本節(jié)逐步研究擺的運(yùn)動(dòng)。 具體內(nèi)容按照以下思路展開(kāi)：
1.首先建立擺模型。 在此基礎(chǔ)上，利用圖像研究擺球位置隨時(shí)間的變化，得到擺球的振動(dòng)圖像。 對(duì)圖像的定性分析得出了鐘擺可能進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng)的猜想。
2、分析擺球所受的力與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的關(guān)系，了解擺球所受的恢復(fù)力是由重力沿軌跡切線方向的分力提供的； 推導(dǎo)了恢復(fù)力與擺球距平衡位置的位移之間的關(guān)系，驗(yàn)證了簡(jiǎn)擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。該猜想闡明了簡(jiǎn)擺發(fā)生簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件。
3、在觀測(cè)和猜想的基礎(chǔ)上，利用受控變量法探討了擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期與擺長(zhǎng)度的關(guān)系單擺回復(fù)力，并利用周期公式測(cè)量了局部重力加速度擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。
學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容后，你將體驗(yàn)到觀察現(xiàn)象、構(gòu)建模型、猜想假設(shè)、推理論證、實(shí)驗(yàn)探究與測(cè)量等過(guò)程，有利于學(xué)生培養(yǎng)科學(xué)思維和科學(xué)探究能力。 通過(guò)有意識(shí)地探索鐘擺的運(yùn)動(dòng)，形成對(duì)其規(guī)律的描述和解釋，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、細(xì)致、求實(shí)的態(tài)度，增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。
文字解讀
這里利用生活中真實(shí)物體的來(lái)回擺動(dòng)來(lái)創(chuàng)設(shè)情境，突出“擺動(dòng)”的運(yùn)動(dòng)特征。 通過(guò)抽象地建立擺模型來(lái)研究其規(guī)律，體現(xiàn)了科學(xué)研究總是從簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始的思想。
在沙擺獲取振動(dòng)圖像的實(shí)驗(yàn)中，如果以恒定速度v拉動(dòng)紙板，則紙板經(jīng)過(guò)的距離L=vt代表沙擺擺動(dòng)的時(shí)間t。 從圖中坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始，橫軸方向線段的長(zhǎng)度反映了擺從初始時(shí)間（0 s）開(kāi)始沿縱軸擺動(dòng)的時(shí)間t。 這種在空間中表示時(shí)間的方法也用于地震監(jiān)測(cè)儀和心電圖儀等技術(shù)中。
單擺的擺動(dòng)與彈簧振蕩器的運(yùn)動(dòng)不同。 擺球沿以懸掛點(diǎn)為中心的圓弧在垂直平面內(nèi)來(lái)回運(yùn)動(dòng)。 因此，人們普遍研究其角位移隨時(shí)間的變化。 如圖2-19所示，設(shè)擺球的質(zhì)量為m，擺的長(zhǎng)度為l。 當(dāng)擺球經(jīng)過(guò)角位移為θ的位置時(shí)，其重力沿切線方向的分力起恢復(fù)力的作用。 表達(dá)式為F=mgsinθ，其中負(fù)號(hào)表示力的方向與角位移的方向相反。 假設(shè)此時(shí)恢復(fù)力產(chǎn)生的切向加速度為a，則根據(jù)牛頓第二定律，? mgsinθ = ma，代入加速度a = l (frac{{{{rmtxrzbvzd}^2 } theta }}{{{rmtxrzbvzd}{t^2}}})，排序后即可得到，(frac{{{{rmtxrzbvzd}^2}theta }}{ {{rmtxrzbvzd}{t^2}}}) + (frac{g}{l}) sinθ = 0。
簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程(frac{{{{rmtxrzbvzd}^2}x}}{{{rmtxrzbvzd}{t^2}}}) + ω2x = 0相反，根據(jù)余弦函數(shù)定律，擺球的角位移不隨時(shí)間變化。 因此，單擺的擺動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 只有在小角度擺動(dòng)的情況下，由于sinθ ≈ θ，單擺才能近似簡(jiǎn)諧振動(dòng)。
簡(jiǎn)單擺的等時(shí)性是小角度擺動(dòng)時(shí)的近似結(jié)論。 理論計(jì)算表明，即使最大擺角達(dá)到15°，單擺的實(shí)際周期與等時(shí)周期的誤差也不超過(guò)千分之五。 周期和最大擺角之間的關(guān)系可以在本書第56頁(yè)找到。
這是一個(gè)測(cè)量學(xué)生實(shí)驗(yàn)。 目的是利用擺錘擺動(dòng)的周期性，根據(jù)擺周期公式來(lái)測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?在物理實(shí)驗(yàn)與活動(dòng)部分，本實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生自主選擇設(shè)備、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)流程、選擇數(shù)據(jù)處理方法、思考減少實(shí)驗(yàn)誤差的方法等，以呼應(yīng)課程標(biāo)準(zhǔn)的水平要求。要求學(xué)生獨(dú)立撰寫完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告。
問(wèn)題與想法解讀
1.參考答案：擺運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條圓弧。 擺的小角度擺動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 當(dāng)經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，振動(dòng)方向的外力為零，指向圓心的合力不為零，擺球不處于力平衡狀態(tài)。 當(dāng)水平方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，合力也為零，處于力平衡狀態(tài)。
命題目的：比較兩種常用的簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型——單擺和彈簧振子，從力和相互作用的角度分析單擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。
主要能力和水平：運(yùn)動(dòng)和交互的概念（Ⅲ）； 模型構(gòu)建（二）．
2、參考答案：從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特性可以看出，當(dāng)擺角增大時(shí)，擺球距平衡位置的位移增大，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，因此速度減小; 由恢復(fù)力與位移的關(guān)系可知F=?kx，位移增大，恢復(fù)力也增大。
提示：恢復(fù)力的大小也可以用F=mgsinθ來(lái)表示。 可以看出，隨著擺角θ的增大，恢復(fù)力也增大。
命題目的：引導(dǎo)人們從生活中一個(gè)鐘擺（單擺擺動(dòng)）的情況來(lái)思考擺角增大時(shí)速度的變化； 從簡(jiǎn)單擺的恢復(fù)力來(lái)看，就是重力沿圓弧切線的分力，或者說(shuō)是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的恢復(fù)力和位移。 關(guān)系，從多個(gè)角度理清各種物理量之間的關(guān)系，并分析其隨著擺角增大的變化。
主要能力和水平：運(yùn)動(dòng)和交互的概念（Ⅰ）； 能量的概念（一）； 科學(xué)推理（Ⅲ）．
3、參考答案：光電門磁的工作原理是：當(dāng)光線被阻擋時(shí)，通過(guò)的電流為零；當(dāng)光線被阻擋時(shí)，通過(guò)的電流為零；當(dāng)光線被阻擋時(shí)，通過(guò)的電流為零； 當(dāng)沒(méi)有光阻擋時(shí)，電流不為零。 光電門傳感器位于擺錘的最低點(diǎn)。 當(dāng)擺球通過(guò)光電門傳感器時(shí)，它阻擋光線單擺回復(fù)力，電流為零。 擺錘經(jīng)過(guò)平衡位置后，一個(gè)周期內(nèi)會(huì)經(jīng)過(guò)平衡位置兩次，因此擺錘的周期對(duì)應(yīng)于圖2-23中的t1～t3或t2～t4時(shí)間段。
命題目的：針對(duì)教材中的獨(dú)立活動(dòng)，能夠利用光電門傳感器測(cè)量擺的周期，了解擺的周期測(cè)量原理。
主要能力和水平：模型構(gòu)建（Ⅲ）； 科學(xué)推理（二）．
4、參考答案：擺周期T與重力加速度g的關(guān)系為：T = 2π (sqrt {frac{l}{g}} )。 如果用掛點(diǎn)到擺球下端的長(zhǎng)度作為擺錘的長(zhǎng)度，則擺錘長(zhǎng)度太長(zhǎng)； 如果周期是從擺球通過(guò)平衡位置的那一刻開(kāi)始測(cè)量的，并且每次通過(guò)都記錄為一次完整的振動(dòng)，則周期太短； 當(dāng)球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。 第一個(gè)讀數(shù)是“1”。 讀數(shù)“30”表示總振動(dòng)次數(shù)為30次。 事實(shí)上，只有29次，所以周期太小了。 這些都可能導(dǎo)致測(cè)量的重力加速度值過(guò)大。
命題目的：“用擺測(cè)量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)是有一定精度要求的實(shí)驗(yàn)。 想象實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤操作，預(yù)測(cè)其對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，引導(dǎo)實(shí)驗(yàn)中的注意力。
主要素質(zhì)和水平：提問(wèn)（三）； 科學(xué)態(tài)度（二）。
5、參考答案：一般情況下，起重機(jī)鋼絲繩與物體組成的擺動(dòng)系統(tǒng)的擺動(dòng)角度很小。 起重機(jī)纜索下物體的擺動(dòng)被視為做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的簡(jiǎn)擺。 從一側(cè)最高位置擺動(dòng)到另一側(cè)最高位置所需的時(shí)間為半個(gè)周期，周期為T=10s。 根據(jù)簡(jiǎn)單的擺周期公式 T = 2π (sqrt {frac{l}{g}} ) 我們可以知道 (frac{{T_1^2}}{{T_2^2}}) = ( frac{{{l_1}}}{{{l_2}}})，所以電纜長(zhǎng)度約為25 m。
命題目的：將繩索下物體的運(yùn)動(dòng)抽象為擺的小角度擺動(dòng)，利用第二個(gè)擺的信息通過(guò)比較來(lái)估計(jì)繩索的長(zhǎng)度。
主要能力和水平：運(yùn)動(dòng)和交互的概念（II）； 模型構(gòu)建（三）．
6． 參考答案：?jiǎn)螖[的使用壽命為T = (frac{t}{n})。 圖 2 - 24 中圖表的斜率是 k = (frac{{{T^2}}}{l})，根據(jù)簡(jiǎn)單擺周期公式 T = 2π (sqrt {frac{ l}{g }} )，我們得到 g = (frac{{4{pi ^2}l}}{{{T^2}}})，所以重力加速度 g = ( frac{{4{ pi ^2}}}{k})。
命題意圖：呈現(xiàn)不同的數(shù)據(jù)分析方法，通過(guò)推理得出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中多樣化數(shù)據(jù)處理的能力。
主要能力和級(jí)別：說(shuō)明（Ⅲ）； 科學(xué)論證（二）．
數(shù)據(jù)鏈接
關(guān)于“單擺的周期與其振幅無(wú)關(guān)”的討論
只有當(dāng)擺角足夠小時(shí)，簡(jiǎn)擺的擺動(dòng)才可以近似視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期滿足公式 T = 2π (sqrt {frac{l}{g}} )，這與振幅無(wú)關(guān)，它是擺的自然周期。 在任意擺角的情況下，單擺周期T與最大擺角θ的關(guān)系為： T = T0 (1 + (frac{1}{4}) sin2θmax + (frac{9 }{64 }) sin4θmax + …)（得到這個(gè)結(jié)果的參考文獻(xiàn)可以通過(guò)關(guān)鍵詞“簡(jiǎn)單擺的周期與擺角的關(guān)系”進(jìn)行搜索）。
根據(jù)上式，可以計(jì)算出最大擺角θmax對(duì)單擺周期的影響，如下表所示。
θ最大
5°
10°
15°
20°
30°
45°
60°
(frac{{T - {T_0}}}{{{T_0}}})
0.000 5
0.001 9
0.004 3
0.007 7
0.017 4
0.036 9
0.071 9
可見(jiàn)，當(dāng)擺角較小時(shí)，簡(jiǎn)擺的擺動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 它的擺動(dòng)是等時(shí)的，其周期是自然周期。
