很多人認(rèn)為量子力學(xué)難以理解，我一開始也是這么認(rèn)為的。 為什么？ 可以從兩個角度來考察：
（首先，我們需要花很多篇幅講哲學(xué)，甚至數(shù)學(xué)和哲學(xué)的關(guān)系，你可能覺得這是廢話，其實(shí)不然。這是介紹“抽象”的兩種科學(xué)思維和“拓展”。它們是讓我們深入“理解”的必要條件……不過，對哲學(xué)不感興趣的朋友可以跳過前幾段，直接看下面的文字）
(一)理念
這就是愛因斯坦不懂量子力學(xué)的原因。 事實(shí)上，哲學(xué)概念是從科學(xué)事實(shí)中抽象出來的（例如，時間和空間的概念是從物質(zhì)運(yùn)動規(guī)律中抽象出來的）。 關(guān)鍵是哲學(xué)始終追求普遍性，從而拓展了抽象概念。 但普遍性必須存在于特殊性之中。 這就是矛盾的癥結(jié)所在。 尚不確定“高速”的特殊性是否可以通過從低速運(yùn)動中抽象和擴(kuò)展的概念來容納。 量子的哲學(xué)困境與相對論相似。 經(jīng)典物理學(xué)（也就是相對論）不涉及物質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)（我前兩天寫了一篇期刊《外在性質(zhì)與內(nèi)在性質(zhì)》專門討論這個問題），所以從宏觀到微觀的轉(zhuǎn)變會給物質(zhì)帶來革命。思維。 影響讓人感覺量子力學(xué)很難理解。 事實(shí)上，微觀世界并非沒有因果規(guī)律。 狀態(tài)演化的確定性形式和狀態(tài)測量崩潰的隨機(jī)性構(gòu)成了微觀世界新的因果規(guī)律。 問題是，當(dāng)哲學(xué)思想與科學(xué)事實(shí)發(fā)生沖突時，我們應(yīng)該堅持哪一個呢？ 反思我們的思維過程，“抽象”沒有問題，但“擴(kuò)展”有問題。 經(jīng)典力學(xué)的決定論不能擴(kuò)展為普遍適用。
(2) 數(shù)學(xué)
事實(shí)上，數(shù)學(xué)和哲學(xué)并不是沒有聯(lián)系的。 遺憾的是，很多人極力崇尚數(shù)學(xué)，拒絕哲學(xué)。 聯(lián)系方式在哪里？ 就是前面提到的“抽象”和“擴(kuò)展”。 有多抽象？ 它并不像常人所說的“難以理解”，而是意味著概括。 例如，“一根筷子和另一根筷子放在一起”和“一只羊和另一只羊放在一起”有共同的特征，所以我們說“1+1=2”。 這是抽象。 如何拓展？ 例如，從有理數(shù)到實(shí)數(shù)再到復(fù)數(shù)； 從二維空間到三維空間再到高維空間等等。 這種“抽象”和“擴(kuò)展”找到了數(shù)學(xué)和哲學(xué)之間的聯(lián)系，表明它們都在追求普遍性。
學(xué)了一點(diǎn)量子力學(xué)之后，為什么不免費(fèi)去物理系呢？ 我是否白來物理系主要基于兩點(diǎn)：第一，與名校的物理系相比，在燕大這樣的爛物理系學(xué)到的知識太有限；第二，與名校的物理系相比，我在燕大這樣的爛物理系學(xué)到的知識太有限了。 第二，與高中相比，我的物理知識有多少增長。 本文重點(diǎn)討論后一點(diǎn)。
第一點(diǎn)和第二點(diǎn)有什么區(qū)別？ 這取決于知識的特性。 也就是說，量子理論與其他理論有很大不同。 其他理論無論學(xué)多少，都只是知識的積累，思維方式不會有太大改變； 然而，量子理論改變了你的思維方式。 量子力學(xué)與以前的課程有很大不同。 為什么不一樣呢？ 雖然力學(xué)與理論力學(xué)、熱與熱力學(xué)統(tǒng)計物理、電磁學(xué)、光學(xué)與電動力學(xué)（后者比前者深很多，尤其是比高中物理深很多）有很多區(qū)別，但畢竟我們還是可以用常規(guī)物理思維（只是對數(shù)學(xué)要求有點(diǎn)高）。 但當(dāng)涉及到量子力學(xué)時，情況就完全不同了。 對數(shù)學(xué)的要求確實(shí)比較高，但不是言語描述方面，而是思維方面。 也就是說，上述其他理論的思想基本上都是純粹的物理思想，數(shù)學(xué)只是其語言表達(dá)； 而量子力學(xué)的物理思想是建立在數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上的，量子力學(xué)中的數(shù)學(xué)不僅僅是語言或者思想。 以前的物理思想可以不用數(shù)學(xué)的幫助，用日常生活的語言（中文和英文）表達(dá)清楚，看幾本科普書就可以理解； 而量子力學(xué)所體現(xiàn)的物理思想必須借助數(shù)學(xué)來表達(dá)清楚（我說的是真正的理解（理解，而不只是表面的味道），如果你不熟悉數(shù)學(xué)，你將無法理解即使你想讀幾門科普課程，也無法了解量子力學(xué)的內(nèi)涵，如果你想真正理解量子力學(xué)的物理思想，就必須努力研究它的數(shù)學(xué)思想。
這幾天聽老師講量子力學(xué)的矩陣形式，感覺很輕松，心里暗自高興——這完全是我前段時間努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的結(jié)果——和系里的本科生一起聽高等代數(shù)數(shù)學(xué)系，和物理系研究生一起聽小組討論。
為什么高等代數(shù)和群論對量子力學(xué)如此重要？ 這是因為量子力學(xué)的基礎(chǔ)是空間。 偉大的數(shù)學(xué)家，無話可說。 關(guān)鍵是“空間”的概念。 什么是空間？ 很多人一提到空間，立馬想到的是笛卡爾坐標(biāo)系（受過物理教育比較好的會想到空間和時間，也就是連接時間和空間。但這并沒有多大進(jìn)展。為什么呢？像相對論的時空觀還不夠進(jìn)步？是的。為什么？因為這樣的概念對理解量子力學(xué)有害！后面我們會講如何理解空間有利于理解量子力學(xué)）這當(dāng)然是直觀的。 但很多時候，大自然就是不喜歡直覺。 量子力學(xué)就是這樣一個“叛徒”。 “上帝喜歡玩骰子”的數(shù)學(xué)表達(dá)就是上帝喜歡抽象。 所謂現(xiàn)象學(xué)理論，一般都是不深刻、不本質(zhì)的理論。
為什么又提到“抽象”？ 當(dāng)然。 不然的話，就不用寫“簡介”來鋪路了。 有多抽象？ “直角坐標(biāo)系”的抽象空間與通常的幾何空間有什么區(qū)別？ 哈哈，容我再多講一點(diǎn)哲學(xué)（其實(shí)就是數(shù)學(xué)和哲學(xué)的聯(lián)系）。 數(shù)學(xué)始終追求普遍性。 如何實(shí)現(xiàn)通用性？ 這是試圖找到不同事物之間的相似之處。 如何找出？ 抽象的。 僅有“抽象”是不夠的，還必須有“擴(kuò)展”，或者說抽象的目的是為了更好的擴(kuò)展。
那么，如何“抽象”然后“拓展”空間呢？ 就是拋棄不相關(guān)的特征，找到本質(zhì)的特征，或者保留那些有利于擴(kuò)展的特征。 空間的哪些特征有利于擴(kuò)展？ 你可以自己考慮一下。 為了節(jié)省網(wǎng)上的時間，我就更直接了：不從認(rèn)識論的角度討論如何抽象獲得抽象空間，而是直接講抽象空間的特征。 給出一些特征后，與原來的三維幾何空間進(jìn)行比較，你就知道哪些被舍棄了，哪些被保留了。
抽象空間是集合。 收集？ 它們與三維空間有什么共同特征？ 別急，讓我慢慢分解。 有了集合，擴(kuò)展就容易多了。 您可以將空間視為定義某種操作的集合。 線性空間是定義線性運(yùn)算的集合。 什么是線性運(yùn)算？ 加法和乘法（嚴(yán)格來說，這兩個運(yùn)算是封閉的）。 有了線性空間，就可以進(jìn)一步展開。 例如，指定度量屬性-內(nèi)積。 在實(shí)數(shù)域中定義內(nèi)積的線性空間是歐幾里得空間。 擴(kuò)展到復(fù)域，就是酉空間。 對于不同情況的內(nèi)積，有不同的線性空間。 其中，內(nèi)積收斂的空間（平方可以積分）就是空間。 這就是我們之前談到的量子力學(xué)的基礎(chǔ)。 不過我們暫且不談量子力學(xué)，先回答一下抽象空間繼承于普通三維空間的特性。 我們知道空間有一組基，空間中的任意向量都可以展開為這樣一組基的線性組合。 線性組合的系數(shù)就是這組基下的坐標(biāo)。 “基地”這個概念很棒。 有了基的概念，我們就可以有維度了。 維度是基向量的數(shù)量。 這樣一來，高維甚至無限維空間就不難理解了。 一方面，“基”不一定是一組單位向量i、j、k，也可以是一組函數(shù)，只要它們是線性無關(guān)的（這是保留的特性）； 另一方面，“選擇基礎(chǔ)的方法有很多種，不同的方法對應(yīng)不同的表示（量子力學(xué)通常分為波動力學(xué)和矩陣力學(xué)，分別針對位置表示和能量表示）。不同的表示可以轉(zhuǎn)化為彼此之間（即表示變換，說白了就是坐標(biāo)變換），可以通過算子進(jìn)行變換（別害怕，這并不是什么神秘的東西，只是線性變換）。
既然有很多種方法，自然要選擇最簡單的一種。 經(jīng)過嘗試，我發(fā)現(xiàn)選擇“正交歸一化”基礎(chǔ)最為方便。 正交是什么意思？ 在這里，您再次看到前面介紹中的“擴(kuò)展”一詞。 正交是“垂直”概念的擴(kuò)展。 貴義怎么了？ 從向量的角度來說，就是將其統(tǒng)一化。 但這不利于擴(kuò)張。 如何方便擴(kuò)展？ 尋找更重要的功能。 后來我們發(fā)現(xiàn)用內(nèi)積來定義“歸一化”更具普適性，這符合我們“追求普適性”的愿望。 事實(shí)上，“內(nèi)積”更容易被視為一個積分（畢竟有一個“積”字），而不是三維幾何空間中的點(diǎn)積。 然而點(diǎn)和點(diǎn)乘看似相隔千里，又怎么會扯上關(guān)系呢？ 由此可見數(shù)學(xué)的力量。 我們要抽象、抽象、再抽象，抽象出不同事物的共同特征，然后進(jìn)行擴(kuò)展。 你沒注意到嗎？ 點(diǎn)乘是一種向量運(yùn)算，而向量有分量形式，因此點(diǎn)乘的結(jié)果不是一項（三維幾何空間為三項），而是多項之和。 好了，有了這個“和”，我們就可以把它和“積”聯(lián)系起來了。 只要離散量是連續(xù)的，“和”就可以變成“積分”。 這種“求和與積分的相互轉(zhuǎn)化”比高中時三角函數(shù)的“和與差積、積與和差”要大得多。 因為它不僅是一種計算方法，更是一種思想。 想法？ 這是正確的。 數(shù)學(xué)不僅僅是語言，更是思想。 回想一下定積分最初是如何引入的，就是將整條曲線下方的面積相除，然后求和。
分割得越細(xì)，近似面積值越接近真實(shí)值。 “由近似而知精密”是微積分思維的精髓。 你應(yīng)該反思一下“由近似而知精確”的數(shù)學(xué)思想在物理學(xué)中占了多大的比重。 我們總是對函數(shù)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，然后省略高階項。 我們的“求曲線下面積”包含兩個很棒的想法。 一是“近似知其準(zhǔn)”，二是“化和為積分”。 這兩種數(shù)學(xué)思想都對古典物理學(xué)和現(xiàn)代物理學(xué)產(chǎn)生了致命的影響。 事實(shí)上，從經(jīng)典場論到量子場論的過渡采用了“求和與積分互化”的思想（哲學(xué)上體現(xiàn)了離散性與連續(xù)性的辯證統(tǒng)一）。
好吧，扯遠(yuǎn)了，我們回過頭來看看我們剛才提到的內(nèi)積。 在三維幾何空間中，將兩個向量的分量相乘，然后求和。 當(dāng)擴(kuò)展到抽象空間（一種集合）時，兩個向量的分量相乘，然后積分。 那么如何統(tǒng)一呢？ 即積分值為1，為什么一定是1呢？ 這不能簡單地看作只是一個數(shù)學(xué)問題（為了數(shù)學(xué)的一致性：展開必須保留一些原始特征），它還有物理意義。 在量子力學(xué)中量子物理學(xué)基礎(chǔ)課后答案，波函數(shù)被展開為特征函數(shù)的線性組合。 組合的系數(shù)就是前面提到的坐標(biāo)。 系數(shù)的平方和實(shí)際上就是發(fā)現(xiàn)粒子的概率（波恩的統(tǒng)計解釋）。 概率當(dāng)然是1（因為在非相對論情況下，要求粒子數(shù)量守恒。在量子場論中，允許粒子湮滅，這是另一回事）。 這與內(nèi)積有什么關(guān)系？ 哈哈，不僅要注重結(jié)果，更要注重過程。 結(jié)果積分值為1，操作過程是怎樣的？ 一方面，由于要求粒子數(shù)守恒，積分至少要收斂，于是“平方可積”的概念應(yīng)運(yùn)而生。 這不是之前說的那個空間嗎？ 加法和乘法運(yùn)算的閉集是線性空間。 在實(shí)數(shù)域中定義內(nèi)積的線性空間是歐幾里得空間。 延伸到重述領(lǐng)域，就是酉空間。 其中，內(nèi)積收斂（平方可積）為空間。 看似繞口令，實(shí)則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性。 另一方面，這個“系數(shù)”可以通過求本征函數(shù)和波函數(shù)的內(nèi)積（即本征函數(shù)和本征函數(shù)本身的線性組合的內(nèi)積）來獲得。
這里面有一些學(xué)問。 “特征函數(shù)的線性組合和特征函數(shù)本身求內(nèi)積的公式”有點(diǎn)奇怪。 由于展開需要一組基向量，因此意味著存在多個特征函數(shù)。 那么，我們應(yīng)該用哪個特征函數(shù)對這樣一個線性組合的表達(dá)式進(jìn)行內(nèi)積呢？ 假設(shè)它是ψ1。 顯然，這個組合的表達(dá)式還必須包含ψ1和其他特征函數(shù)ψ2。 如果1和1的內(nèi)積是1，那么1和2的內(nèi)積就是0。。更一般的，這里的1用m代替，2用n代替，也就是說當(dāng)m和n相等時，內(nèi)積為1 ，不相等時為0。這就是δ符號（克羅內(nèi)克符號，過渡到連續(xù)情況下，就是狄拉克函數(shù)）。 這樣的符號很有趣。 為什么這很有趣？ 如果我們嘗試將其表示為一個矩陣，我們會發(fā)現(xiàn)這個矩陣除了主對角線之外的所有其他元素都是0。換句話說，“正交”意味著對角矩陣。 矩陣表示？ 感覺抽象？ 事實(shí)上，這是可視化抽象線性代數(shù)理論的最簡單方法。 “表達(dá)為矩陣”的結(jié)果很美量子物理學(xué)基礎(chǔ)課后答案，但是如何表達(dá)呢？ 這個轉(zhuǎn)型過程會不會很艱難？ 其實(shí)并不太難。 您不是已經(jīng)熟悉向量了嗎？ 我們可以將其擴(kuò)展到張量。 標(biāo)量是零階張量，向量是一階張量。 自然地，我們問什么是二階張量。 它是矩陣。 高階的是“三維矩陣”。 張量這個復(fù)雜的東西應(yīng)該不會陌生，因為你最熟悉的電磁場就是張量，它表示為4×4的矩陣（之所以是4×4而不是3×3是因為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)電動力學(xué)的理論基礎(chǔ)是相對論，相對論主張時間和空間不可分割，構(gòu)成統(tǒng)一的4維時空。
對于3維空間中的張量，它的矩陣是3×3。 例如，偏振矢量之所以不是2維而是3維就是空間各向異性造成的）。 張量本身是抽象的，用分量形式（即矩陣）表示就很容易理解。 我們的波函數(shù)也是如此。 張量使用它的分量作為一組基礎(chǔ)，而我們的波函數(shù)使用它的本征函數(shù)作為一組基礎(chǔ)。 這不是自然的嗎？ 好吧，我們再一遍一遍地討論本征函數(shù)。 到底什么是本征函數(shù)？ 為什么能夠體現(xiàn)“本質(zhì)特征”？ 我們之前不是提到過表示和向量嗎？ 現(xiàn)在讓我們整合這兩件事。 在表征變換（不是深刻的，只是坐標(biāo)變換）中，向量的大小和向量之間的角度保持不變。 重點(diǎn)是什么？ 在幾何中，兩個向量的大小相乘，然后乘以角度的余弦，就是內(nèi)積！ 無論如何變換，向量的度量屬性（內(nèi)積）都保持不變。 它不依賴于坐標(biāo)系的選擇。 由于向量本身的屬性（比如度量屬性）并不隨著坐標(biāo)系（或者更本質(zhì)的是基向量）的變化而變化（實(shí)際上，對稱性也是變換中的不變性，即它符合變換后的原圖。而描述這種對稱變換的數(shù)學(xué)就是群論。哈哈，這個“不變不變”聽起來有點(diǎn)“拓?fù)洹薄Ｊ聦?shí)上，薛定諤方程有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，貝里曲率程然前輩比較關(guān)心的體現(xiàn)了這一點(diǎn)。不過，這在哲學(xué)上很容易理解。對稱不變性和拓?fù)洳蛔冃远俭w現(xiàn)了變化與不變的辯證統(tǒng)一），所以當(dāng)然是它的相對本質(zhì)特征（ ，簡稱本征費(fèi)）。
什么是坐標(biāo)系？ 在物理學(xué)中，它是參考系統(tǒng)。 當(dāng)參考系改變時，物理定律不會改變。 這是自然的。 似曾相識吧？ 這就是相對論的基本原理。 等等，我們不是在談?wù)摿孔恿W(xué)嗎？ 我們?yōu)槭裁匆務(wù)撍闹饕偁帉κ郑?事實(shí)上，相對論和量子力學(xué)之所以難以統(tǒng)一，并不是因為“相對論原理”。 相對論原理在任何地方都是正確的。 關(guān)鍵在于另一個基本原理（狹義上是光速不變原理；廣義上來說是等效原理）。 因此，如果微觀物體也遇到需要考慮相對論的情況，量子和相對論就不再是死敵，而是可以聯(lián)姻了。 比如一些微觀粒子可以運(yùn)行得極快（接近光速），這就需要考慮狹義相對論，量子電動力學(xué)就應(yīng)運(yùn)而生。 至于加速系統(tǒng)和引力場的等價性，并不是說它與量子力學(xué)無關(guān)，只是相關(guān)性大小的問題（說得更深一點(diǎn)，就是“弱等價”和“強(qiáng)等價”）。 這個問題高手們還沒有解決，所以我們后輩不敢談。 那么，學(xué)術(shù)討論就結(jié)束了，我們來聊點(diǎn)閑聊吧。 我很想回到這篇文章的標(biāo)題，談?wù)劄槭裁础斑@次物理系之行終究沒有白費(fèi)”。
曾金言的《量子力學(xué)導(dǎo)論》（第二版）最后幾頁談到了教授量子力學(xué)和培養(yǎng)創(chuàng)新人才。 里面有這樣一句話：“真理總是簡單的。我相信所有的理論，無論多么困難、復(fù)雜、抽象，總有一種方法可以用簡單而深刻的方式把事情解釋清楚。做不到這一點(diǎn)就是往往是因為老師自己對問題的理解太膚淺了。” 這幾天聽了吳老師的量子課，沒想到竟然能聽明白。 “真理總是簡單的，無論多么困難，總有辦法理解它”，這句話讓我深受感動。 我想這一部分是因為吳宜東老師對量子力學(xué)有了更清晰的認(rèn)識，另一部分是因為我前段時間參加了高級代數(shù)和群論課程。 前面一段關(guān)于線性代數(shù)理論的內(nèi)容是在旁聽高級代數(shù)課程時產(chǎn)生的； 而開頭引言中提到的“抽象與擴(kuò)展”（并貫穿全文）是群論老師自己說的（他從集合論開始，使得群的概念并不太難理解。正如提到的前面，通過集合，可以定義抽象空間。而且，子空間可以通過子集類推來理解，子空間的“直和”可以根據(jù)交集為空來定義。通過集合，我們可以擴(kuò)展這個概念群。當(dāng)然，展開之前需要抽象（群的定義是從“對稱變換”中抽象出來的，即對稱變換的集合）。 謹(jǐn)向三位老師表示特別的感謝。 另外，感謝李景陽學(xué)長建議我去數(shù)學(xué)系上課。 我還要感謝潘一文教授，他用數(shù)學(xué)理解物理的方法對我產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。 值得尊敬、可愛的前輩還有很多，在此無法一一列舉。
量子力學(xué)經(jīng)受了近100年的考驗，因此可以被視為真理（盡管它不是終極真理）。 道理很簡單，那么量子力學(xué)也應(yīng)該是可以理解的。 那么為什么很多人不明白呢？ 正如一開始所提到的，這些人要么不理解其哲學(xué)意義，要么不理解其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 我想之所以不理解它的哲學(xué)，是因為頭腦里殘留著太多經(jīng)典物理學(xué)的成見； 之所以不理解它的數(shù)學(xué)，是因為對數(shù)學(xué)的偏見。 我用自己的親身經(jīng)歷證明，量子力學(xué)的數(shù)學(xué)并沒有想象中那么難，線性代數(shù)、群論和泛函分析也一樣（雖然我還沒有真正學(xué)過后兩門課程，但基礎(chǔ)知識我已經(jīng)了解了） ）想法和結(jié)論如何影響量子力學(xué)）。
當(dāng)然，這并不意味著我學(xué)會了量子力學(xué)。 因為我只是感覺自己正在慢慢入門，很多問題我還是不知道答案。 尤其是做練習(xí)對于我來說絕對是一個超級挑戰(zhàn)。 學(xué)習(xí)了四大力學(xué)后，我發(fā)現(xiàn)即使了解了基礎(chǔ)知識點(diǎn)，也不一定能做練習(xí)。 。 。 。 。 。 雖然我只對知識本身感興趣，但是我還是要做練習(xí)。 因為我要考研。 我之所以考研，是因為我的大學(xué)學(xué)習(xí)資源太匱乏。 在燕達(dá)，像上述三位老師那樣的人才是鳳毛麟角。 而且即使有群論課程（還有量子場論課程），學(xué)時也太少，有才華的老師不可能只講32個小時。 （而在名校，如中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，同一門課程的學(xué)分相當(dāng)于我們的5倍）。 因此，在燕大這樣的環(huán)境下，很容易產(chǎn)生“白來物理系”的感覺，這是一個很大的心理問題。 今天能寫出這篇日記，真是不幸中之幸。 事實(shí)上，我一直在尋找理由，讓自己在逆境中不感到自卑。 因此，這篇文章的標(biāo)題是《物理系之行沒有白費(fèi)》，以勉勵自己以及和我陷入同樣命運(yùn)的朋友們。
最后回答一下“諸葛”朋友的問題：數(shù)學(xué)思想是如何推動物理學(xué)進(jìn)步的？我查閱了物理學(xué)史，發(fā)現(xiàn)：1、哥白尼提出日心說，是因為他覺得數(shù)學(xué)思想托勒密地心說的描述過于復(fù)雜； 2、歐姆受到傅立葉的啟發(fā)發(fā)現(xiàn)了歐姆定律，而且因為德國不重視數(shù)學(xué)。 被同事排斥； 3、麥克斯韋嘗試用數(shù)學(xué)方法描述法拉第力線并建立了麥克斯韋方程組； 4. 數(shù)學(xué)分析導(dǎo)致??了最小作用原理的發(fā)現(xiàn)和分析力學(xué)的建立，分析力學(xué)是量子場論等現(xiàn)代物理學(xué)的基本要素。 這個想法是找到哈密頓量； 5、“對稱導(dǎo)致守恒定律”原理是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的。 從此，尋找對稱性成為物理學(xué)家面對未知世界的主導(dǎo)思想。
因此，數(shù)學(xué)不僅僅是一種描述物理定律的語言，也不僅僅是在物理定律建立后為物理定律提供更深刻的支持（如支持規(guī)范場物理思想的纖維束的數(shù)學(xué)思想、群論等）和功能分析）。 數(shù)學(xué)思想支持量子力學(xué)的物理思想，微分幾何的數(shù)學(xué)思想支持廣義相對論的物理思想等），它們也是導(dǎo)致物理發(fā)現(xiàn)的思想的先驅(qū)。
