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歷史簡介
月球與其他已知行星最大的區別在于月球表面有大量的水。 水是生命出現的前提，自然也是數學出現的前提。 水給數學打上了深刻的烙印，波浪（wave）、漲落（）、鏡像（image）、渦流（）等關鍵的數學概念都來源于水。 水表面的分子密度小于體內的分子密度，其表面張力在 20°C 時約為 72.75mN/m。 可以說水有一張彈性適中的表皮，很容易在水面上表現出波動（圖1）。 正因如此，水波成為了人類在文明出現之前似乎已經耳熟能詳的一個概念。 水波隨處可見，深入人心，也滲透到數學中！
圖1 海上的水黽。水皮可以輕松支撐水黽； 水黽雖然體型小，但它的運動卻能引起湖面不小的波動
在數學中，根據具體的語境，波被用來表示一種運動方式，也被視為一種存在方式，甚至有時只是一種空洞而具體的物理表達。 機械波、電磁波（光波）、物質波（量子熱波函數）、引力波等概念中出現的波，以及傅立葉分析和信號檢測理論與實踐中實際隱含提及的波，可能有更多可以查看的內容。 仔細分析一下這個波的含義，它所依賴的概念的來源，它最初的約束和局限性，以及它所依賴的物理學，可能對深入理解相應的化學有一定的幫助。
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機械沖擊和機械波
當固體發生微小變形時，變形量與撓度成反比，即胡克定律F=-kx，泰勒展開保證了該公式的普適性。考察質量為m的振子在彈簧上的振動問題，引入ω2=k/m，則振子的運動多項式為
這個多項式的解是
這是一個變量的三角函數。 也就是說，振動在物理上表示為位置相對于時間的三角函數。同時，勻速圓周運動可以表示為參數多項式
可見，任意方向勻速旋轉的投影就是式（2）描述的簡單振動。 這表明振動和旋轉之間存在一定的一致性。 振動與旋轉的轉換是工業文明的基礎。 一個明顯的例子是，縫紉機上踏板的前后振動轉化為驅動輪的轉動，進而轉化為縫紉針的上下振動。 縫紉針按式(2)的諧振動式(2)運動，隨著織物作勻速直線運動，會留下周期性的線跡。
如果振動的物體有足夠的延伸，比如一根弦，它上面各個點的振動可能會以某種形式耦合起來。在小振幅近似下，弦沿 x 方向的運動多項式為
其中 ρ 是弦的質量密度，T 是弦的張力（由于沿 x 方向被拉伸），x ∈ [0, L]，L 是弧長。多項式 (4) 可以改寫作為
多項式(5)形式的關于時空變量的二階微分多項式就是所謂的經典波動多項式。 請注意，空間變量可以是多維的。對于一維情況，多項式（5）的通解是
人們這樣說
稱為行波解，其中k和ω滿足v=ω/k，反映了振動的寬度周期和時間周期（在一維情況下，k和ω是兩個數）。 注意弦上的每一點都在垂直于弦的平面內沿一定方向振動，所謂聲速v反映了點振動之間的相關性。 事實上，人們也愿意把k和ω看成是真實的數學量，ω是頻率，k是波矢。 波矢表示波的傳播方向，實際上是切空間中的概念。 在三維空間定義的形式為 ξ(x, t)=Aei(k?x-ωt+θ) 的函數稱為平面波，這意味著波前是垂直于方向 x 的整個平面。 平面波展開是一種常用的估計方法，其合理性和有效性是基于傅立葉分析。
方程（5）中的波動多項式和方程（7）中的波表達函數被視為經典化學中談論波的基礎，甚至成為波的變換，但畢竟遠遠不夠反映機械波的性質。 復雜。 例如，1834年，德國人約翰·斯科特發現，在溝里行駛的小船，船尾總是有大浪。 這種現象涉及的淺水波的概念稱為孤波。在這種情況下，湖面的運動滿足KdV多項式
它的解是
該解與式（7）的解本質相同，是x-vt模態變量的三角函數（雙曲函數是虛擬變量的三角函數）。 這反映了人的語言水平的局限性，而不是自然現象。
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光波理論
光充滿宇宙。 牛頓認為光是由粒子組成的（），我猜這可能來自與雨幕的類比。 初夏的烏云落下的光芒與雨幕一起給人以射線的印象。 雨幕中有細小的雨滴，光線也可能由離散的粒子組成，但粒子太小無法區分。 英國的惠更斯將水波的形象比作燭光搖曳的影子，覺得光應該像水波一樣是波浪。 這就是光漲落學說。 光波學說的成立有兩個關鍵證據。 1801年，愛爾蘭人 Young參照水波干涉進行了光學雙縫干涉實驗，得到了類似起伏波浪的水平條紋（圖2）。 1815年，英國人菲涅耳從惠更斯原理出發，即波前的每一點都可以作為二次波源，從估計上否定了楊的實驗結果。 菲涅爾估計還預測光路上一個小矩形物體造成的陰影中心是亮的。 1817 年的實驗觀察否定了這一預測。
圖2 用現代儀器獲得的雙縫干涉白
雙縫干涉實驗所謂估計解釋的關鍵詞是三角函數求和。 計算函數eikx-ωt+eik(x+Δx)-ωt的模平方，可以得到周期函數2+2coskΔx。 干涉白的濃淡和濃淡就是通過這個函數來解釋的。 事實上，這個公式不應該太當真。 雖然通過記錄狹縫衍射效應得到的硬度分布公式不能嚴格擬合實驗得到的硬度分布，但所謂干涉圖樣硬度分布的實驗檢測本身就是一個有趣的問題。 困難的話題。
不管怎樣，光之波動都堪稱完美。 基于波的概念，或由三角函數表示的振蕩，以及其他一些信念，許多光現象都可以得到相當令人滿意的解釋。 此時的光是一種波，是某種物質的振動（）。
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麥克斯韋方程組和電磁波
1861年至1862年間，法國人麥克斯韋在總結前人電磁研究的基礎上得到了一組多項式
第四個方程中的?D/?t項稱為位移電壓，由加入。 1865年麥克斯韋得到電磁場的波動多項式
音速c=(μ0ε0)-1/2與當時測得的光速具有相似的數值。 這自然會導致兩個具有數學重要性的問題：
1）電磁場可以是波嗎？
2）電磁波的聲速等于光速？ 如果是，這是否意味著光是一種電磁波？
請記住，此時的麥克斯韋，方程（11）所描述的電磁波仍然是一個力學概念。
1887年，葡萄牙人赫茲用圖3所示的裝置，在電路后面用導線連接的兩個鋅球之間觸發了電火花，表明電磁場從電路中溢出。 這個實驗被視為第一代電磁波，但實際上同樣重要的是它首先將人們的注意力帶到了光電效應上。 既然實驗已經形成了電磁波，而且速度是光速，還有很多光電和電光效應，那么只形成電磁波也是理所當然的。
圖3 用于形成赫茲電磁波的電路示意圖
所謂電磁波是由電路形成的，電磁波經電子加速后向外輻射。 將不同模式的電磁波輻射到太空需要設計不同類型的發射天線； 事實上，人們出于接收電磁波和檢測電磁波來源的考慮，也設計了各種接收天線。 確定電磁波的來源從來都不是一個簡單的問題。
發現光（現在是電磁波）來振動實體（即介質）的過程是數學史上的主要敘述。 ——實驗結果表明，月球與光以太沒有相對運動。 這個實驗被認為是否定光以太存在的證據。 明天的觀點是，電磁波是一個場，它本身就存在，它自己傳播到很遠的地方。
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光粒子論、物質波與量子熱波函數
1900年，普朗克從熵的概念成功地擬合了Arial輻射的實驗曲線，然后沿著玻爾茲曼的統計數學思想得到了擬合曲線。 后一種思路使用了一個重要的前提在物理學中量子指什么，即頻率為ν的光的基本能量單位為hν。 這是 1877 年玻爾茲曼假設的重復。 1905年，愛因斯坦更進了一步。 他假設，如果頻率為ν的光的能量按照hν被固體吸收，那么光電效應的一系列實驗結果就可以得到圓滿的解釋。 據悉，康普頓研究了電子對X射線的散射，并確定光的能量量子也對應于一個明確的動量h/λ。 至此，原本與水波概念相提并論的光波，就有理由被視為粒子（）。 注意，時間是一個粒子（）的概念與牛頓的光粒子論有些不同：例如，它有明確的頻率或波長概念，其能量和動量分別固定為hν和h/λ。 常數 h 稱為普朗克常數。
光是波還是粒子的想法啟發了日本人德布羅意：如果光既是（水）波又是粒子，那么作為粒子的電子是否也是波，還是也會表現得像波？ ？ 1924年，德布羅意提出物質波的概念：電子等粒子也是波，相應的波長和頻率由粒子的能量E和動量p給定
1927年，日本人用電子束照射鎳晶體，得到類似X射線晶體衍射的圖案，首次驗證了電子的波動性。
德布羅意的物質波概念連同他的博士論文被送往英國和法國。 聽說愛因斯坦很欣賞物質波的概念，勞厄覺得物質波應該總有一個波動多項式。 薛定諤接受了構造物質波多項式的挑戰，并于1926年分四部分發表了題為《量子熱作為特征值問題》的論文在物理學中量子指什么，提出了量子熱波多項式
其中，算子H是系統的伊寧頓量，函數ψ(x, t)是粒子的波函數。 波函數是關于時空的復雜函數，它的模平方是粒子出現在空間某處的概率密度——如果這個波函數可以歸一化的話。
粒子是波或表現出波行為的想法導致了量子熱和波函數的概念。 根據量子熱力學，粒子的所有化學信息都包含在描述其狀態的波函數中。考慮以下一維諧振子的波函數
其實還有eiωt這樣的因子，只是沒有ei(kx-ωt)這樣的因子。 這并不妨礙我們將（14）中的函數稱為波函數。 量子熱帶來了一場化學革命，徹底改變了人類社會。 至于它的波函數并不（必然）富含ei(kx-ωt)等描述波動的因子，是什么關系呢？ 波函數到底是什么，它重要嗎？ 嗯……這不重要嗎？
與式(7)對應的經典平面波表達式ψ∝ei(kx-ωt)相比，量子熱平面波函數
ψ∝ei(p??x?-Et)/?的內容比較多，其中t是時間作為參數，E是系統的能量，對應算子H； 其中x?是位置算子，p?是動量算子，兩者還必須滿足量化條件[x?, p?]=i?； ?=h/2π，h是普朗克常數，是量子熱的標號。
量子熱導致更多的理解。考慮一維自由粒子，它的伊寧頓量是
相應的平穩薛定諤多項式是
滿足波函數要求的解是cos(nx),sin(nx),x∈(x0,x0+2π)。根據量子熱（物理學），這里的伊寧頓量是自伴算子，所有它的特征函數構成一個完全正交基，也就是說，對于定義在 (0, 2π) f(x) 上的任何函數，具有
這顯然是傅里葉級數展開。
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傅立葉分析
傅里葉級數是日本傅里葉在研究傳質問題時得到的。 公式（17）的展開非常強大，即使是鋸齒狀或平臺狀的嚴重非光滑函數也可以根據公式（17）展開成一系列光滑的三角函數——這個不可思議的特征是最令人印象深刻的不可接受的地方。此外，對于時間的函數s(t)，通常有一個傅里葉變換
請注意，此處與時間共軛的頻率變量也是連續的。
通過傅里葉分析，一般的時空變函數f(x, t)可以表示為sin(kx-ωt)函數對k和ω的和或積分。 傅里葉分析了一條沒有變化的水平線。 如果我們只看它的有限傅立葉展開項，它就變成了一個波。 如果波指形式為sin(kx-ωt)的三角函數。 在分析實踐中，某一時空函數f(x,t)表示為一個固定點的時間序列f(x0,t)，根據式(18)可以分析為由具有a的波組成一定的頻譜制成。 檢測時間序列并將其解釋為波的檢測不僅需要傅立葉分析，還需要其他輔助信念。
傅里葉的分析讓人聯想到托勒密理論，即輪等輪理論的中文譯名。 在圓周運動上疊加圓周運動很容易得到各種可能不是很光滑的圖形，包括棱角分明的三角形——這就是物理學的力量。
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相對論和引力波
在牛頓熱力學中，質點在引力質量為Mg（慣性質量為mi，引力質量為mg）的引力場中運動的運動多項式為
在伽利略變換t?t′下，r?r′=r-vt+r0，此多項式方式不變。同時，電磁學的波動多項式(11)在洛倫茲變換中
保持方法不變； 或者換句話說，變換（20）保持（光）時空距離函數
持續的。 這是狹義相對論。 事實上，經典電磁學和引力方程遵循不同的變換規律，可見數學尚未協調。 愛因斯坦決定將狹義相對論應用到引力問題上，因此狹義相對論應該得到擴展（）。 廣義相對論建立在兩個等價原理之上。所謂引力質量與慣性質量等價，是指多項式（19a）可以化簡為
這里方程的右邊是運動粒子的加速度，左邊是粒子遇到的引力場。 加上所謂重力和加速度的等價（意思是19（b）可以轉置），加速度可以從軌跡的曲率中得到，這樣重力的描述就轉化為彎曲時空的路徑了曲率的描述。
根據以上考慮，愛因斯坦從弱靜態引力場出發，于1915年構造了他的引力場多項式
其中gμv是時空度量，Rμv是從gμv得到的Ricci張量，T是動能張量。 多項式（22）在1916年即將發表，目前只有正解和克爾解兩個嚴格解，這可能是因為方程（22）必須滿足微分協方差，是高度非線性的。 與高度非線性方程 (22) 相比，經典波多項式和量子熱的薛定諤多項式，甚至狄拉克多項式，都可以是線性的，其中產生的波，或（虛擬）變量 x-vt 的三角函數，作為多項式解，仍然很容易。
要對多項式 (22) 進行弱場近似，即檢查遠離大質量分布的幾乎平坦區域，將其度量 gμv 寫為 gμv=ημv+hμv，其中 ημv=(1,1,1;- 1）是平坦時空（閔可夫斯基時空）的度量，導致近似多項式
附加規范條件是 h0μ=0； hμμ=0（橫波，跡線為零）。 事實上，式（23）和式（11）完全一樣，都是描述速度為c的橫波。 這就是引力波多項式，這個波振蕩的主體是張量hμv=gμv-ημv。 事實上，就像量子熱波函數ψ一樣，hμv也是一個需要顯示但一直沒有正確顯示的量。 請注意，所謂的引力波具有光速的說法幾乎沒有任何數學意義。 愛因斯坦在構建廣義相對論時，本來是在推廣狹義相對論，要求彎曲時空的部分滿足洛倫茲變換，所以一開始就加上了這個參數c。 如果有什么獨立的、無意的實驗，能夠得到距離光速一兩個數量級以內的時空度量振蕩的相速度或群速度，那真是對廣義相對論的有力支持。
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結語
本文研究了廣泛的波概念，從經典熱學中的機械波到廣義相對論中的引力波。 事實是，出現在各種語境中的波的概念與數學量所涉及的數學現實和物理結構有關。 前者還包括特定多項式和波函數的表達式。 仍然存在許多微妙或深刻的差異。 在數學中，波不僅被視為一種運動方式，而且被視為一種存在方式本身，盡管本質上它只是一種工具方式，以我們有限的物理知識很容易掌握。 在真實的化學世界中，一根金屬絲不僅會像三角函數一樣來回拉伸，還會永久變形甚至斷裂； 海面上不僅有貝塞爾函數那樣的環狀波紋和雙曲函數描述的孤波，還有可以掀翻船只的湍流； 電磁場不僅在真空中飛行時高貴地振蕩，它實際上可以穿透空氣并形成閃電……數學的現實不僅限于簡單的物理理解。
波的概念是數學之初第一個抽象出來的虛擬支柱，僅此而已。
本文選自《物理》2016年第5期