當(dāng)物體平移和旋轉(zhuǎn)時(shí)，各有一個(gè)守恒量：平移-動(dòng)量，旋轉(zhuǎn)-角動(dòng)量。
動(dòng)量用于研究平移運(yùn)動(dòng)，角動(dòng)量用于研究旋轉(zhuǎn)。 研究用于平移的速度，研究用于旋轉(zhuǎn)的表面速度（表面速度在勻速圓周運(yùn)動(dòng)期間退化為角速度）。 研究平移力和旋轉(zhuǎn)力。
關(guān)鍵是，為什么？
我們先看翻譯。 要研究物體在力作用下的運(yùn)動(dòng)，不妨從沒(méi)有力的情況開(kāi)始。 這正是牛頓第一定律的內(nèi)容：自由物體（即不受力的物體）將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到有外力迫使它發(fā)生改變。 這意味著不受力的物體將處于“穩(wěn)態(tài)”，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持不變。 什么是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？ 這是速度。 靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是速度不變，或者說(shuō)加速度為零。
當(dāng)沒(méi)有外力作用時(shí)，它處于穩(wěn)定狀態(tài)。 當(dāng)施加力時(shí)，穩(wěn)??態(tài)會(huì)被打破，即速度發(fā)生變化，即加速度不為零，加速度與力成正比，也就是眾所周知的公式F=ma= m dv/dt。 這就是牛頓第二定律所揭示的內(nèi)容。
旋轉(zhuǎn)呢？ 物體為什么會(huì)旋轉(zhuǎn)？ 因?yàn)樗鞘芰Φ挠绊?，具體來(lái)說(shuō)，是某種向心力的作用。 因此，可以用牛頓第二定律來(lái)分析。 但問(wèn)題是，似乎有一種更方便的方法。
自轉(zhuǎn)問(wèn)題的研究首先源于對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的分析。 雖然行星由于恒星的引力而不斷改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但行星運(yùn)動(dòng)有固定的周期和穩(wěn)定的軌道，不能不說(shuō)是“穩(wěn)態(tài)”。 這種“穩(wěn)態(tài)”與牛頓第一定律中描述的自由物體的“穩(wěn)態(tài)”頗為相似，但顯然又不完全相同。 牛頓第一定律中的“穩(wěn)態(tài)”暫稱(chēng)為“平移穩(wěn)態(tài)”。 我們已經(jīng)知道它可以用速度這個(gè)物理量來(lái)表示。 這種穩(wěn)定狀態(tài)意味著速度不會(huì)改變。 那么用什么物理量來(lái)描述物體在向心力作用下旋轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的固定周期固定軌道的“旋轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)”呢？
我們先來(lái)看看勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 最初，人們認(rèn)為天體都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閯蛩賵A周運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的自轉(zhuǎn)形式。 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，雖然速度方向始終在變化，但其大小卻保持不變。 旋轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)可以用速度的絕對(duì)值來(lái)描述嗎？ 能。 但還有一個(gè)更合適的物理量，那就是角速度。 盡管繞力中心做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向始終在變化動(dòng)量守恒定律發(fā)現(xiàn)者，但單位時(shí)間內(nèi)旋轉(zhuǎn)的角度保持不變，并且始終是同一方向（即順時(shí)針或逆時(shí)針）。 這找到了在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中保持不變的守恒量。
角速度w和速度v之間的關(guān)系為v=w×r。 用速度來(lái)描述平移運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用角速度來(lái)描述旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 繼續(xù)與平移牛頓定律類(lèi)比，由于F=m dv/dt，則有r×F= r×(m dv/dt)= r×md(w×r)/dt。 由于旋轉(zhuǎn)軸是固定的，我們可以知道向量相乘的結(jié)果是絕對(duì)值的乘積，r×(w×r)=r^2w。 所以r×F=mr^2dw/dt。 給r×F的量起個(gè)名字，叫矩，記為M，也給mr^2起個(gè)名字，叫慣性矩，記為I。至此，我們得到了“轉(zhuǎn)動(dòng)牛頓定律”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，與平移下的牛頓定律完全相似。 即：①不施加扭矩時(shí)，角速度保持不變； ②角速度的變化，即角加速度與力矩M=I dw/dt成正比。 它非常一致和整潔。
但這樣做有什么好處呢？ 難道只是為了好看嗎？
當(dāng)然不是。 利用角速度和扭矩的概念，可以在不使用牛頓第二定律的情況下分析向心力，而僅研究其他力的影響，即使它顯然受到向心力的作用。 也就是說(shuō)，求出物理量角速度w，在向心力作用下能保持不變。 因此，相應(yīng)地構(gòu)造了物理量扭矩M。 其含義是從“力”的概念中提取出向心力的部分，從而得到真正能夠改變角速度的力的部分。 即，表達(dá)式M=I dw/dt。
為什么可以做到這一點(diǎn)？ 看數(shù)學(xué)表達(dá)式，用徑向向量r與力向量相交，豈不是消除了平行于r的部分（俗稱(chēng)徑向分量）而保留了平行于r的部分（俗稱(chēng)切向分量） ？ 什么是徑向分量？ 不是向心力嗎？ 因此，你可以忽略已知的向心力的影響，把你的手拿開(kāi)去研究其他力的影響。 而如果除了向心力之外沒(méi)有其他力，物體就會(huì)保持穩(wěn)定狀態(tài)。 這種穩(wěn)態(tài)由一個(gè)不變的物理量來(lái)描述，即角速度w。
不變性，俗稱(chēng)守恒量。 物理學(xué)一直在尋找這樣的量。
不幸的是，現(xiàn)實(shí)并不像想象的那么完美。 進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，沒(méi)有一個(gè)天體按完美的圓形軌道運(yùn)行，而且每個(gè)天體都不同。 速度不僅方向不斷變化，大小也時(shí)時(shí)變化。 角速度不再是一個(gè)守恒量。 那么，天體的運(yùn)行有什么規(guī)律可尋嗎？
有。 這不能不說(shuō)一下偉大的開(kāi)普勒。 開(kāi)普勒花了十多年的時(shí)間，從他的導(dǎo)師第谷十多年的觀測(cè)數(shù)據(jù)中總結(jié)出了我們所知的開(kāi)普勒三定律。 其中，開(kāi)普勒第二定律：連接太陽(yáng)和太陽(yáng)系中運(yùn)動(dòng)行星的連線（徑向矢量）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。 由此，可以引入物理量，即表面掠射速度。 根據(jù)牛頓力學(xué)可以證明，如果一個(gè)物體受到一個(gè)中心力的作用，那么該物體繞力心的掃掠速度是恒定的； 而不受力的自由粒子（因此它必須以勻速直線運(yùn)動(dòng)）圍繞任何給定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，表面掠過(guò)的速度是恒定的。
表面掠射速度是我們真正尋找的旋轉(zhuǎn)守恒量。 角速度只是當(dāng)旋轉(zhuǎn)恰好是勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的特例。
我們先看看不加力的情況：如下圖a。 由于勻速直線運(yùn)動(dòng)，粒子每固定時(shí)間前進(jìn)的距離是相同的。 雖然連接粒子到固定點(diǎn)O的線的長(zhǎng)度（即徑向矢量r）不斷變化，但直徑矢量垂直于速度方向（圖中的OH）的分量保持不變。 因此，單位時(shí)間內(nèi)徑向矢量掃過(guò)的面積（掃面三角形）是等底、等高的三角形族。 它們的面積顯然相等，即掠面速度恒定，始終為 1/2 rvsin θ。 用矢量表示，就是掠面速度s=1/2r×v。
（圖片選自趙開(kāi)華老師的《新概念物理教程·力學(xué)》）
我們用精神力來(lái)看一下情況：如上圖b所示，在第一個(gè)時(shí)間間隔dt內(nèi)，物體以一定的初速度從A移動(dòng)到B。 在接下來(lái)的時(shí)間間隔內(nèi)，如果物體不受力，它將繼續(xù)沿AB方向前進(jìn)。 對(duì)于到 C 的相同距離，AB=BC。
這與前面討論的勻速直線運(yùn)動(dòng)的情況相同。 △OAB和△OBC的面積相等。 但由于中心力的作用，物體也會(huì)產(chǎn)生BO與C'平行方向的位移。 CC'∥BO。
夾在兩條平行線OB和CC'之間的△OBC和△OBC'具有相同的底OB和高度CD、C'D'，因此它們的面積相等。 因此，△OAB和△OBC'的面積也相等，即表面掠射速度保持不變。
以此類(lèi)推動(dòng)量守恒定律發(fā)現(xiàn)者，可以看出掠地速度將始終保持不變。
對(duì)比以上兩種情況，我們可以發(fā)現(xiàn)，中心力作用下的運(yùn)動(dòng)與勻速直線運(yùn)動(dòng)的區(qū)別在于，中心力每時(shí)每刻都被“拉”向重心。 但由于“拉”的方向與前一時(shí)刻的徑向矢量平行，因此不會(huì)改變掠射三角形的面積，因此掠射面的速度保持不變。
至此，我們已經(jīng)得到：當(dāng)物體受到中心力作用時(shí)，其在力心連線上的表面掠過(guò)速度保持不變，即表面加速度為零。 這是從力學(xué)原理推導(dǎo)出來(lái)的，不是經(jīng)驗(yàn)歸納的，所以它是定理而不是定律。 我們稱(chēng)之為開(kāi)普勒第二定理。
開(kāi)普勒第二定理擴(kuò)大和縮小了牛頓第一定律的范圍。 牛頓第一定律發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不變量或守恒量——速度v，但它不會(huì)永遠(yuǎn)改變，只有當(dāng)力為零時(shí)才會(huì)改變。 開(kāi)普勒第二定理發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)守恒量——掠地速度 r 保持不變。 它們都是一定的守恒量，一個(gè)只適用于力為零的情況，另一個(gè)適用于沒(méi)有力和有精神力的情況。 適用的情況更多，所以開(kāi)普勒第二定理拓寬了牛頓第一定律的范圍。 但在擴(kuò)大范圍的同時(shí)，對(duì)節(jié)約數(shù)量的要求也變得更加嚴(yán)格。 因?yàn)槭睾懔坎辉偈撬俣龋菑较蚴噶颗c速度的叉積r×v，即掠地速度。 所以說(shuō)它縮小了牛頓第一定律的范圍。
由于開(kāi)普勒第二定律與牛頓第一定律如此相似，因此完全可以用精神力量構(gòu)造出“牛頓第二定律”和“牛頓第三定律”。 由于動(dòng)量可以由速度和質(zhì)量的乘積構(gòu)建，因此也可以用精神力構(gòu)建“動(dòng)量”。 下面列出：
其余的與和平動(dòng)態(tài)相同。 但有一點(diǎn)不同：在平移的情況下，質(zhì)心系統(tǒng)的總動(dòng)量為零；在平移的情況下，質(zhì)心系統(tǒng)的總動(dòng)量為零；在平移的情況下，質(zhì)心系統(tǒng)的總動(dòng)量為零。 在旋轉(zhuǎn)的情況下，質(zhì)心系統(tǒng)的總角動(dòng)量可能不為零，即具有自旋角動(dòng)量。 以后有機(jī)會(huì)我會(huì)再討論這個(gè)問(wèn)題。
超過(guò)
