲目外推到極端。比如真空中庫(kù)侖定理的公式等，只適用于真空中兩個(gè)相對(duì)靜止的點(diǎn)電荷，但這種中學(xué)生常常從“純物理化”觀念來看待數(shù)學(xué)公式，對(duì)點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)含義缺少正確的理解，進(jìn)而得出當(dāng)時(shí)，的謬論。之所以形成這些謬論。1．因?yàn)榘裷不合理地外推到趨近于零；2。沒有真正理解點(diǎn)電荷的含意。由于當(dāng)時(shí)，兩電荷Q1和Q2早已足夠大，不能再把它們看成點(diǎn)電荷了，而應(yīng)看成是帶電體。這時(shí)Q1、Q2的互相作用很復(fù)雜，庫(kù)侖定理描述不了它們之間的互相作用，因此庫(kù)侖定理就不適用了。又如，對(duì)查理定理和蓋·呂薩克定律有些中學(xué)生也因?yàn)椴缓侠硗馔频襟w溫達(dá)到絕對(duì)零度，得出二氧化碳的浮力與容積都等于零的謬論。形成錯(cuò)誤的緣由，在于沒有真正理解二氧化碳的氣溫根本不可能達(dá)到絕對(duì)零度。根據(jù)分子運(yùn)動(dòng)論，二氧化碳分子無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)不會(huì)停止。這么二氧化碳分子對(duì)器壁總有碰撞，因此總有浮力；另外，二氧化碳分子有一定容積，無論二氧化碳被冷卻到哪些程度，二氧化碳分子本身的容積也不可能等于零。為此，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)使中學(xué)生弄清二氧化碳三定理和理想二氧化碳的狀態(tài)多項(xiàng)式，是對(duì)一定質(zhì)量的理想二氧化碳在常溫常壓或低溫低壓下而言的，不要盲目外推到高溫或高壓因而形成差錯(cuò)。
（二）定義公式。
引用新數(shù)學(xué)量自然要給它下定義，由此把該化學(xué)量所反映的客觀事物的本質(zhì)屬性或物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律闡明下來。定義一個(gè)數(shù)學(xué)量要符合下列兩個(gè)要求：1．定義的結(jié)果能從量的方面反映出事物的化學(xué)性質(zhì)或特點(diǎn)，即定義的結(jié)果應(yīng)當(dāng)跟引用該量的目的一致上去；2．定義本身符合事物的客觀實(shí)際，即定義所得到的量值受客觀事物的本質(zhì)屬性或物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律所阻礙。在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)量的定義還用物理方式抒發(fā)下來，這就是數(shù)學(xué)量的定義公式。諸如電場(chǎng)硬度是描述電場(chǎng)的力的性質(zhì)的數(shù)學(xué)量；電勢(shì)是表征電場(chǎng)的能的性質(zhì)的數(shù)學(xué)量。用物理工具對(duì)這種概念進(jìn)行確切地描述，于是得到、這些公式都是定義公式，也是量度公式。通常情況下定義公式的適用范圍就是在研究物質(zhì)的本質(zhì)屬性或物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)所設(shè)的條件范圍，但絕大多數(shù)定義公式都是普遍適用的。
（三）誘導(dǎo)公式。有的數(shù)學(xué)公式是由一些已知的數(shù)學(xué)公式經(jīng)過一定方式的物理變換或推論而得到的，這類公式稱作誘導(dǎo)公式或?qū)牍健ＶT如，點(diǎn)電荷的電場(chǎng)硬度的公式：應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)：誘導(dǎo)公式的適用范圍，通常受拿來推論的各化學(xué)公式的適用范圍的共同限制。上述推論過程中使用了電場(chǎng)強(qiáng)度的定義公式和庫(kù)侖定理，因?yàn)閹?kù)侖定理只能拿來估算相對(duì)靜止的點(diǎn)電荷。間的互相斥力，因而誘導(dǎo)公式也只適用于估算真空中靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)硬度。又如，勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電場(chǎng)硬度的公式：按照上述同樣的道理，這一誘導(dǎo)公式“只適用于估算勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電場(chǎng)硬度，但是d必須是A、B兩點(diǎn)沿電力線方向的距離。
綜上所述、、，這三個(gè)公式的適用范圍分別是，1．是定義公式，它對(duì)任何靜電場(chǎng)都是普遍適用的；2．能拿來估算真空中點(diǎn)電荷的電場(chǎng)硬度；3．只能拿來估算勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電場(chǎng)硬度。這兒要指出條件是數(shù)學(xué)公式創(chuàng)立的重要根據(jù)，脫離數(shù)學(xué)公式存在的條件，去討論公式中的各量之間的關(guān)系，那是沒有意義的。
應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，上述三類公式的分辨并不是絕對(duì)的。有些定理表面看來可以由其他定理推論下來，但實(shí)際上也是實(shí)驗(yàn)定理。諸如，動(dòng)量守恒定理在熱學(xué)中似乎可以由牛頓第二、第三定理推論下來；并且可以依據(jù)牛頓第二定理和動(dòng)量守恒定理推導(dǎo)入牛頓第三定理。但事實(shí)上，動(dòng)量守恒定理跟牛頓運(yùn)動(dòng)定理一樣也是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過對(duì)實(shí)驗(yàn)的剖析、歸納推理而總結(jié)下來的。也就是說，牛頓運(yùn)動(dòng)定理和動(dòng)量守恒定理都是實(shí)驗(yàn)定理，它們是相互獨(dú)立的數(shù)學(xué)定理，但是動(dòng)量守恒定理的適用范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了牛頓熱學(xué)的適用范圍。牛頓運(yùn)動(dòng)定理只適用于精典熱學(xué)的范圍，對(duì)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)和高速運(yùn)動(dòng)的物體不適用。而動(dòng)量守恒定理仍可應(yīng)用。因而在教學(xué)中既要把握數(shù)學(xué)規(guī)律的通常性，也要注意它們的特殊性。
二、用發(fā)展的觀點(diǎn)闡述數(shù)學(xué)定理和公式的適用范圍
客觀世界是絕對(duì)真理，而人類的認(rèn)識(shí)只能是相對(duì)真理。為此，教學(xué)中必須注意以發(fā)展的觀點(diǎn)來闡述數(shù)學(xué)定理和公式，引導(dǎo)中學(xué)生在知識(shí)的不斷推進(jìn)過程中，更好地理解數(shù)學(xué)定理和公式的適用范圍。諸如，教學(xué)質(zhì)量守恒定理時(shí)，必須分辨低速下還是高速下的質(zhì)量守恒。1．在低速下焦耳定律定義及公式，是靜止質(zhì)量守恒，不考慮質(zhì)能關(guān)系。即在低速下，兩樣?xùn)|西并在一起，合成的質(zhì)量就等于原先質(zhì)量之和，不管發(fā)生哪些變化，最后的質(zhì)量也是不變的。2．在高速下，則要依據(jù)相對(duì)論考慮動(dòng)質(zhì)量以及質(zhì)能關(guān)系。像在高能核反應(yīng)中，將發(fā)生質(zhì)量巨虧，這時(shí)，就必須依據(jù)愛因斯坦的質(zhì)能等式，由去查證質(zhì)量守恒，結(jié)果質(zhì)量依然遵照守恒定理。又如，教學(xué)能的轉(zhuǎn)化和守恒定理時(shí)，我們結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，讓中學(xué)生認(rèn)識(shí)到能量是物體（或物體系）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量度，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的方式是多種多樣的，因而能量的方式也是多種多樣的。每種方式的能都是跟物質(zhì)的某種方式的運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)的，能量既不會(huì)憑空形成，也不會(huì)陡然消失，它只能從一種方式轉(zhuǎn)化為另一種方式，或則從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到別的物體，在轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移過程中總能量保持不變。能的轉(zhuǎn)化和守恒定理反映了物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)不斷地由一種方式轉(zhuǎn)化為其他方式這一客觀規(guī)律。從這個(gè)意義上說，能的轉(zhuǎn)化和守恒定理是絕對(duì)真理。但是在認(rèn)識(shí)發(fā)展的長(zhǎng)河中，它也是相對(duì)真理。因?yàn)槲镔|(zhì)的無限多樣性，物質(zhì)層次的無限可分性，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)方式的無限多樣性，因而，與之相對(duì)應(yīng)的各類能量的方式及其轉(zhuǎn)化還有待于被發(fā)覺。從能量守恒定理發(fā)覺至今，早已又發(fā)覺了許多當(dāng)時(shí)所不曉得的物質(zhì)存在方式和能量方式，大大豐富和發(fā)展了能的轉(zhuǎn)化和守恒定理的內(nèi)容，今后還必定發(fā)覺新的物質(zhì)方式和對(duì)應(yīng)的新的能量方式。從這個(gè)意義上說，能的轉(zhuǎn)化和守恒定理是還有待于進(jìn)一步充實(shí)和建立的相對(duì)真理。
三、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)定理和公式的適用條件
指出數(shù)學(xué)定理、公式的適用條件的同時(shí)，要引導(dǎo)中學(xué)生不要孤立地、片面地看問題，而應(yīng)當(dāng)與“科學(xué)具象”的思維方式聯(lián)系上去，或則采用“轉(zhuǎn)化”的方式，捉住事物的相互聯(lián)系來靈活地剖析、解決有關(guān)的問題。
（一）對(duì)適用條件隱蔽的數(shù)學(xué)定理和公式，要闡述其來龍去脈，并設(shè)計(jì)有針對(duì)性的課堂練習(xí)，引導(dǎo)中學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)其適用條件，并據(jù)以剖析、解決有關(guān)的問題。
比如，對(duì)阿基米德定理，要使中學(xué)生從理論上懂得物體在液體中遭到的壓強(qiáng)是如何形成的—一物體在液體中遭到的向下的壓力比向上的壓力大，而這個(gè)壓力的差就是液體對(duì)物體的壓強(qiáng)，這樣她們能夠真正領(lǐng)會(huì)這個(gè)定理的適用條件，進(jìn)而防止不考慮壓強(qiáng)形成的殺件而盲目地套用公式；諸如下邊這道課堂練習(xí)題：“河旁有一木樁，漏出地向的容積為。當(dāng)退潮時(shí)，湖水把木樁全都吞沒，求此時(shí)水對(duì)木樁的壓強(qiáng)是多人？因?yàn)樵陬}給的情況下，木樁并沒有遭到水對(duì)它向下的壓力，所以水對(duì)木樁的壓強(qiáng)為零。這時(shí)這個(gè)公式就不能應(yīng)用。
（二）個(gè)別數(shù)學(xué)公式，盡管適用條件彼此不同，但在一定條件下可以統(tǒng)一上去，化繁為簡(jiǎn)。諸如焦耳定理在純內(nèi)阻電路中，、、三個(gè)關(guān)系可以通用而且在通常情況下這三個(gè)關(guān)系式是不能通用的。由于公式是電路中所消耗的總電能，其中有一部份轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能，也可能有一部份轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌绞降哪埽ㄈ珉娐分杏兄绷麟妱?dòng)機(jī)、電解槽、變壓器，則部份電能就轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能、化學(xué)能、磁場(chǎng)能），為此，要估算電壓通過電路時(shí)有多少電能轉(zhuǎn)變?yōu)闊釙r(shí)，就必須用Q＝UIt這一公式估算。它對(duì)一切電路部是適用的.。
（三）運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的方式，捉住事物的相互聯(lián)系；靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)定理的適用條件。諸如講解運(yùn)動(dòng)的合成和分解的適用場(chǎng)合時(shí)，為了克服中學(xué)生解題時(shí)不認(rèn)真剖析“適用條件”和孤立、片面地對(duì)待“適用條件”的毛病，應(yīng)當(dāng)通過課堂練習(xí)，讓中學(xué)生弄清運(yùn)動(dòng)的合成和分解跟相對(duì)運(yùn)動(dòng)是密切不可分的。有些運(yùn)動(dòng)的合成和分解的問題。實(shí)際上就是所選定參照物不同的問題。因而。研究運(yùn)動(dòng)的合成和分解的問題時(shí)，必須正確選定參照物，離開參照物的選取去討論合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)是沒有意義的。所以處理問題的關(guān)鍵在“抓參照物的正確選定，把研究相對(duì)運(yùn)動(dòng)跟研究運(yùn)動(dòng)的合成和分解結(jié)合上去，使中學(xué)生并明白。在選取參照物后，只有同一物體同時(shí)參與兩種或的種以上運(yùn)動(dòng)時(shí)，就能求其合運(yùn)動(dòng)（這也稱作合成、分解問題的同體性）；不同物體的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)其實(shí)是同時(shí)進(jìn)行的，也是不能合成的。但應(yīng)當(dāng)注意，有的問題表面看來是兩個(gè)物體的同時(shí)運(yùn)動(dòng)，卻可轉(zhuǎn)化為同一物體同時(shí)參與兩種運(yùn)動(dòng)，這樣就符合了運(yùn)動(dòng)的合成的適用場(chǎng)合，就可以求其合成運(yùn)動(dòng)。諸如，“船在靜水中的速率V船是2米／砂，水流速率V水是1米／秒；問河堤上靜上的人看船順?biāo)畷r(shí)的速率是多大？即求船岸邊的速率是多少？這個(gè)問題其實(shí)表面看來，船進(jìn)V船和水速V水是不同物體的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，卻可轉(zhuǎn)化為同一物體（船）同時(shí)參與兩種運(yùn)動(dòng)──以河堤為參照物，船在流水中同時(shí)參與兩種運(yùn)動(dòng)：1．船速即船的航行速率，也就是船在靜水中的速率V船＝2米／秒。2．因?yàn)樗髑斑M(jìn)時(shí)，船亦急劇前進(jìn)、因此船隨水流前進(jìn)的速率（對(duì)河堤而言），它的量值和方向都跟水流速率相同，即2米／秒；所以可求其合速率V船岸＝2米／秒十1米／秒二3米／秒；。這樣既引導(dǎo)中學(xué)生養(yǎng)成剖析問題的習(xí)慣，又對(duì)“運(yùn)動(dòng)的合成和分解的適用場(chǎng)合獲得了透徹的理解。
（四）運(yùn)用等效方式確立“研究對(duì)象”，或則將個(gè)別數(shù)學(xué)公式經(jīng)過物理演化后得出新的數(shù)學(xué)公式，使所研究的問題符合個(gè)別數(shù)學(xué)定理的適用條件，因而靈活地運(yùn)用這種定理來解答問題。諸如理想二氧化碳的狀態(tài)等式只適用于一定質(zhì)量的理想二氧化碳的情況，即只有在狀態(tài)變化過程中二氧化碳質(zhì)量保持不變的情況下，這個(gè)公式才適用。若兩個(gè)狀態(tài)二氧化碳的質(zhì)量不同，就不能簡(jiǎn)單地套用這個(gè)公式，必須把“研究對(duì)象”轉(zhuǎn)化為一定質(zhì)量二氧化碳后再用這個(gè)公式去解。一般是把“變質(zhì)量”的氣態(tài)問題轉(zhuǎn)化為“定質(zhì)量變?nèi)莘e”的氣態(tài)問題，或選擇相關(guān)連的局部的二氧化碳作為“研究對(duì)象”來處理。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)：氣態(tài)的實(shí)際問題有好多屬于發(fā)霉量問題，如排氣、漏氣、抽氣、進(jìn)氣、打氣等等。關(guān)于排（漏）氣問題，可以構(gòu)想把排（漏）出的二氧化碳仍包含在內(nèi)的全部二氧化碳作為“研究對(duì)象”焦耳定律定義及公式，即“研究對(duì)象”的容積仍包括排（漏）出的二氧化碳的容積。同樣，關(guān)于進(jìn)（打）氣問題也可采用類似方式。諸如：“有一筒打算作氣割用的二氧化碳，筒內(nèi)的濕度是27℃，這時(shí)簡(jiǎn)內(nèi)二氧化碳的浮力是40＊105帕，這么，從筒內(nèi)放出一半質(zhì)量的氫氣之后，并使筒內(nèi)剩余二氧化碳的氣溫增加到12℃時(shí)，求這種剩余二氧化碳的浮力是多大？”在運(yùn)用等效方式確立“研究對(duì)象”時(shí)，應(yīng)構(gòu)想放出到筒外的一半質(zhì)量的二氧化碳和筒內(nèi)的二氧化碳經(jīng)歷同樣的變化，因而在確立“研究對(duì)象”時(shí)，把簡(jiǎn)內(nèi)的二氧化碳和放出到筒外的氧氣合在一起（即把兩者構(gòu)想為經(jīng)歷相同的變化過程）作為“研究對(duì)象”，這樣“研究對(duì)象”如就成為一定質(zhì)量的二氧化碳──如，得。
另外理想二氧化碳的狀態(tài)多項(xiàng)式經(jīng)過物理演化即氣態(tài)密度多項(xiàng)式后，就可適用于同一種二氧化碳（理想二氧化碳）質(zhì)量發(fā)生變化時(shí)的情況（不管質(zhì)量有無改變均適用）。這就是說，經(jīng)過物理演化后，不但公式抒發(fā)方式不同了，但是它所反映的數(shù)學(xué)意義也就不同了，因此公式的適用條件也隨著改變了。
（五）認(rèn)真剖析條件的轉(zhuǎn)化，正確運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)定理來解答“變條件”的綜合題。在解答“變條件”的綜合題時(shí)，要認(rèn)真剖析題目所反映的整個(gè)化學(xué)過程的不同階段（分過程）及其條件的轉(zhuǎn)化，條件變化后，所適用的數(shù)學(xué)定理和公式也要急劇改變。諸如“用沖擊擺測(cè)彈丸的速率”這一實(shí)驗(yàn)（小學(xué)數(shù)學(xué)課本下冊(cè)P．336－P．339），要引導(dǎo)中學(xué)生弄清這道“變條件”綜合題所反映的整個(gè)化學(xué)過程，應(yīng)分為兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)階段來處理，并分別依照完全非彈性碰撞動(dòng)量守恒（第一個(gè)運(yùn)動(dòng)階段）和沙箱（擺錘）。擺動(dòng)過程機(jī)械能守恒（第二個(gè)運(yùn)動(dòng)階段）而得到了這一關(guān)系式（式中L為擺長(zhǎng)），因而問題就迎刃而解了。通過這一“變條件”綜合題的剖析，中學(xué)生不但弄清了在解決碰撞問題時(shí)怎樣分別正確運(yùn)用動(dòng)量守恒定理和機(jī)械能守恒定理來剖析和解決問題，并且更好地把握了這兩個(gè)守恒定理各自的適用條件及其應(yīng)用。
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