研究滾動(dòng)球體的學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)和理論熱力學(xué)有很多問題。 滾球與地面之間存在純滾動(dòng)、“滾滑”等不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，有多種摩擦力，如靜摩擦力、滑動(dòng)摩擦力、靜滾動(dòng)摩擦力矩和動(dòng)滾動(dòng)摩擦力矩[1]。 為了更好地理解摩擦力與小球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的關(guān)系，本文建立了統(tǒng)一的摩擦力物理模型，并利用軟件對(duì)“拉小球”問題進(jìn)行了仿真分析。
1 摩擦的物理模型
摩擦力的物理表達(dá)式為
f的方向與相對(duì)速度或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反，其大小與正壓力N成反比。摩擦素?cái)?shù)μ可分解為兩部分的乘積
其中 |μd| 表示動(dòng)摩擦素?cái)?shù)的大小，ε表示摩擦力的方向和實(shí)際摩擦素?cái)?shù)與動(dòng)摩擦素?cái)?shù)的偏離程度。 一般來說，靜摩擦的質(zhì)數(shù)μs大于動(dòng)摩擦的質(zhì)數(shù)μd，例如鑄鐵與鑄鐵之間μs≈6μd，銅與低碳鋼之間μs≈1.47μd
為了便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行積分和微分運(yùn)算，可以構(gòu)造ε對(duì)相對(duì)速度vr的解析函數(shù)，使其圖像滿足圖1。當(dāng)vr較大時(shí)，不對(duì)摩擦素?cái)?shù)進(jìn)行修正，即符號(hào)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向一致。 當(dāng) vr 較小且接近靜止時(shí)，摩擦素?cái)?shù)需要修正值，如圖 1 中的峰值所示。
這個(gè)解析函數(shù)可以用下面的方式表示（方式不唯一）
第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)滑動(dòng)摩擦素?cái)?shù)，第二項(xiàng)是修正項(xiàng)。 實(shí)際上，在用計(jì)算機(jī)求解問題時(shí)，只有取較大的K值才能得到滿意的結(jié)果。所以在下面，這個(gè)解析函數(shù)寫成
(3)
滾動(dòng)摩擦阻力均勻的時(shí)刻是由于球與地面不是理想的質(zhì)心，發(fā)生彈性變形。 鉛垂約束力系統(tǒng)的作用點(diǎn)與理想位置的偏差形成了滾動(dòng)摩擦阻力的均勻力矩[1, 2]。類似于滑動(dòng)摩擦和靜摩擦，也可以構(gòu)造無量綱系數(shù)εr(ω)為統(tǒng)一描述，類似公式（1）（2）（3）
其中 μr 是寬度維度的系數(shù)。
2 具體問題及解決方案 2.1 攜帶動(dòng)物積木
問題描述：如圖2所示，方塊初始靜止，F(xiàn)從0開始線性減小，銅與低碳鋼的距離μs=0.53，μd=0.36，分析方塊運(yùn)動(dòng)
木塊受到外力F和摩擦力f，根據(jù)牛頓第二定理和式（1）、式（2），有如下微分方程
它的數(shù)值解[3]可以用它來求解。 加速度與外力的關(guān)系如圖3所示，圖中的數(shù)學(xué)量已經(jīng)過無量綱化處理。
從圖中可以看出，隨著外力的減小，木塊最初是靜止不動(dòng)的。 當(dāng)外力恰好等于最大靜摩擦力時(shí)，加速度突然發(fā)生變化，物體開始滑動(dòng)。 可以看出，估計(jì)的結(jié)果與實(shí)際的化學(xué)過程是一致的。
2.2 運(yùn)球
問題描述：如圖4所示，木塊初始靜止，F(xiàn)從0開始線性下降，t1時(shí)刻外力去除。
以圖4中箭頭方向?yàn)檎较颍鶕?jù)牛頓第二定理和旋轉(zhuǎn)定律[4]，可得
注意，相對(duì)速度是球體表面與地面的相對(duì)速度
球體繞剛體的旋轉(zhuǎn)力矩為
將方程（1）（2）（4）（5）（9）（10）代入方程（8），可得關(guān)于v和ω的二元一階微分方程組
其數(shù)值解可采用該方法求解，參考相平面表示法[5]，以（角）速度為縱軸，以（角）加速度為橫軸，使得可以觀察到整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，如圖5所示。
為便于比較，去掉式（3）和式（6）的第二項(xiàng)滾動(dòng)摩擦?xí)r摩擦力的方向，即認(rèn)為靜摩擦和動(dòng)摩擦相等，μs=μd，μrs=μrd，得到運(yùn)動(dòng)相位圖，如圖6所示。
3 討論
圖 5 和圖 6 所示的球面運(yùn)動(dòng)的相位軌跡都圍繞著一個(gè)閉合圖形，代表了從靜止到運(yùn)動(dòng)再回到靜止的整個(gè)過程。 垂直軸兩側(cè)的軌跡代表加速度段，其中施加線性減小的外力F。 縱軸兩側(cè)的軌跡代表減速段，沒有施加外力F。 關(guān)注圖 5 中段落的數(shù)學(xué)意義。
(1)OA段：小球靜止。由于外力F小，由靜摩擦力fs清河滾動(dòng)摩擦力Mrs平衡
(2)A點(diǎn)：變?yōu)榧儩L動(dòng)(a=βr)，摩擦力仍為靜摩擦力fs。 外力F和靜摩擦力fs產(chǎn)生的扭矩克服了靜滾動(dòng)阻力Mrs，靜滾動(dòng)摩擦Mrs變?yōu)閯?dòng)滾動(dòng)摩擦Mrd滾動(dòng)摩擦?xí)r摩擦力的方向，球突然滾動(dòng)起來。
(3)AB段：保持純滾動(dòng)(a=βr)，摩擦力仍為靜摩擦力fs。 隨著外力F的減小，加速度a和角加速度β減小。
(4)B點(diǎn)：變?yōu)椤皾L動(dòng)打滑”(a>βr)，摩擦力變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦力fd。 外力F過大，使靜摩擦fs變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦fd，因?yàn)閒d<fs，剛體加速度突然減小，角加速度突然減小。
(5)BC段：保持“滾滑”(a>βr)。
隨著外力F的減小，加速度a減小，角加速度β不變，因?yàn)榛瑒?dòng)摩擦力fd和動(dòng)滾動(dòng)阻力Mrd不變。
(6) C點(diǎn)：保持“滾滑”(a≠βr)。
在C處撤去外力后，加速度a反之，由滑動(dòng)摩擦力fd唯一確定。 角加速度β是恒定的，因?yàn)榛瑒?dòng)摩擦力fd和動(dòng)態(tài)滾動(dòng)阻力Mrd是恒定的。
(7)CD段：保持“滾動(dòng)和打滑”(a<βr)。 加速度保持C點(diǎn)結(jié)束時(shí)的狀態(tài)，直到D點(diǎn)。
(8) D點(diǎn)：轉(zhuǎn)化為純滾動(dòng)(a=βr)，滿足v=ωr，滑動(dòng)摩擦力fd轉(zhuǎn)化為靜摩擦力fs，fs和Mrd共同決定剛體加速度a。
(9)DO段：保持純滾動(dòng)(a=βr)，不斷減速，直至最終停止。
值得注意的是，圖中實(shí)線重疊的過程是“純滾動(dòng)”，實(shí)線分開的過程是“滾動(dòng)滑動(dòng)”。
對(duì)比圖5和圖6可以發(fā)現(xiàn)，如果假設(shè)靜摩擦力等于動(dòng)摩擦力，μs=μd，μrs=μrd，分析結(jié)果會(huì)有很大偏差。
4個(gè)推論
本文建立了摩擦的物理模型，并利用軟件對(duì)具體問題進(jìn)行了仿真分析。
(1)借助無量綱系數(shù)ε(vr)εr(ω)構(gòu)造摩擦力和滾動(dòng)摩擦力的統(tǒng)一表達(dá)式，見式(3)(6)，進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真分析。
(2) 開球問題分為4個(gè)節(jié)點(diǎn)和5個(gè)階段的過程。 每個(gè)節(jié)點(diǎn)的加速度都會(huì)有突變，每個(gè)過程都有明確的數(shù)學(xué)意義。
(3) 該物理模型可用于教學(xué)驗(yàn)證理論分析的正確性。
參考
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[5]程鵬． 手動(dòng)控制原理[M]． 上海：高等教育出版社，2010：229-236.
作者簡(jiǎn)介：王雯雯，女，院長(zhǎng)，主要從事化學(xué)教學(xué)與科研工作，研究方向?yàn)楣δ鼙∧げ牧吓c元器件。
引用格式：李文濤，李文博，王文文。 基于對(duì)球面摩擦的深入認(rèn)識(shí)[J]. 化學(xué)與工程, 2020, 30(5): 72-75.
結(jié)尾