質(zhì)量分布均勻的球殼和球?qū)佣记騼?nèi)部物體引力的問題，是萬有引力較難的一個(gè)運(yùn)用，考察學(xué)生對(duì)萬有引力的理解能力和微元法思想。
勻質(zhì)球殼和球?qū)訉?duì)內(nèi)部物體引力為零的證明
如圖所示，一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球殼，在任意位置P處，一質(zhì)點(diǎn)m所在的位置P為頂點(diǎn)，做兩個(gè)低面積足夠小的對(duì)頂圓錐，這時(shí)，兩圓錐低面不僅可以視為平面，還可以看成質(zhì)點(diǎn)。
設(shè)空腔內(nèi)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)到圓錐底面中心的距離分別為r1、r2，兩圓錐底面半徑分別為R1、R2，底面密度為ρ，根據(jù)萬有引力定律，兩圓錐底面對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力可以表示為
設(shè)球殼的厚度為d，故質(zhì)量Δm1=ρπR12d，Δm2=ρπR22d
根據(jù)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可得
得出ΔF1=ΔF2，因此兩引力等大反向，所以引力的合力為零。
故在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意一點(diǎn)位置，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零。
兩個(gè)推論：
1、質(zhì)量分布均勻的球?qū)訉?duì)球內(nèi)任意一點(diǎn)的引力為零，一個(gè)勻質(zhì)球?qū)涌梢缘刃樵S多厚度非常薄的勻質(zhì)球殼組成，任取一個(gè)球殼，對(duì)其內(nèi)部任意位置P的合引力為零，所以，球殼組成的球?qū)訉?duì)內(nèi)部任意質(zhì)點(diǎn)的引力也為零。
2、在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處，質(zhì)點(diǎn)受到的萬有引力就等于半徑為r的球體的引力，即F’=GM’m/r2
如下圖所示，設(shè)勻質(zhì)球體的質(zhì)量為M，半徑為R，其內(nèi)部半徑r處的勻質(zhì)球體質(zhì)量為M’，與球心相距r處的一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受到的萬有引力可以視為厚度為R—r的勻質(zhì)球?qū)雍桶霃綖閞的勻質(zhì)球體引力的合力，由于勻值球?qū)訉?duì)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的引力為零，所以質(zhì)點(diǎn)m受到的萬有引力就等于在半徑為r的勻質(zhì)球體表面受到的萬有引力，即引力F’=GM’m/r2。
勻質(zhì)球殼和球?qū)訉?duì)內(nèi)部物體引力問題視頻
例題：
假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（? A? ）
A、1—d/R
B、1 + d/R
C、
D、
解析：由題意可知，物體在地面處的重力加速度可以由g=GM/R2，根據(jù)上面推論二可得礦井底部的重力加速度g’=GM’/(R-d)2，根據(jù)球體的質(zhì)量M=ρ(4/3)πR3，可得M’/M=(R-d)3/R3，從而g’/g=1—d/R