A.狹義相對(duì)論
經(jīng)典力學(xué)中對(duì)空間和時(shí)間的物理解釋
從物理的觀點(diǎn)來(lái)看，幾何學(xué)是一些定律的總和，由這些定律能把相互靜止的剛體置于彼此相對(duì)的位置上（比如，一個(gè)三角形由三條端點(diǎn)永遠(yuǎn)連接的桿組成）。人們?cè)O(shè)定用這種解釋，歐幾里得定律是有效的。在這種解釋中，“空間”原則上是一個(gè)無(wú)限的剛體（或框架），其他的物體是與之相關(guān)聯(lián)的（參照系）。解析幾何（笛卡爾）用三個(gè)相互正交的剛性桿作為參照體表現(xiàn)空間，在這些剛性桿上通過(guò)垂直投影這一熟悉的辦法（利用剛體的單位尺度），便測(cè)得空間點(diǎn)的“坐標(biāo)”(x,y,z)。
物理學(xué)研究空間和時(shí)間中的“事件”。每一個(gè)事件不僅有自己的空間坐標(biāo)x，y，z，還有一個(gè)時(shí)間值t。后者被認(rèn)為可利用一個(gè)其空間大小可以忽略（作理想周期循環(huán)）的鐘來(lái)測(cè)得，這個(gè)鐘C被看作在坐標(biāo)系中一點(diǎn)，例如在坐標(biāo)原點(diǎn)(x=y=z=0)處是靜止的，在空間點(diǎn)P(x,y,z)上發(fā)生的事件的時(shí)刻便被規(guī)定為與事件同時(shí)的鐘C所顯示的時(shí)刻。在這里，假定“同時(shí)”的概念無(wú)需專門的定義就有物理上的意義。這種精確性的缺乏似乎是無(wú)害的，只因光（其速度在我們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)看來(lái)幾乎是無(wú)限的）使得空間上分開(kāi)的事件的同時(shí)性看起來(lái)能被立即加以確定。
通過(guò)利用光信號(hào)來(lái)從物理上定義同時(shí)性，狹義相對(duì)論消除了這個(gè)精確性的缺乏。在P點(diǎn)發(fā)生事件的時(shí)間t就是從該事件發(fā)出的光信號(hào)到達(dá)時(shí)鐘C時(shí)從C上讀的時(shí)間。考慮到光信號(hào)通過(guò)這一距離所需事件，對(duì)這一時(shí)刻進(jìn)行了修正。在做這種修正時(shí)，（假定）光速為常數(shù)。
這個(gè)定義把空間上分開(kāi)的兩個(gè)事件的同時(shí)性概念歸化為在同一地點(diǎn)發(fā)生的兩個(gè)事件（即光信號(hào)到達(dá)C和C上的讀數(shù)）的同時(shí)性（符合）。
經(jīng)典力學(xué)以伽利略原理為基礎(chǔ)，即：只要其他物體對(duì)其沒(méi)有作用，一個(gè)物體總是作直線勻速運(yùn)動(dòng)。這一陳述并非對(duì)于任意運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系都是正確的，它僅能適用于所謂的“慣性系”。慣性系互相作直線勻速運(yùn)動(dòng)。在經(jīng)典物理學(xué)中，所有定律僅僅對(duì)全體慣性系才能說(shuō)是適用的（狹義相對(duì)性原理）。
現(xiàn)在便很容易理解導(dǎo)致產(chǎn)生狹義相對(duì)論的那個(gè)窘境。經(jīng)驗(yàn)和理論都逐漸使人確信，光在真空中總是以不變的速度C傳播，而與光的顏色及光源運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)（光速恒定原理——以下稱為“L—原理”）。然而基本的直觀考慮似乎表明同一光線不可能相對(duì)所有慣性系都以同樣的速度C運(yùn)動(dòng)。L—原理似乎同狹義相對(duì)性原理發(fā)生了矛盾。
但實(shí)際上這個(gè)矛盾不過(guò)只是一個(gè)表面現(xiàn)象，它實(shí)質(zhì)上是基于對(duì)事件的絕對(duì)性，或?qū)臻g分開(kāi)的事件的同時(shí)性的偏見(jiàn)之上。我們剛剛看到，一個(gè)事件的x,y,z和t目前只能相對(duì)于某一個(gè)選定的坐標(biāo)系（慣性系）來(lái)確定。如果沒(méi)有特定的物理假設(shè)，從一個(gè)慣性系過(guò)渡到另一個(gè)慣性系而實(shí)現(xiàn)事件的x,y,z變換（坐標(biāo)變換）是不可能的。然而，下面的假定卻恰好足以作為一種解決方案；L—原理對(duì)所有慣性系都成立（狹義相對(duì)性原理對(duì)L—原理的應(yīng)用）。由此而確定的關(guān)于x,y,z,t的線性變換稱為洛侖茲變換。洛侖茲變換在形式上以由兩個(gè)無(wú)限靠近的事件的坐標(biāo)差dx,dy,dz,dt構(gòu)成的表達(dá)式 不變?yōu)樘攸c(diǎn)（即通過(guò)變換之后，由新坐標(biāo)系中坐標(biāo)差構(gòu)成同樣的表達(dá)式）。
有了洛侖茲變換，狹義相對(duì)論原理可以表述為：自然規(guī)律對(duì)于洛侖茲變換都是不變的（即，若通過(guò)x,y,z,t的洛侖茲變換對(duì)某個(gè)自然規(guī)律引進(jìn)一套新的慣性系，則此自然規(guī)律不會(huì)改變其形式）。
狹義相對(duì)論引發(fā)了對(duì)空間和時(shí)間的物理概念的清晰理解。與之相關(guān)的，也引發(fā)了對(duì)運(yùn)動(dòng)著的測(cè)量桿和測(cè)量鐘的行為的認(rèn)識(shí)。它在原則上去掉了絕對(duì)同時(shí)性的概念，從而也擺脫了牛頓意義上的遠(yuǎn)距離瞬間作用的概念。它表明了當(dāng)處理運(yùn)動(dòng)速度同光速相比不是小得可以忽略的運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行修改。它導(dǎo)致了麥克斯韋的電磁場(chǎng)方程組形式上的澄清，尤其是它還引發(fā)了對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)本質(zhì)上的同一性的理解。它把動(dòng)量守恒和能量守恒這兩個(gè)規(guī)律統(tǒng)一起來(lái)，從而展示了質(zhì)量和能量的等效性。從形式的觀點(diǎn)上看，人們可以這樣來(lái)刻劃狹義相對(duì)論的成就：它概括地表明了普適常數(shù)c（光速）在自然規(guī)律中扮演的較色，同時(shí)展示了以時(shí)間為一方，空間坐標(biāo)為另一方，兩者進(jìn)入自然規(guī)律的方式之間存在著密切聯(lián)系。
B.廣義相對(duì)論
狹義相對(duì)論把經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)限定在一個(gè)基本點(diǎn)上，即下列論斷：自然規(guī)律僅對(duì)慣性系成立。“允許的”坐標(biāo)變換即那些使規(guī)律形式不變的變換只有（線性）的洛侖茲變換。這類限制真的有物理事實(shí)根據(jù)嗎？下面的論證令人信服地否定了它。
等效原理。物體具有慣性質(zhì)量（對(duì)加速度的抗性）和重的質(zhì)量（它決定物體在特定引力場(chǎng)，比如地球表面場(chǎng)中的重量），這兩個(gè)從定義上看來(lái)如此不同的量，但按照經(jīng)驗(yàn)，是用一個(gè)同樣的數(shù)值來(lái)度規(guī)的。對(duì)此，一定有更深層的原因。這一事實(shí)也可這么來(lái)表述：不同質(zhì)量的物體在同一引力場(chǎng)中得到相同的加速度。最后，它也可以這樣表述：物體在引力場(chǎng)中的行為可以和沒(méi)有引力場(chǎng)情況下相同，只要后一情形所用的參照系是一個(gè)勻加速坐標(biāo)系（而不是慣性系）。
因而，似乎沒(méi)有理由禁止對(duì)后一情形作如下的解釋。人們把這個(gè)坐標(biāo)系看作是“靜止的”，將相對(duì)它而存在的“表觀”引力場(chǎng)看作是“真實(shí)的”。由坐標(biāo)系的加速度而“產(chǎn)生”的引力場(chǎng)當(dāng)然具有無(wú)限的延展范圍，它不可能由有限區(qū)域的引力質(zhì)量產(chǎn)生。然而，若我們要尋找一個(gè)類場(chǎng)的（field like）理論，這一事實(shí)并不妨礙我們。有了這種解釋，慣性系便失去了意義，而且我們獲得了關(guān)于引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量等效的“說(shuō)明”（物質(zhì)的這一同一性質(zhì)表現(xiàn)為重量或慣性，由描述方式來(lái)決定）。
從形式上考慮，承認(rèn)相對(duì)原來(lái)“慣性”坐標(biāo)作加速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系也就意味著承認(rèn)非線性坐標(biāo)變換，進(jìn)而大大推廣了不變性的思想，即相對(duì)性原理。
首先，利用狹義相對(duì)論的結(jié)果所做的深入討論表明，有了這么一種推廣，坐標(biāo)不能再直接解釋為測(cè)量的結(jié)果。只有當(dāng)坐標(biāo)差與描述引力場(chǎng)的場(chǎng)量結(jié)合起來(lái)才能確定事件間可測(cè)量的距離。當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)自己不得不承認(rèn)非線性變換作為等效坐標(biāo)系間的變換之后，最簡(jiǎn)單的要求看來(lái)是承認(rèn)所有連續(xù)的坐標(biāo)變換（它們形成一個(gè)群），也即承認(rèn)任何以正則函數(shù)來(lái)描述場(chǎng)的曲線坐標(biāo)系（廣義相對(duì)性原理）。
現(xiàn)在不寧理解為何廣義相對(duì)性原理（基于等效性原理之上）導(dǎo)致了引力理論。有一種特殊的空間，其物理結(jié)構(gòu)（場(chǎng)）我們假設(shè)能在狹義相對(duì)論基礎(chǔ)上被精確得知，它是沒(méi)有電磁場(chǎng)和物質(zhì)的空的空間（empty space），它完全由其“度規(guī)”性質(zhì)所決定：以 ， ， ， 表示兩個(gè)無(wú)限接近點(diǎn)（事件）的坐標(biāo)差，則
(1)
是一個(gè)依賴慣性系的特殊選擇的可測(cè)量的量。若通過(guò)廣義坐標(biāo)變換在這個(gè)空間中引入新的坐標(biāo) ， ， ， ，那么對(duì)于同一對(duì)點(diǎn)的值便有了另一種表達(dá)式：
(2)
式中， 。根據(jù)等效原理，組成“對(duì)稱張量”且為 … 之連續(xù)函數(shù)的 描述了一種特定的引力場(chǎng)（即能夠重新變換為形式(1)的場(chǎng)）。從黎曼[1]對(duì)度規(guī)空間的研究，我們可以得到 場(chǎng)的精確數(shù)學(xué)屬性（“黎曼條件”）。然而，我們所要尋求的卻是能夠?qū)Α耙话恪币?chǎng)能滿足的方程。自然，假定它們也能被描述為 類型的張量場(chǎng)，這種場(chǎng)一般不允許回到形式(1)的變換，即不滿足“黎曼條件”，只滿足一些稍弱的條件，這些條件恰同黎曼條件一樣也獨(dú)立于坐標(biāo)系的選擇（即是廣義不變的）。作簡(jiǎn)單的形式考查，便能導(dǎo)出與黎曼條件緊密相連的弱條件，這些條件正是純引力場(chǎng)（存在于物質(zhì)外面并且沒(méi)有電磁場(chǎng)）方程。自然，假定它們也能被描述為 類型的張量場(chǎng)，這種場(chǎng)一般不允許回到形式(1)的變換，即不滿足“黎曼條件”，只滿足一些稍弱的條件，這些條件恰同黎曼條件一樣也獨(dú)立于坐標(biāo)系的選擇（即是廣義不變的）。作簡(jiǎn)單的形式考查，便能導(dǎo)出與黎曼條件緊密相連的弱條件，這些條件正是純引力場(chǎng)（存在于物質(zhì)外面并且沒(méi)有電磁場(chǎng)）方程。
這些方程以近似定律的形式給出了牛頓的引力力學(xué)方程，此外還得出一些已為觀察所證實(shí)的微小效應(yīng)（星體引力場(chǎng)引起的光線彎曲，引力勢(shì)對(duì)輻射光線頻率的影響，行星橢圓軌道的緩慢旋轉(zhuǎn)——水星近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)）。進(jìn)一步，它們又給出了銀河系的膨脹運(yùn)動(dòng)的解釋，而這一運(yùn)動(dòng)是那些星系發(fā)出的光線的紅移所表現(xiàn)出來(lái)的。
廣義相對(duì)論至今仍是不完備的，它只能較為令人滿意地把廣義相對(duì)性原則應(yīng)用到引力場(chǎng)，而不能用于總場(chǎng)。我們?nèi)圆荒艽_切知道在空間中的總場(chǎng)可用什么數(shù)學(xué)機(jī)制來(lái)描述，以及總場(chǎng)遵從何種廣義不變定律。但有一點(diǎn)似乎可以肯定，即：廣義相對(duì)性原理將會(huì)被證明是解決統(tǒng)一場(chǎng)問(wèn)題的一個(gè)必要而且有效的工具。