經(jīng)過受力分析，自由擺的動(dòng)力學(xué)方程可寫為：
m frac{d^2 x}{dt^2}=mgsintheta
其中，圓的知識為：x=ltheta
這樣我們就可以得到關(guān)于角位置θ的微分方程。 接下來的問題就是解決，怎么解決呢？
這次又出現(xiàn)了新的問題
θ
非線性函數(shù)（正弦函數(shù)是非線性的），它是一個(gè)非線性二階微分方程，很難求解。 怎么辦？本科普通物理實(shí)驗(yàn)中，采用小振幅近似，運(yùn)用極限思維
正弦θ
變得
θ
，簡化為線性微分方程，則解很容易求解。 我不想在下面這樣做，我希望得到任何幅度的結(jié)果。
此時(shí)可以從機(jī)械能守恒的角度來求解。假設(shè)初始力矩為0，則此時(shí)的角位置和角速度分別為
,
，則線速度為
v_0=l
，可以寫出機(jī)械能的表達(dá)式。 同理高中物理單擺圖像變化問題，任意時(shí)刻t的機(jī)械能表達(dá)式都可以寫出。由于機(jī)械能守恒定律，有
E(t)=E(0)
，由此可以求解出角速度與角位置的關(guān)系，表征了擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。給定一組初始值
,
，就可以得到一條曲線。 因此，自由擺的通解是一系列曲線。 這其實(shí)就是“相圖”的概念，由龐加萊在數(shù)學(xué)中首先提出。 相空間各軸所表示的量正是系統(tǒng)的各種狀態(tài)參數(shù)。 相空間中的一個(gè)點(diǎn)代表系統(tǒng)的一種狀態(tài)。 相空間中的點(diǎn)連接起來的軌跡就是相軌道，它代表了系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化。 借助“相圖”的概念，我們無需直接求解微分方程，就可以得到方程解的一些性質(zhì)。 這后來發(fā)展了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，稱為“微分方程定性理論”。
核心理念：
1.養(yǎng)護(hù)：
通俗地說：保持不變。
如果它隨時(shí)間守恒，則意味著數(shù)量不隨時(shí)間變化而變化。
如果是隨位置守恒的，則意味著無論位置如何變化，數(shù)量都不會改變。
守恒通常與對稱性有關(guān)。 例如，時(shí)間平移對稱性會引起能量守恒，空間平移對稱性會引起動(dòng)量守恒。
2、對稱性：
通俗地說：執(zhí)行某項(xiàng)操作后，系統(tǒng)仍然與操作前“一模一樣”。
例如，如果您圍繞其中心繞一個(gè)圓，它將與以前完全相同。 因此我們說圓的圓周在任何角度都具有旋轉(zhuǎn)對稱性。 如果你敲掉這個(gè)圓上的一個(gè)小點(diǎn)，它的對稱性就會降低。 只有旋轉(zhuǎn)360度，破壞的圓才會和旋轉(zhuǎn)前一樣。
3、相圖：
見文字說明。
引申：“相圖”的概念在求解非線性振動(dòng)方面有很多應(yīng)用，延伸到“極限環(huán)”、“吸引子”、“龐加萊截面”、“混沌”等概念。 不僅如此高中物理單擺圖像變化問題，“相空間”的概念在理論力學(xué)和熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理中也發(fā)揮著重要作用。
參考
【1】《新概念物理教程-力學(xué)》