小題必練7：萬有引力與航天
(1)以萬有引力定律為基礎(chǔ)的行星、衛(wèi)星勻速圓周運動模型及其應(yīng)用；(2)雙星模型、估算天體的質(zhì)量和密度等；(3)以開普勒三定律為基礎(chǔ)的橢圓運行軌道及衛(wèi)星的發(fā)射與變軌、能量等相關(guān)內(nèi)容；(4)萬有引力定律與地理、數(shù)學(xué)、航天等知識的綜合應(yīng)用。
例1．(2020?山東卷?7)我國將在今年擇機(jī)執(zhí)行“天問1號”火星探測任務(wù)。質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面附近經(jīng)歷一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】忽略星球的自轉(zhuǎn)，根據(jù)萬有引力等于重力GMmr2＝mg，可得g火＝0.4g地＝0.4g，著陸器做勻減速直線運動，根據(jù)運動學(xué)公式可知0＝v0－at0，根據(jù)牛頓第二定律得f－mg＝ma，聯(lián)立解得著陸器受到的制動力大小 ， B正確。
【點睛】本題考查萬有引力定律與牛頓第二定律的綜合問題，關(guān)鍵是知道天體表面重力等于萬有引力，同時分析好運到情況和受力情況。
例2．(2020?全國I卷?15)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的110，半徑約為地球半徑的12，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
【答案】B
【解析】根據(jù)F＝GMmR2得 ，故選B。
【點睛】本題考查萬有引力公式的應(yīng)用，比較簡單。
1．2019年5月17日，我國成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星( )
A．入軌后可以位于北京正上方
B．入軌后的速度大于第一宇宙速度
C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度
D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少
【答案】D
【解析】同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方，A項錯誤；由GMmr2＝mv2r知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，衛(wèi)星做勻速圓周運動的線速度越小，因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛(wèi)星的速度)，B項錯誤；同步衛(wèi)星的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C項錯誤；若發(fā)射到近地圓軌道，所需發(fā)射速度較小，所需能量較小，D項正確。
2．(多選)2020年6月23日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第55顆導(dǎo)航衛(wèi)星，至此北斗全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)星座部署全面完成。北斗導(dǎo)航系統(tǒng)第41顆衛(wèi)星為地球同步軌道衛(wèi)星，第49顆衛(wèi)星為傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，它們的軌道半徑約為4.2×107 m，運行周期都等于地球的自轉(zhuǎn)周期24 h。傾斜地球同步軌道平面與地球赤道平面成一定夾角，如圖所示。已知引力常量G＝6.67×10－11 N?m2/kg2，則下列說法正確的是( )
A．根據(jù)題目數(shù)據(jù)可估算出地球的質(zhì)量
B．同步軌道衛(wèi)星可能經(jīng)過北京上空
C．傾斜地球同步軌道衛(wèi)星一天2次經(jīng)過赤道正上方同一位置
D．傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的運行速度大于第一宇宙速度
【答案】AC
【解析】根據(jù)GMmr2＝m4π2T2r，可得M＝4π2r3GT2，可估算出地球的質(zhì)量。A正確；由于地球同步衛(wèi)星相對地面靜止，因此一定自西向東運動，且軌道的圓心一定在地心上，故同步衛(wèi)星一定在地球赤道的正上方，不可能運動到北京的正上方，B錯誤；傾斜同步衛(wèi)星若某時刻經(jīng)過赤道正上方某位置，經(jīng)過半個周期，恰好地球也轉(zhuǎn)了半個周期，因此又會經(jīng)過赤道上方的同一位置，C正確；由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，由于軌道半徑越大，運動速度越小，第一宇宙速度是貼近地球表面運動的衛(wèi)星的速度，同步衛(wèi)星的運動速度小于第一宇宙速度，D錯誤。
3．若地球同步衛(wèi)星在赤道上空約為36000 km，地球的半徑約為6000 km，位于東經(jīng)121度赤道上空的同步衛(wèi)星把信息傳送到大興安嶺的某個接受站（處于東經(jīng)121度，北緯60度）大約用時（光速為3×108 m/s）( )
A．0.12 s B．0.14 s C．0.014 s D．0.13 s
【答案】D
【解析】設(shè)大興安嶺的該接受站到同步衛(wèi)星的距離為s，如圖所示，根據(jù)余弦定理可得 ，則所用時間 ，故選D。
4．(多選)2020年7月21日發(fā)生了土星沖日現(xiàn)象，如圖所示，土星沖日是指土星、地球和太陽幾乎排列成一線，地球位于太陽與土星之間。此時土星被太陽照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于觀察。地球和土星繞太陽公轉(zhuǎn)的方向相同，軌跡都可近似為圓，地球一年繞太陽一周，土星約29.5年繞太陽一周。則（ ）
A．地球繞太陽運轉(zhuǎn)的向心加速度大于土星繞太陽運轉(zhuǎn)的向心加速度
B．地球繞太陽運轉(zhuǎn)的運行速度比土星繞太陽運轉(zhuǎn)的運行速度小
C．2019年沒有出現(xiàn)土星沖日現(xiàn)象
D．土星沖日現(xiàn)象下一次出現(xiàn)的時間是2021年
【答案】AD
【解析】地球的公轉(zhuǎn)周期比土星的公轉(zhuǎn)周期小，由GMmr2＝m4π2T2r，得T＝2πr3GM，可知地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑比土星的公轉(zhuǎn)軌道半徑小；又GMmr2＝ma，解得a＝GMr2，可知行星的軌道半徑越大，加速度越小，則土星的向心加速度小于地球的向心加速度，選項A正確；由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，知土星的運行速度比地球的小，選項B錯誤；設(shè)T地＝1年，則T土＝29.5年，出現(xiàn)土星沖日現(xiàn)象則有(ω地－ω土)t＝2π，又ω＝2πT，解得距下一次土星沖日所需時間t≈1.04年，選項C錯誤、D正確。
5．我國首顆量子科學(xué)實驗衛(wèi)星于2016年8月16日1點40分成功發(fā)射。量子衛(wèi)星成功運行后，我國將在世界上首次實現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信，構(gòu)建天地一體化的量子保密通信與科學(xué)實驗體系。假設(shè)量子衛(wèi)星軌道在赤道平面，如圖所示。已知量子衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的m倍，同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點是地球赤道上一點，由此可知( )
A．同步衛(wèi)星與量子衛(wèi)星的運行周期之比為n3m3
B．同步衛(wèi)星與P點的速度之比為1n
C．量子衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的速度之比為nm
D．量子衛(wèi)星與P點的速度之比為n3m
【答案】D
【解析】由開普勒第三定律得r量3T量2＝r同3T同2，又由題意知r量＝mR，r同＝nR，所以T同T量＝r同3r量3＝?nR?3?mR?3＝n3m3，故A錯誤；P為地球赤道上一點，P點角速度等于同步衛(wèi)星的角速度，根據(jù)v＝ωr，所以有v同vP＝r同rP＝nRR＝n1，故B錯誤；根據(jù)GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，所以v量v同＝r同r量＝nRmR＝nm，故C錯誤；綜合B、C，有v同＝nvP，v量nvP＝nm，得v量vP＝n3m，故D正確。
6．假設(shè)宇宙中有兩顆相距無限遠(yuǎn)的行星A和B，半徑分別為RA和RB。這兩顆行星周圍衛(wèi)星的軌道半徑的三次方(r3)與運行周期的平方(T2)的關(guān)系如圖所示，T0為衛(wèi)星環(huán)繞行星表面運行的周期。則( )
A．行星A的質(zhì)量大于行星B的質(zhì)量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度
D．當(dāng)兩行星的衛(wèi)星軌道半徑相同時，行星A的衛(wèi)星向心加速度小于行星B的衛(wèi)星向心加速度
【答案】A
【解析】根據(jù)GMmr2＝m4π2rT2，可得M＝4π2r3GT2，r3＝GM4π2T2，由圖象可知，A的斜率大，所以A的質(zhì)量大，A項正確；由圖象可知當(dāng)衛(wèi)星在兩行星表面運行時，周期相同，將M＝ρV＝ρ•43πR3代入上式可知兩行星密度相同，B項錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力， 則GMmR2＝mv2R，所以v＝GMR＝43πρGR2，行星A的半徑大，所以行星A的第一宇宙速度也大，C項錯誤；兩衛(wèi)星的軌道半徑相同時，它們的向心加速度a＝GMr2，由于A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量，所以行星A的衛(wèi)星向心加速度大，D項錯誤。
7．引力波的發(fā)現(xiàn)證實了愛因斯坦100年前所做的預(yù)測。1974年發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動。由于雙星間的距離減小，則( )
A．兩星的運動周期均逐漸減小
B．兩星的運動角速度均逐漸減小
C．兩星的向心加速度均逐漸減小
D．兩星的運動線速度均逐漸減小
【答案】A
【解析】雙星做勻速圓周運動具有相同的角速度，靠相互間的萬有引力提供向心力。根據(jù)Gm1m2L2＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知軌道半徑比等于質(zhì)量之反比，雙星間的距離減小，則雙星的軌道半徑都變小，根據(jù)萬有引力提供向心力，知角速度變大，周期變小，故A正確，B錯誤；根據(jù)Gm1m2L2＝m1a1＝m2a2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C錯誤；根據(jù)Gm1m2L2＝m1v12r1，解得v1＝Gm2r1L2，由于L平方的減小比r1的減小量大，則線速度增大，故D錯誤。
8．(多選)如圖所示，有甲、乙兩顆衛(wèi)星分別在不同的軌道圍繞一個半徑為R、表面重力加速度為g的行星運動，衛(wèi)星甲、衛(wèi)星乙各自所在的軌道平面相互垂直，衛(wèi)星甲的軌道為圓，距離行星表面的高度為R，衛(wèi)星乙的軌道為橢圓，M、N兩點的連線為其橢圓軌道的長軸且M、N兩點間的距離為4R。則以下說法正確的是( )
A．衛(wèi)星甲的線速度大小為2gR
B．衛(wèi)星乙運行的周期為4π2Rg
C．衛(wèi)星乙沿橢圓軌道運行經(jīng)過M點時的速度大于衛(wèi)星甲沿圓軌道運行的速度
D．衛(wèi)星乙沿橢圓軌道運行經(jīng)過N點時的加速度小于衛(wèi)星甲沿圓軌道運行的加速度
【答案】BCD
【解析】衛(wèi)星甲繞中心天體做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，可計算出衛(wèi)星甲環(huán)繞中心天體運動的線速度大小為v＝gR2，A錯誤；同理可計算出衛(wèi)星甲環(huán)繞的周期為T甲＝4π2Rg，由衛(wèi)星乙橢圓軌道的半長軸等于衛(wèi)星甲圓軌道的半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，衛(wèi)星乙運行的周期和衛(wèi)星甲運行的周期相等，則T乙＝T甲＝4π2Rg，B正確；衛(wèi)星乙沿橢圓軌道經(jīng)過M點時的速度大于沿軌道半徑為M至行星中心距離的圓軌道的衛(wèi)星的線速度，而軌道半徑為M至行星中心距離的圓軌道的衛(wèi)星的線速度大于衛(wèi)星甲在圓軌道上的線速度，C正確；衛(wèi)星運行時只受萬有引力，向心加速度a＝GMr2，r越大，a越小，D正確。
9．(多選)宇航員在某星球表面以初速度2.0 m/s水平拋出一物體，并記錄下物體的運動軌跡，如圖所示，O為拋出點，若該星球半徑為4000 km，引力常量G＝6.67×10－11 N•m2•kg－2，則下列說法正確的是( )
A．該星球表面的重力加速度為4.0 m/s2
B．該星球的質(zhì)量為2.4×1023 kg
C．該星球的第一宇宙速度為4.0 km/s
D．若發(fā)射一顆該星球的同步衛(wèi)星，則同步衛(wèi)星的繞行速度一定大于4.0 km/s
【答案】AC
【解析】根據(jù)平拋運動的規(guī)律：h＝12gt2，x＝v0t，解得g＝4.0 m/s2，A正確；在星球表面，重力近似等于萬有引力，得M＝gR2G≈9.6×1023 kg，B錯誤；由mv2R＝mg得第一宇宙速度為v＝gR＝4.0 km/s，C正確；第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度，D錯誤。
10．開普勒第三定律指出：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。該定律對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)都成立。如圖，嫦娥三號探月衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道Ⅰ上繞月球運行，周期為T。月球的半徑為R，引力常量為G。某時刻嫦娥三號衛(wèi)星在A點變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，在月球表面的B點著陸。A、O、B三點在一條直線上。求：
(1)月球的密度；
(2)在軌道Ⅱ上運行的時間。
【解析】(1)由萬有引力充當(dāng)向心力：GMmr2＝m2πT2r
月球的密度：ρ＝M43πR3
聯(lián)立解得：ρ＝3πr3GT2R3。
(2)橢圓軌道的半長軸：a＝R＋r2
設(shè)橢圓軌道上運行周期為T1，由開普勒第三定律有：a3T12＝r3T2
在軌道Ⅱ上運行的時間為t＝T12
解得： 。
11．由于地球的自轉(zhuǎn)，物體在地球上不同緯度處隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力的大小不同，因此同一個物體在地球上不同緯度處重力大小也不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點受到的重力大小之比約為299∶300，因此我們通常忽略兩者的差異，可認(rèn)為兩者相等．而有些星球，卻不能忽略。假如某星球因為自轉(zhuǎn)的原因，一物體在該星球赤道上的重力與其在兩極點受到的重力大小之比為7∶8，已知該星球的半徑為R。(引力常量為G)
(1)求繞該星球運動的同步衛(wèi)星的軌道半徑r；
(2)若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，求該星球的密度ρ。
【解析】(1)設(shè)物體質(zhì)量為m，星球質(zhì)量為M，星球的自轉(zhuǎn)周期為T，物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即F萬＝GMmR2＝G極
物體在星球赤道上隨星球自轉(zhuǎn)時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力G赤，有
F萬＝G赤＋Fn
因為G赤＝78G極，所以Fn＝18•GMmR2＝m2πT2R
該星球的同步衛(wèi)星的周期等于星球的自轉(zhuǎn)周期T，則有GMm′r2＝m′4π2T2r
聯(lián)立解得r＝2R。
(2)在星球赤道上，有78•GMmR2＝mg
解得M＝8gR27G
又因星球的體積V＝43πR3
所以該星球的密度ρ＝MV＝6g7GπR。