高考真題專項突破(十四) 選做題
[真題1] (2018•全國卷Ⅰ)(1)如圖，△ABC為一玻璃三棱鏡的橫截面，∠A＝30°，一束紅光垂直AB邊射入，從AC邊上的D點射出，其折射角為60°，則玻璃對紅光的折射率為 ．若改用藍光沿同一路徑入射，則光線在D點射出時的折射角 (“小于”“等于”或“大于”)60°.
(2)一列簡諧橫波在t＝13 s時的波形圖如圖(a)所示，P、Q是介質中的兩個質點，圖(b)是質點Q的振動圖象．求
①波速及波的傳播方向；
②質點Q的平衡位置的x坐標．
解析：(1)由折射定律，玻璃對紅光的折射率n＝sin isin r＝sin 60°sin 30°＝3.若改用藍光沿同一路徑入射，由于玻璃對藍光的折射率大于玻璃對紅光的折射率，則光線在D點射出時的折射角大于60°.
(2)①由圖(a)可以看出，該波的波長為λ＝36 cm，由圖(b)可以看出，周期為T＝2 s，故波速為v＝λT＝18 cm/s
由圖(b)知，當t＝13 s時，Q點向上運動，結合圖(a)可得，波沿x軸負方向傳播．
②設質點P、Q平衡位置的x坐標分別為xP、xQ.
由圖(a)知，x＝0處y＝－A2＝Asin(－30°)，因此
xP＝30°360°λ＝3 cm
由圖(b)知，在t＝0時Q點處于平衡位置，經Δt＝13 s，其振動狀態向x軸負方向傳播至P點處，由此得
xQ－xP＝vΔt＝18×13 cm＝6 cm，故xQ＝xP＋b＝9 cm.
答案：3 大于 (2)①v＝18 cm/s 波沿x軸負方向傳播 ②xQ＝9 cm
[真題2] (2018•全國卷Ⅱ)(1)聲波在空氣中的傳播速度為340 m/s，在鋼鐵中的傳播速度為4 900 m/s.一平直橋由鋼鐵制成，某同學用錘子敲擊一鐵橋的一端而發出聲音，分別經空氣和橋傳到另一端的時間之差為1.00 s．橋的長度為 _m，若該波在空氣中的波長為λ，則它在鋼鐵中波長為λ的 _倍．
(2)如圖，ΔABC是一直角三棱鏡的橫截面，∠A＝90°，∠B＝60°一細光束從BC邊的D點折射后，射到AC邊的E點，發生全反射后經AB邊的F點射出．EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中點．不計多次反射．
(ⅰ)求出射光相對于D點的入射光的偏角；
(ⅱ)為實現上述光路，棱鏡折射率的取值應在什么范圍？
解析：(1)設橋的長度為s
則聲音在鋼鐵中傳播的時間t＝sv＝s4 900
聲音在空氣中的傳播時間為t′＝sv′＝s340
根據題意Δt＝t′－t＝s340－s4 900＝1解得：s≈365 m
聲音在不同介質中的頻率是不會改變的，由公式λ＝vf可知λ剛λ空＝v剛v空，解得λ剛＝v剛v空λ空＝4 900340λ＝24517λ；
(2)要保證在E點發生全反射，則在E點的入射角要大于等于臨界角C.
(ⅰ)
光線在BC面上折射，n為棱鏡的折射率，i1和r1分別是該光線在BC面上的入射角和折射角，由折射定律有：
sin i1＝nsin r1
光線在AC面上發生全反射，i2和r2分別是該光線在AC面上的入射角和反射角．
由反射定律有：i2＝r2
i3和r3分別是該光線在AB面上的入射角和折射角，光線在AB面上發生折射，
由折射定律有：nsini3＝sinr3
由幾何關系得：i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°，i1＝r3
F點的出射光相對于D點的入射光的偏角為：
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)
解得：δ＝60°
(ⅱ)光線在AC面上發生全反射，光線在AB面上不發生全反射，有
nsin i2≥nsin C＞nsin i3
式中C是全反射臨界角，滿足：nsin C＝1
所以棱鏡的折射率n的取值范圍應為：
223≤n＜2
答案：(1)365 24517 (2)(ⅰ)δ＝60° (ⅱ)223≤n＜2
[命題情報]
本專題是選修3－4中的重點內容之一，分析近幾年的高考試題，可以發現考查的重點是簡諧運動的規律和圖象，機械振動與機械波的有關概念；波的形成與傳播規律，波長、波速和頻率的關系；振動圖象與波動圖象的綜合運用，波與振動圖象相結合考查；利用單擺測重力加速度等．其中命題率最高的知識點是波的圖象，波長、波速與頻率的關系，振動圖象和波動圖象的結合．命題的方式是選擇題、實驗題或計算題．
1．(2018•全國卷Ⅲ)(1)(多選)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，在t＝0和t＝0.20 s時的波形分別如圖中實線和虛線所示．已知該波的周期T>0.20 s．下列說法正確的是( )
A．波速為0.40 m/s
B．波長為0.08 m
C．x＝0.08 m的質點在t＝0.70 s時位于波谷
D．x＝0.08 m的質點在t＝0.12 s時位于波谷
E．若此波傳入另一介質中其波速變為0.80 m/s，則它在該介質中的波長為0.32 m
(2)如圖，某同學在一張水平放置的白紙上畫了一個小標記“•”(圖中O點)，然后用橫截面為等邊三角形ABC的三棱鏡壓在這個標記上，小標記位于AC邊上．D位于AB邊上，過D點作AC邊的垂線交AC于F.該同學在D點正上方向下順著直線DF的方向觀察．恰好可以看到小標記的像；過O點作AB邊的垂線交直線DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm.求三棱鏡的折射率．(不考慮光線在三棱鏡中的反射)
解析：(1)根據波形圖可知，波長λ＝16 cm＝0.16 m，選項B錯誤；根據t＝0時刻和t＝0.20 s時刻的波形圖和該波的周期T>0.20 s可知，可知該波的周期T＝0.40 s，波速v＝λT＝0.40 m/s，選項A正確；簡諧波沿x軸正方向傳播，x＝0.08 m的質點在t＝0時刻沿y軸正方向運動，在t＝0.70 s時位于波谷，在t＝0.12 s時位于y＞0的某位置(不是位于波谷)，選項C正確，D錯誤；若此波傳入另一介質中，周期T不變，其波速變為v＝0.80 m/s，由λ＝vT可得它在該介質中的波長為λ＝0.80×0.4 m＝0.32 m，選項E正確．
(2)過D點作AB邊的垂線NN′，連接OD，設∠ODN＝α為O點發出的光線在D點的入射角；設該光線在D點的折射角為β，如圖所示．根據折射定律有
nsin α＝sin β①
式中n為三棱鏡的折射率
由幾何關系可知
∠β＝60°②
∠EOF＝30°③
在△OEF中有
EF＝OEsin ∠EOF④
由③④式和題給條件得
OE＝2 cm⑤
根據題給條件可知，△OED為等腰三角形，有
α＝30°⑥
由①②⑥式得
n＝3⑦
答案：(1)ACE (2)3
2．(1)(多選)(2018•石嘴山三中模擬)彈簧振子在光滑水平面上做簡諧振動，把小鋼球從平衡位置向左拉一段距離，放手讓其運動．從小鋼球通過平衡位置開始計時，其振動圖象如圖所示，下列說法正確的是( )
A．鋼球振動周期為1 s
B．在t0時刻彈簧的形變量為4cm
C．鋼球振動半個周期，回復力做功為零
D．鋼球振動一個周期，通過的路程等于10cm
E．鋼球振動方程y＝5sin πtcm
(2) 如圖所示，在MN的下方足夠大的空間是玻璃介質，其折射率n＝3，玻璃介質的上邊界MN是屏幕，玻璃中有一個正三角形空氣泡，其邊長l＝40cm，頂點與屏幕接觸于C點，底邊AB與屏幕平行，一束激光a垂直于AB邊射向AC邊的中點O，結果在屏幕MN上出現兩個光斑．
①求兩個光斑之間的距離x；
②若任意兩束相同的激光同時垂直于AB邊向上射入空氣泡，求屏幕上相距最遠的兩個光斑之間的距離L.
解析：(1)從題圖中可得鋼球振動的周期為2 s，A錯誤；因為是在水平面上振動，所以鋼球振動的平衡位置應該是彈力為零時，即平衡位置時彈簧的形變量為零，t0時刻在距離平衡位置右方4cm處，則在t0時刻彈簧的形變量為4cm，故B正確；經過半個周期后，位移與之前的位移關系總是大小相等、方向相反；速度也有同樣的規律，故動能不變，根據動能定理，合力做的功為零，即鋼球振動半個周期，回復力做功為零，C正確；鋼球振動一個周期，通過的路程等于4×5cm＝20cm，D錯誤；ω＝2πT＝π rad/s，A＝5cm，故鋼球振動方程y＝5sin πtcm，E正確．
(2) ①畫出光路圖如圖所示．在界面AC，入射角i＝60°，n＝3，由折射定律有n＝sin isin r
解得折射角r＝30°
由光的反射定律得反射角θ＝60°
由幾何關系得，△ODC是邊長為l2的正三角形，△OEC為等腰三角形，且CE＝OC＝l2，則兩個光斑之間的距離x＝DC＋CE＝40cm.
②作出入射點在A、B兩點的光線的光路圖，如圖所示，由圖可得屏幕上相距最遠的兩個光斑之間的距離
L＝PQ＝2l＝80cm.
答案：(1)BCE (2)①40cm ②80cm
