15-1 碰撞問題的基本假設(shè)采用準(zhǔn)剛體模型，即物體仍然被視為剛體，但在碰撞點(diǎn)處可以在很小的范圍內(nèi)變形。 碰撞過程分為兩個階段：變形階段和恢復(fù)階段。 碰撞過程很短，因此物體的位移可以忽略不計(jì)； 即碰撞前后物體的位置保持不變。 另外，只會研究碰撞前后物體運(yùn)動（速度、能量等）的變化，不會研究碰撞過程中力變化的細(xì)節(jié)。 因此，將采用各種一般定理的積分形式（有限形式），并且碰撞力僅考慮碰撞力的累積效應(yīng)——碰撞沖量。 15-2 碰撞過程的基本定理，質(zhì)量系統(tǒng)動量定理（也稱為沖量定理）（15-1）的積分形式，分別是粒子 i 在時間 t2 和 t1 時的速度，并且是作用在粒子 i 上的外力。 字面表達(dá)為：t2和t1時質(zhì)量系統(tǒng)動量的變化等于同一時間間隔內(nèi)作用在質(zhì)量系統(tǒng)上的外部碰撞沖量的主矢量，可以寫成中心的形式質(zhì)量運(yùn)動定理 (15-2) 質(zhì)量系統(tǒng)動量矩定理 (沖矩定理) (15-3) 的積分形式是分別在時間 t2 和 t1 時質(zhì)量系統(tǒng)相對于 O 點(diǎn)的動量矩，并且為質(zhì)點(diǎn) i 的矢量半徑。 根據(jù)前面的假設(shè)，在碰撞過程中它是不變的。 字面表達(dá)為：t2和t1時質(zhì)量系統(tǒng)在O點(diǎn)的動量矩的變化等于同一時間間隔內(nèi)外部碰撞沖量作用于質(zhì)量系統(tǒng)上同一點(diǎn)的主力矩。 可以在固定點(diǎn)O（15-4）處取力矩中心，以在剛體上進(jìn)行平面運(yùn)動。 碰撞會導(dǎo)致物體變形、發(fā)出聲音、發(fā)熱，甚至發(fā)光。 因此，碰撞過程中會損失機(jī)械能，很難計(jì)算力的功。
因此，碰撞時動能定理一般不方便應(yīng)用； 但在某些特殊情況下，也可以推導(dǎo)出動能損失的公式。 碰撞過程除了受動力學(xué)定律的制約外，還與材料的變形恢復(fù)性能密切相關(guān)。 因此，解決碰撞問題，除了動力學(xué)方程外，還需要補(bǔ)充與材料變形恢復(fù)性能相關(guān)的物理?xiàng)l件。 15-3 兩球的碰撞恢復(fù)系數(shù) 兩球的向前碰撞 兩球的速度在兩球中心連線上的碰撞稱為向前碰撞。 圖15-1（a）展示了兩個球的碰撞過程，圖15-1（b）展示了兩個球在變形階段和恢復(fù)階段的受力圖（碰撞問題中使用沖量代替力） 。 列出兩個球的動力學(xué)方程。 變形段： (15-4)恢復(fù)段：分別是變形段和恢復(fù)段中兩個球之間的碰撞沖量。 動力學(xué)方程(15-4)和(15-5)中有兩個。 5 個未知量：一個方程； 身體條件必須補(bǔ)充。 實(shí)驗(yàn)表明，變形階段和恢復(fù)階段的碰撞沖量之比僅與兩球的材料有關(guān)。 恢復(fù)系數(shù)e的值由下式定義并通過實(shí)驗(yàn)測量。 方程組(15-4)、(15-5)和(15-6)共有5個方程和5個未知數(shù)。 方程組是封閉的，可以求解 (15-7) 關(guān)于恢復(fù)系數(shù)的討論 恢復(fù)系數(shù)代表了材料變形的恢復(fù)性能，各種常見材料的恢復(fù)系數(shù)見表15-1。 表15-1 各種材料的恢復(fù)系數(shù) 碰撞物體的材料 象牙色 象牙色 玻璃 玻璃的恢復(fù)系數(shù)為0.140.260.500.560.890.94。 理想情況下，可以存在，即材料變形根本無法恢復(fù)，稱為塑性碰撞（如粘土）。
這時，兩個球碰撞并粘在一起。 在理想情況下，也有可能發(fā)生材料變形能夠完全恢復(fù)的碰撞，稱為完全彈性碰撞。 此時，兩球碰撞后的速度可由式（15-7）求得。 將式(15-7)最后兩個方程相減，可得(15-8)。 該方程通常稱為牛頓碰撞公式。 它有明確的物理意義。 恢復(fù)系數(shù)等于碰撞后兩球的分離速度與碰撞前兩球的接近速度之比。 可以證明，在物體間單點(diǎn)碰撞的情況下，式(15-6)和式(15-8)是等價的。 因此，式（15-8）也可以作為回收系數(shù)的定義。 對于球與固定表面碰撞的情況，可利用式（15-7）求得碰撞后球的速度。 由此動量矩定理的積分形式，可以推導(dǎo)出恢復(fù)系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測定方法。 球在h1高度處開始從靜止處自由下落，擊中固定面后彈回。 彈跳的高度為h2，所以(15-9)分別表示碰撞過程開始和結(jié)束時粒子系統(tǒng)的動能，則有(15-10)，即塑性碰撞時，系統(tǒng)的動能損失為 (15-11) 如果第二個物體在塑性碰撞開始時處于靜止?fàn)顟B(tài)，即有 (15-12) 鍛造金屬屬于 在這種情況下，當(dāng)鍛錘也就是說，鍛件和砧座是理想的，系統(tǒng)的碰撞動能損失盡可能大，從而轉(zhuǎn)化為鍛件的變形能很大。 為此目的而選擇打樁時也是如此。 但我們希望碰撞后樁應(yīng)獲得最大的動能，使樁能夠克服土體的阻力向前移動動量矩定理的積分形式，即碰撞過程中系統(tǒng)的動能損失應(yīng)盡可能小盡可能。
為此，應(yīng)選擇兩個球的斜向碰撞。 當(dāng)球中心的速度不在球中心連線上時，兩個球就會傾斜碰撞。 這時，兩個球的中心會在二維平面內(nèi)移動（球是光滑的，所以不會出現(xiàn)轉(zhuǎn)動）。 建立Oxy球中心運(yùn)動分解坐標(biāo)系（圖15-5）。 沿x軸，碰撞前后兩個球的動量守恒； 沿軸線，通過兩球向前碰撞法即可求出兩球的速度。 此時，恢復(fù)系數(shù)公式(15-8)應(yīng)修改為： (15-13) 分別為碰撞前后兩球沿接觸公共法線方向的相對接近速度和相對分離速度觀點(diǎn)。 例15-1 小球與固定面平滑傾斜地碰撞。 碰撞開始時的速度為 ，入射角為 ，恢復(fù)系數(shù)為 。 求碰撞結(jié)束時球的速度及其對實(shí)際材料的反射角。 因此，存在，即球的反射角總是大于入射角。 工程中，常從大量鋼球（如滾球）中篩選出具有相同彈性的鋼球，即采用使鋼球垂直落到斜面上的方法，選出合格的鋼球。球反彈到容器中。 15-4 剛體碰撞中心 研究剛體碰撞問題時，除采用剛體動力學(xué)方程的積分形式外，還應(yīng)補(bǔ)充物理?xiàng)l件（15-13）。 但這里應(yīng)該理解的是，碰撞剛體上的兩個接觸點(diǎn)在共同法線方向上處于相對接近速度和相對分離速度。 例15-2與光滑地面形成一個角度，以平行于桿本身的速度v撞擊地面； 假設(shè)碰撞是完全彈性的，求碰撞后桿的運(yùn)動。 解：桿在平面內(nèi)運(yùn)動。 請參見圖 15-8。 桿的動力學(xué)方程為：54.7，有。 碰撞后球桿中心的垂直速度分量保持向下。
例15-3 剛體繞O軸旋轉(zhuǎn)。 剛體的質(zhì)量為軸的轉(zhuǎn)動慣量，角速度為 。 在某一時刻已知沖量的作用下，求碰撞后的角速度和碰撞時軸承O的后碰撞沖量。 各部分尺寸如圖15-9(a)所示。 解：應(yīng)用定軸旋轉(zhuǎn)動力學(xué)方程時，沖量垂直于連接軸O與質(zhì)心C的直線OC。若其作用點(diǎn)K的位置也滿足(15-14)，即外部碰撞沖擊力不會引起支架的后碰撞。 沖動。 K點(diǎn)稱為沖擊中心（圖15-9（b））。 顯然，該位置也是剛體使復(fù)擺繞軸擺動時的擺中心。 圖 15-10 顯示了一根長的均質(zhì)桿，它從水平位置繞旋轉(zhuǎn)軸落下并彈回固定支架。 為了使軸承處不產(chǎn)生碰撞沖量，支撐件應(yīng)安裝在桿的沖擊中心位置，即注意，在前面所有的分析中，重力是非碰撞力，可以忽略不計(jì)。 例15-4 兩根均質(zhì)棒具有相同的質(zhì)量和長度。 它們通過光滑的鉸鏈連接。 在沖量的作用下，兩桿作固定軸，桿作平面運(yùn)動。 補(bǔ)充方程（約束）。 上述4個方程共有4個。 未知數(shù)、方程組是封閉的并且可以求解。 討論：在牛頓-歐拉方法中，可以將剛體系統(tǒng)分解為單獨(dú)的剛體進(jìn)行處理。 如果只需要碰撞后系統(tǒng)的運(yùn)動，這種方法就比較麻煩，因?yàn)檫€涉及到系統(tǒng)內(nèi)部的碰撞沖量。 采用下面的分析力學(xué)方法，將系統(tǒng)視為一個整體，可以避免內(nèi)部碰撞沖量的出現(xiàn)，直接獲得碰撞后的運(yùn)動。
