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課時作業13　圓周運動及其應用
時間：45分鐘

1．如圖為學員駕駛汽車在水平面上繞O點做勻速圓周運動的俯視示意圖．已知質量為60 kg的學員在A點位置，質量為70 kg的教練員在B點位置，A點的轉彎半徑為5.0 m，B點的轉彎半徑為4.0 m，學員和教練員(均可視為質點)(　D　)

A．運動周期之比為54
B．運動線速度大小之比為11
C．向心加速度大小之比為45
D．受到的合力大小之比為1514
解析：學員和教練員做圓周運動的角速度相等，根據T＝2πω知，周期相等，故A錯誤；根據v＝rω，學員和教練員做圓周運動的半徑之比為54，則學員和教練員做圓周運動的線速度之比為54，故B錯誤；根據a＝rω2，學員和教練員做圓周運動的半徑之比為54，則學員和教練員做圓周運動的向心加速度大小之比為54，故C錯誤；根據F＝ma，學員和教練員做圓周運動的向心加速度大小之比為54，質量之比為67，則學員和教練員受到的合力大小之比為1514，故D正確．
2．在高速公路的拐彎處，通常路面都是外高內低．如圖所示，在某路段汽車向左拐彎，司機左側的路面比右側的路面低一些，汽車的運動可看作是半徑為R的圓周運動．設內、外路面高度差為h，路基的水平寬度為d，路面的寬度為L.已知重力加速度為g.要使車輪與路面之間的橫向摩擦力(即垂直于前進方向)等于零，則汽車轉彎時的車速應等于(　B　)

A.gRhL B.gRhd
C.gRLh D.gRdh
解析：汽車做勻速圓周運動，沒有橫向摩擦力時，向心力由重力與斜面對汽車的支持力的合力提供，且向心力的方向沿水平方向，向心力F向＝mgtanθ，根據牛頓第二定律有F向＝mv2R，又知tanθ＝hd，解得汽車轉彎時的速度v＝gRhd，B正確．
3．圖示為公路自行車賽中運動員在水平路面上急轉彎的情景，運動員在通過彎道時如果控制不當會發生側滑而摔離正常比賽路線，將運動員與自行車看作一個整體，下列論述正確的是(　B　)

A．運動員轉彎所需向心力由地面對車輪的支持力與重力的合力提供
B．運動員轉彎所需向心力由地面對車輪的摩擦力提供
C．發生側滑是因為運動員受到的合外力方向背離圓心
D．發生側滑是因為運動員受到的合外力大于所需的向心力
解析：運動員轉彎所需的向心力由地面對車輪的摩擦力提供，則A錯誤，B正確．發生側滑而做離心運動的原因是所受到的摩擦力小于所需要的向心力，故C、D錯誤．
4．如圖，某摩天輪總建設高度為160米，橫跨直徑為153米．它一共懸掛有60個座艙，旋轉一周的時間是30分鐘，可同時容納400人左右同時進行游覽．若該摩天輪做勻速圓周運動，則乘客(　D　)

A．速度始終恒定
B．加速度始終恒定
C．乘客對座椅的壓力大小始終不變
D．乘客受到合力大小不變
解析：本題考查圓周運動及對基本概念的理解．做勻速圓周運動的物體，速度大小不變，方向不斷變化，加速度大小不變，方向總是指向圓心，AB錯誤；乘客受到的合力大小不變，方向總是指向圓心，而壓力在最低點大于最高點，C錯誤，D正確．
5．如圖所示，在勻速轉動的水平盤上，沿半徑方向放著用細線相連的質量相等的兩個物體A和B，它們與盤面間的動摩擦因數相同．當勻速轉動的圓盤轉速恰為兩物體剛好未發生滑動時的轉速，燒斷細繩，則兩物體的運動情況將是(　D　)

A．兩物體沿切線方向滑動
B．兩物體沿半徑方向滑動，離圓盤圓心越來越遠
C．兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，不會發生滑動
D．物體A仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，物體B發生滑動，離圓盤圓心越來越遠
解析：本題考查圓周運動．由題圖知，物體B做勻速圓周運動的半徑大于物體A做勻速圓周運動的半徑，因為兩物體的質量相等，角速度相同，物體B的向心力大于物體A的向心力，故當物體B剛要發生滑動時，物體B所受的摩擦力為最大靜摩擦力，物體A所受的摩擦力小于最大靜摩擦力，當物體A剛要發生滑動時，物體B做勻速圓周運動的向心力由細線的拉力與圓盤的最大靜摩擦力的合力提供，所以燒斷細線后，物體B所受的最大靜摩擦力不足以提供其做圓周運動所需要的向心力，B相對圓盤發生滑動而做離心運動，而物體A所需要的向心力小于最大靜摩擦力，所以物體A相對圓盤靜止，選項A、B、C錯誤，D正確．
6．(多選)如圖所示，置于豎直面內的光滑金屬圓環半徑為r，質量m的帶孔小球穿于環上，同時有一長為r的細繩一端系于圓環最高點，另一端系于小球上，當圓環以角速度ω(ω≠0)繞豎直直徑轉動時(　CD　)

A．細繩對小球的拉力可能為零
B．細繩和金屬圓環對小球的作用力大小可能相等
C．細繩對小球拉力與小球的重力大小不可能相等
D．當ω＝2gr時，金屬圓環對小球的作用力為零
解析：因為圓環光滑，小球不受摩擦力，小球受重力、繩子的拉力、環對球的彈力，根據幾何關系可知，此時細繩與豎直方向的夾角為60°，當圓環旋轉時，小球繞豎直軸做圓周運動，則有Tcos60°＋Ncos60°＝mg，Tsin60°－Nsin60°＝mω2rsin60°，解得T＝mg＋12mω2r，N＝mg－12mω2r，當ω＝2gr時，金屬圓環對小球的作用力N＝0.綜上可知C、D正確，A、B錯誤．
7．如圖所示，一根長為l＝1 m的細線一端系一質量為m＝1 kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角為θ＝37°.(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，結果可用根式表示)

(1)若要使小球剛好離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？
(2)若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
解析：

(1)若要使小球剛好離開錐面，則小球只受到重力和細線的拉力，小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力沿水平方向，受力分析如圖所示．由牛頓第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mω20lsinθ　解得ω0＝glcosθ＝522 rad/s.
(2)同理，當細線與豎直方向成α＝60°角時，由牛頓第二定律及向心力公式得mgtanα＝mω′2lsinα
解得ω′＝glcosα＝25 rad/s.
答案：(1)522 rad/s　(2)25 rad/s



8．如圖所示，兩個用相同材料制成的靠摩擦傳動的輪A和B水平放置，兩輪半徑關系為RA＝2RB.當主動輪A勻速轉動時，在A輪邊緣上放置的小木塊恰能相對靜止在A輪邊緣上．若將小木塊放在B輪上，欲使木塊相對B輪也靜止，則木塊距B輪轉動軸的最大距離為(　C　)

A.RB4 B.RB3
C.RB2 D．RB
解析：由圖可知，當主動輪A勻速轉動時，A、B兩輪邊緣上的線速度相同，由ω＝vR，得ωAωB＝v/RAv/RB＝RBRA＝12.由于小木塊恰能在A輪邊緣靜止，則由最大靜摩擦力提供向心力，故μAmg＝mω2ARA①
設放在B輪上能使木塊相對靜止的距B轉動軸的最大距離為r，則向心力由最大靜摩擦力提供，故μBmg＝mω2Br②
因A、B材料相同，故木塊與A、B的動摩擦因數相同，①②式左邊相等，故mω2ARA＝mω2Br，得r＝(ωAωB)2RA＝(12)2RA＝RA4＝RB2.所以選項C正確．
9．(2019?重慶一中模擬)如圖，半徑為R的半球形陶罐固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過容器球心O的豎直線重合，轉臺以一定角速度ω勻速旋轉．有兩個質量均為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，兩小物塊都隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，兩物塊和球心O的連線相互垂直，且A物塊和球心O的連線與豎直方向的夾角θ＝60°，已知重力加速度大小為g，若A物塊受到的摩擦力恰好為零，則B物塊受到的摩擦力大小為(　A　)

A.3－12mg B.3－14mg
C.3－36mg D.3－236mg
解析：當A所受摩擦力恰為零時，A和球心的連線與豎直方向的夾角為60°，根據牛頓第二定律得mgtan60°＝mrω2，r＝Rsin60°，此時B有沿罐壁向上滑的趨勢，摩擦力沿罐壁切線向下，豎直方向上Ncos30°－fsin30°－mg＝0，水平方向上Nsin30°＋fcos30°＝mr′ω2，r′＝Rsin30°，聯立解得f＝3－12mg，A正確．
10．(多選)如圖所示，在角錐體表面上放一個物體，角錐體繞豎直軸轉動．當角錐體旋轉角速度增大時，物塊仍和角錐體保持相對靜止，則(　AD　)

A．物體受到的支持力減小
B．物體受到的合外力不變
C．角錐體對物體的作用力不變
D．物體受到的靜摩擦力增大
解析：物體隨角錐體繞豎直軸轉動，對物體受力分析，設傾斜面與水平面的夾角為α，所以在豎直方向：mg＝Ncosα＋fsinα，水平方向：fcosα－Nsinα＝mω2r，當角錐體旋轉的角速度增大時，物體仍和角錐體保持相對靜止，則物體需要的向心力增大，分析知靜摩擦力增大，支持力減小，物體在豎直方向所受合力為零，水平方向向心力增大，所以物體所受合外力增大，選項A、D正確．
11．如圖在水平圓盤上放有質量相同的滑塊1和滑塊2，圓盤可繞垂直圓盤的中心軸OO′轉動．兩滑塊與圓盤的滑動摩擦因數相同均為μ，最大靜摩擦力認為等于滑動摩擦力．兩滑塊與軸O共線且滑塊1到轉軸的距離為r，滑塊2到轉軸的距離為2r，現將兩個滑塊用輕質細線相連，保持細線伸直且恰無張力．當圓盤從靜止開始轉動，角速度極其緩慢地增大，針對這個過程，求解下列問題：

(1)求輕繩剛有拉力時圓盤的角速度；
(2)求當圓盤角速度為ω＝μgr時，滑塊1受到的摩擦力．
解析：(1)輕繩剛有拉力時，物體2與轉盤間的摩擦力達到最大靜摩擦力，則由牛頓第二定律μmg＝mω20?2r
解得ω0＝μg2r
(2)當圓盤角速度為ω＝μgr>μg2r，此時2與轉盤間的摩擦力是最大靜摩擦力，則
對2：FT＋μmg＝mω2?2r
對1：FT＋Ff1＝mω2?r
解得Ff1＝0
答案：(1)μg2r　(2)0
12．圖甲中表演的水流星是一項中國傳統民間雜技藝術，在一根繩子上系著兩個裝滿水的桶，表演者把它甩動轉起來，猶如流星般，而水不會流出來．圖乙為水流星的簡化
示意圖，在某次表演中，當桶A在最高點時，桶B恰好在最低點，若演員僅控制住繩的中點O不動，而水桶A、B(均可視為質點)都恰好能通過最高點，已知繩長l＝1.6 m，兩水桶(含水)的質量均為m＝0.5 kg，不計空氣阻力及繩重，取g＝10 m/s2.

(1)求水桶在最高點和最低點的速度大小；
(2)求圖示位置時，手對繩子的力的大小．
解析：(1)設最高點的速度為v1，最低點的速度為v2，水桶做圓周運動的半徑R＝l2＝0.8 m
水桶恰通過最高點時繩上的拉力為零，有：mg＝mv21R
解得：v1＝22 m/s
水桶從最高點運動到最低點有：mgl＋12mv21＝12mv22
解得：v2＝210 m/s
(2)繩OA對水桶A的拉力為零，對最低點的桶B受力分析可得FOB－mg＝mv22R
解得：FOB＝30 N
所以，手對繩子的力的大小為30 N
答案：(1)22 m/s　210 m/s　(2)30 N