近來幾天相繼收到一波一波數(shù)學(xué)愛好者的留言和提問，她們對(duì)吸鐵石的磁力做功這件事倍感疑惑，典型的問題有兩個(gè)：
第一，既然吸鐵石的磁力可做功，這么這個(gè)能量源自何處？
第二，磁力看上去就像可仍然做功，若真這么，那豈不成了永動(dòng)機(jī)？
聽到“永動(dòng)機(jī)”三字，有人可能有點(diǎn)坐不住了。雖然，筆者也不想用如此令人恐怖的詞句！但你盡可放心，只要你相信能量守恒定理，這篇文章一定會(huì)再度幫你確認(rèn)——依賴吸鐵石的永動(dòng)機(jī)是不可能實(shí)現(xiàn)的。
功，最基本的數(shù)學(xué)學(xué)概念，它是指質(zhì)點(diǎn)在力的作用下發(fā)生位移的過程中所積累的一種量，簡而言之，功就是力的空間積累作用。
對(duì)于保守力來說，因?yàn)樗龉εc路徑無關(guān)，從物理上可以證明，總能找到某種空間坐標(biāo)的函數(shù)，它在某兩點(diǎn)的函數(shù)差值正好等于保守力在這兩點(diǎn)之間所作的功。
這個(gè)函數(shù)就是勢能，一般用表示，它與做功的關(guān)系為
所以，只要是保守力，做功與勢能增量之和必然為零，也就是，保守力做功的值總等于勢能的降低量。
我們所熟悉的保守力，比如靜電場力、重力和彈簧的彈力等都是這么。
所以，重物下落為何越來越快？由于重力勢能弄成動(dòng)能了；異號(hào)電荷互相吸引而緊靠，為何會(huì)加速？由于電勢能不斷弄成動(dòng)能。而正由于彈簧的彈力是一種保守力，所以彈簧振子的動(dòng)能和勢能之和保持不變。
這么，對(duì)于吸鐵石之間的磁力，做功是否也覺有類似的規(guī)律呢？
對(duì)下邊的部份，假如你不太關(guān)心具體細(xì)節(jié)，你也可以直接跳過。你只須要曉得，磁力做功似乎有所不同，但也具有類似的規(guī)律，即同樣有個(gè)所謂的“磁力勢能”在隨著磁力做功而變化，若它減小，則磁力做正功，吸鐵石動(dòng)能降低，反之則磁力做負(fù)功，吸鐵石動(dòng)能減低。
首先來了解下物質(zhì)磁性的起源。
依據(jù)安培定理，電壓之間存在互相吸引或抵觸的力，這就是磁性的表現(xiàn)。為了解釋物質(zhì)的磁性，安培提出分子環(huán)流假說，即覺得磁性物質(zhì)之所以有磁性，就是由于內(nèi)部富含大量微小的電壓環(huán)——分子環(huán)流，磁性就是這種分子環(huán)流之間的力作用的結(jié)果。
每位電壓環(huán)對(duì)應(yīng)一個(gè)被稱作磁矩的數(shù)學(xué)量，定義如下
它是矢量，大小等于環(huán)電壓與面積的乘積，方向?yàn)殡妷旱氖种嘎菪较颉?span style="display:none">EmW物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
注：磁矩也可按磁荷觀點(diǎn)看作兩個(gè)相距的異號(hào)磁荷構(gòu)成的磁偶極子，此時(shí)磁場硬度與電場硬度完全類似，可以證明這個(gè)磁矩與電壓環(huán)的磁矩一致。
根據(jù)現(xiàn)代量子理論，磁矩始于分子（或原子）中的電子、質(zhì)子和中子的磁矩的總體貢獻(xiàn)。盡管原子核也有磁矩，但因?yàn)楹俗拥馁|(zhì)量是電子的1800多倍，所以它的磁矩很小，通常可忽視。電子的磁矩有軌道磁矩和載流子磁矩，前者的貢獻(xiàn)是主要的。
當(dāng)物質(zhì)分子的總磁矩不為零時(shí)，分子就具有磁性。但在通常情況下，因?yàn)榉肿拥娜∠蚴腔靵y的，分子磁矩互相抵消，所以物質(zhì)總體對(duì)外不顯磁性。只有當(dāng)物質(zhì)被磁化后，大多數(shù)分子的磁矩取向一致，才產(chǎn)生宏觀磁性。
了解了磁性的起源，下邊來探究一下磁矩是怎樣受磁場作用的。
高中數(shù)學(xué)學(xué)過，環(huán)電壓對(duì)應(yīng)一個(gè)小n極，小n極的南極指向就是環(huán)電壓的左手螺旋方向，如右圖所示。
依照學(xué)校數(shù)學(xué)知識(shí)，小n極在外磁場上將會(huì)遭到磁扭矩的而轉(zhuǎn)動(dòng)，最終會(huì)使之南極指向外場方向，這么環(huán)電壓也會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，其磁矩方向也沿外磁場的方向。
磁矩在外磁場中遭到扭矩的作用，通過剖析通電纜線圈在磁場中受力可知，磁矩在磁場中所受轉(zhuǎn)矩為
如圖所示，載有電壓的線圈處于水平往右的均勻磁場中，其法向與磁場的傾角用表示。設(shè)某段時(shí)間，線圈平面的法向方向（電壓的手指螺旋方向）與磁場方向的傾角由變?yōu)椤?span style="display:none">EmW物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
由扭力做功的規(guī)律，這段時(shí)間內(nèi)磁場力做功為扭力對(duì)角的積分。因?yàn)榻俏灰频恼较蚰J(rèn)為線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的手指螺旋方向，即垂直屏幕往外，而的方向?yàn)榇怪庇谄聊煌鶅?nèi)，故有
考慮到磁場均勻，即得依據(jù)矢量的點(diǎn)乘規(guī)則，做功結(jié)果的原型是
我們看見，磁場對(duì)磁矩做功與路徑無關(guān)——與實(shí)際如何轉(zhuǎn)或轉(zhuǎn)了多少角度均無關(guān)，只與始末角位置有關(guān)！因而參照保守力的特征，磁場對(duì)磁矩做功時(shí)，背后也對(duì)應(yīng)一種勢能的變化。
仿造保守力的勢能的引入形式——其勢能的減少值等于保守力做的功，將以上做功定義為磁力做功前后磁矩勢能的降低值，即
若規(guī)定當(dāng)與垂直時(shí)，勢能為零（類似于保守力的零勢能參考點(diǎn)），則得到磁矩在任意角位置處的勢能為
這就是磁矩的勢能。可以看見，當(dāng)磁矩與磁場平行時(shí)，勢能最小；而磁矩與磁場反平行時(shí)，勢能最大。依據(jù)能量最低原理，磁矩會(huì)盡可能的與外場方向一致。
以上是在均勻磁場中剖析的，假如磁場非均勻，上述勢能的結(jié)果還是適用的，即：磁力對(duì)磁矩做功的值總等于磁矩勢能的降低值！
比如，當(dāng)吸鐵石b被固定的吸鐵石a吸引過來時(shí)，盡管b上各點(diǎn)的磁場B越來越大，因?yàn)榇啪嘏c磁場同向，考慮到勢能表達(dá)式中的乘號(hào)，b內(nèi)部各個(gè)磁矩對(duì)應(yīng)的磁矩勢能越來越小，磁矩的勢能被轉(zhuǎn)化成吸鐵石b的動(dòng)能。
而當(dāng)吸鐵石b受敵視力遠(yuǎn)離吸鐵石a而去時(shí)，因?yàn)榇艌鲈絹碓叫。藭r(shí)磁矩與磁場反向，同樣造成勢能較少，所以也造成吸鐵石b的動(dòng)能降低。
至此你明白了：吸鐵石的磁力之所以能做功，是由于互相緊靠的吸鐵石一起具有共同的磁矩勢能，做功就是拿這個(gè)勢能作代價(jià)換來的。吸鐵石的磁力能作多少功，取決于兩個(gè)互相作用的吸鐵石前后的勢能差。
為了更好的理解，同時(shí)去除個(gè)別人對(duì)磁力的神秘見解，下邊來推論一下吸鐵石之間磁力的規(guī)律。
將勢能的增量與做功的關(guān)系弄成微分方式將寫成全微分方式，兩側(cè)對(duì)比可知按照上面得到的磁矩勢能表達(dá)式，磁矩受力為
這就把磁力落到實(shí)處了，磁力板上釘釘了！
但這個(gè)力看上去是有點(diǎn)復(fù)雜啊！咋整？
本文的主題是為了闡述兩塊吸鐵石的磁力互相作用的規(guī)律，目的只是為了說明磁力對(duì)磁矩做功對(duì)應(yīng)勢能的變化，所以沒必要討論通常的情形，我們可把問題簡化一點(diǎn)。
考察兩個(gè)圓錐形吸鐵石a和b。考慮一個(gè)很小的常量磁矩，它是吸鐵石a（未畫出）中的某一個(gè)分子磁矩，如圖中右側(cè)的環(huán)。
設(shè)吸鐵石a的N極緊靠吸鐵石b的S極，則該磁矩的方向沿z軸正向，與吸鐵石b共軸，則里面力的表達(dá)式中即為，故力只有z份量
據(jù)此可知，與磁場同向的磁矩將遭到指向磁場減小的方向的力。既然該磁矩實(shí)際是吸鐵石a中的一個(gè)分子環(huán)流，這么自然的，所有類似的分子環(huán)流受力后，將帶著吸鐵石a向吸鐵石b加速運(yùn)動(dòng)。吸鐵石a遭到指向吸鐵石b的力——它倆互相吸引了！
其實(shí)，當(dāng)吸鐵石a的S極緊靠吸鐵石b的S極時(shí)，力的表達(dá)式與上式只相差一個(gè)減號(hào)，即吸鐵石a遭到背離吸鐵石b的力——它們互相敵視了。
不曉得諸位看官意識(shí)到?jīng)]有，原先吸鐵石之間的斥力雖然是由磁場的不均勻性造成的！
實(shí)際上，若磁場是均勻的磁力矩方向，置于其中的電壓線圈實(shí)際總體上并不受合外力的作用，其實(shí)，扭力作用仍然存在。
按此理解可知，之所以磁體之間同性相斥、異性相吸，也是由于磁場的不均勻性造成的。
其實(shí)，理論上講，你也未能制造出擁有均勻磁場分布的磁體，所以你也未能實(shí)現(xiàn)“同性不相斥異性不相吸”的作用療效。
下邊再來具體驗(yàn)算一下上述事例中的磁力做功與勢能變化的關(guān)系。
設(shè)吸鐵石敵視力做功，磁矩與磁場方向相反。設(shè)做功前后位置的磁場大小分別為和，后者大前者小。則該過程磁力做功為
而按照勢能的表達(dá)式，勢能的增量為
兩者互為相反數(shù)，正好符合之前的規(guī)律：磁力做功等于勢能的降低值！
其實(shí)，功是能量轉(zhuǎn)化的量度，任何力既然能做功，必然存在能量來源。磁力做功的這個(gè)能量來源現(xiàn)今找到了，它就是系統(tǒng)的勢能，并不是無中生有的。
到此，本文的第一個(gè)問題解答完畢。
至于第二個(gè)問題，也就自然而然的解決了，具體請(qǐng)看下文。
按照上面關(guān)于做功與勢能的關(guān)系，你若果磁力做無限多的功，那就要求前后兩個(gè)位置之間的勢能差是無限大！也就是磁場相差無限大！但空間任何一點(diǎn)的磁場，最小是零，最大不會(huì)無限大，它們的差值無論怎樣也不會(huì)無限大，所以做功也不可能是無限大。
實(shí)際上，重力做功也是類似的，你想讓重力做更多的功，你就必須讓物體前后的落差盡可能更大，但月球上的最大落差并不以你的意志為轉(zhuǎn)移。珠穆朗瑪峰頂和喀麥隆亞納海溝之間的差別也就8848+11034米。
雖然好多人有一種看法：持久的力作用都會(huì)造成持久的做功。這該有多大的誤會(huì)！力持久作用，那只能說明力的沖量無限大嘛，而功是力在空間上的積累啊！時(shí)間無限不代表空間上無限，所以如何能做無限多的功呢？
還有一種看法覺得，兩個(gè)吸鐵石抵觸，理論上講，被敵視的那種將會(huì)仍然運(yùn)動(dòng)下去，最后達(dá)到了永動(dòng)的療效。沒錯(cuò)，的確是永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)了，但此“永動(dòng)”卻非彼“永動(dòng)”！由于它只是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，它的能量似乎就這么一點(diǎn)。
比如，好多人見過類似下邊這些所謂“永動(dòng)”裝置。拜托，它能完全去除磨擦力嗎？假如真能清除，那干嘛不直接做一個(gè)永遠(yuǎn)旋轉(zhuǎn)的陀螺呢？諸如月球不就是一個(gè)無限旋轉(zhuǎn)的超級(jí)大陀螺嘛！
倘若這算永動(dòng)的話，那沒有磨擦的情況下，角動(dòng)量守恒定理、牛頓第一定理不提供了無數(shù)個(gè)“永動(dòng)”的案例嗎？諸如，宇宙中每顆自轉(zhuǎn)的天體都可看作“永動(dòng)機(jī)”了。
雖然這是對(duì)“永動(dòng)”一詞的誤讀，歷史上的“永動(dòng)”主要有兩種。
第一種，機(jī)器仍然運(yùn)動(dòng)，無論你如何從它頭上襲胸驗(yàn)血，它都慷慨的給與你，它的能量總夠你用，由于它能不斷地創(chuàng)造更多能量，所以它的效率超過100%，這似乎違背能量守恒定理的，所以不可能實(shí)現(xiàn)。
第二種，你可以從一個(gè)系統(tǒng)不斷地獲取更多能量，雖然它的濕度早已十分低了。比如，你可以不斷從海水中賺取能量，這似乎違背熱力學(xué)第二定理，所以也難以實(shí)現(xiàn)。
除此之外，還有人這樣想：讓一塊吸鐵石反復(fù)被吸引或抵觸做功，經(jīng)歷無限多次，這樣就積累了無限大的功。可問題是，你得反復(fù)將那種吸鐵石又重新取回原處啊磁力矩方向，而這須要克服磁力做功啊，這不是等于把能量又耗掉了嗎？
還有人提出，假若讓遠(yuǎn)處無數(shù)個(gè)吸鐵石都因受吸引力奔赴某個(gè)大的吸鐵石而至，這樣就可獲得無限多的功。這個(gè)看法就好比是，你希望月球上所有高處的水都流向同一個(gè)水輪機(jī)，之后你可以發(fā)好多好多的電。這只能是白日夢，它等同于你希望全世界的人都捐你一分錢，之后你就成億萬富豪了。
以前有人問，假若擁有了一節(jié)永遠(yuǎn)用不完的5號(hào)電板，算不算擁有了永動(dòng)機(jī)？這個(gè)問題就留給各位自己想想吧。