【摘要】 隨著機器學習技術在圖像識別、決策和邏輯推理等領域的高效應用,機器學習算法越來越受到化學家的關注。 機器學習算法善于發現數據之間的內在規律，而數學中的問題一般都是邏輯性、規律性的，因此機器學習算法非常適合用來解決數學中的問題。 在經典數學領域，機器學習可以學習牛頓熱力學定律。 在量子化學領域，機器學習可以求解薛定諤多項式的能級波函數，找到相變的位置，表示量子多體系統的狀態，找到多體系統中的階熱阻， 等等。 機器學習算法分為監督學習、非監督學習和強化學習。 監督學習是先用樣本訓練機器，比如訓練一個神經網絡，然后用訓練好的神經網絡做預測。 在進行預測時，輸入樣本可能不在訓練期間使用的樣??本中。 無監督學習不需要訓練樣本，而是直接針對一個優化目標對輸入數據進行優化，最終可以根據類別區分數據。 強化學習是通過反復嘗試訓練一種反饋機制，從而得到最大的獎勵。 這些算法適用于儀器控制。 即使機器學習算法的形成并不是為了解決數學問題而設計的，但合理地理解和使用機器學習算法可以幫助數學家從新的角度理解數學，發現新的數學。 同時，隨著量子估計的發展，人們開始嘗試在量子計算機上運行機器學習算法，并獲得了較高的加速比。
因此，機器學習技術將幫助化學家解決數學中的問題，數學可以更高效地推動機器學習的發展。 在未來，機器學習和化學將相互驅動，相得益彰。 本文介紹了我們如何使用機器學習來解決量子化學中的問題。 主要包括三個部分：第一部分重點介紹如何利用深度神經網絡生成玻色-愛因斯坦收斂（BEC）的能級波函數。 在BEC中量子物理的應用范圍，所有粒子都具有相同的相位，BEC的能級波函數在空間上是一種概率分布。 能級波函數是通過求解Gross-（GP方程）得到的，我們可以借助神經網絡構建GP多項式到能級波函數的映射。 我們測試了兩種情況：1，勢場相同，敵意系數不同； 2、敵意系數相同，勢場不同。 借助深度神經網絡進行監督學習，經過訓練的神經網絡可以高精度地生成玻色-愛因斯坦聚集體的能級波函數。 當輸入高斯隨機勢場的相干厚度小至σD=0.39時，深度神經網絡仍能生成高精度的能級波函數。 同時，我們輸入不同類型的勢場，仍然得到高精度的波函數輸出，這表明用高斯隨機勢場訓練的神經網絡已經學會了求解GP多項式的技巧。 第二部分著重介紹如何設計合理的前饋神經網絡作為變分波函數來有效求解二維量子載流子多體系統。
目前對量子多體系統的求解依賴于張量網絡，張量網絡的估計復雜度較高。 用神經網絡代替張量網絡實際上是可以的。 因此，我們需要測試神經網絡描述非平凡多體能級的能力，例如具有較強抵抗力的J1-J2模型。 我們借助目前主流的神經網絡元素：頻域層、最大池化層和反頻域層，構建了一個可以作為二維量子載體系統變分波函數的頻域神經網絡。 為了盡可能避免局部最小值量子物理的應用范圍，我們使用副本交換的動力學技巧優化。 優化時，我們先設定一系列不同的水溫，然后用隨機值初始化神經網絡中的各個參數，最后得到不需要體溫的解。 零溫度下的解就是我們認為的能級解。 估計表明，我們設計的前饋神經網絡在能級能量精度方面可以優于現有的-Bond-State。 因此，可以使用頻域神經網絡來加速量子多體系統的求解。 第三部分重點描述雞尾酒會問題 (CPP) 的量子版本。 CPP是一個古老但非常重要的問題，它是借助多個檢測器的檢測信號來提取混合信號源。 對于經典的CPP，可以使用獨立成分分析算法（ICA）來求解。 我們考慮 CPP 的量子版本，即信號源發射純態，每個純態彼此非正交。 這種純態的希爾伯特空間比探測器能夠響應的希爾伯特空間要小，所以探測器探測到的是混合態。 我們在經典的ICA算法的基礎上，重新設計了損失函數，通過只檢測混合態的密度矩陣來恢復純態密度矩陣。 經過數值估算和驗證，牛頓法還原得到的純態保真度在0.99以上。 同時，我們將損失函數轉化為一個自旋1/2的多體載流子耦合，這個的能級就是損失函數達到最小值的解。 通過模擬固溶體，純態的還原保真度仍在0.99以上。