高中奧林匹克物理競賽解題方法4.等效法簡介在某些物理問題中，一個過程的發展和一種狀態的確定往往是由多個因素共同決定的。在這種確定中，如果某些因素所起的作用和其他因素所起的作用相同，那么前一個因素和后一個因素就是等效的，它們可以互相替代，而不影響過程發展或狀態確定的最后結果。這種基于等效性用某些因素互相替代來研究問題的方法就是等效法。等效思維的本質就是把比較復雜的實際問題，在同樣的效果下，轉化為簡單熟悉的問題，從而突出主要因素，抓住其本質，找出其中的規律。因此，在應用等效法時，常常用較簡單的因素來代替較復雜的因素，這樣就可以使問題簡化，容易求解。例1：如圖4-1所示，水平面上有兩面垂直光滑壁面A、B，兩壁面相距d。一小球以初速度v0從兩壁之間O點向上拋出，與A、B發生彈性碰撞后，落回拋出點，求小球的投射角θ。 分析：彈性小球在兩壁之間的反彈運動可以等效為完整的斜投射運動（見圖）。所以解斜投射運動即可得解。由題意可得： 投射角可解 例二：質點從A到B作直線運動，A、B兩點距離為L。已知質點在A點的速度為v0，加速度為a。若將L分成n等段，則質點每經過L/n的距離，質點的加速度就增加a/n。求質點到達B時的速度。
分析：從A到B的整個運動過程中，由于加速度是勻速增加的，所以此運動為非勻速加速直線運動。非勻速加速直線運動不能用勻速加速直線運動公式求解，但如果能用等效的勻速加速直線運動代替，則此運動可求解。由于加速度隨行進距離的增加而勻速增加，所以由勻速加速運動的導出公式可求得此運動中的平均加速度。例3：一只老鼠沿直線從老鼠洞里爬出來。已知爬行速度的大小與離老鼠洞中心的距離s成反比。當老鼠到達離老鼠洞中心s1=1m的A點時，其速度的大小為。當老鼠到達離老鼠洞中心s2=2m的B點時，其速度的大小為。老鼠從A點到B點到達B點所花的時間為t=？分析：我們知道，汽車在恒功率行駛時，它的速度v和牽引力F成反比，即v=P/F。因此，老鼠的運動可以等效為一根彈簧在恒功率的外力牽引下的運動。由此分析可寫出，代入上式求解，得老鼠到達B點時的速度。再根據外力所作的功，等于這個等效彈簧的彈性勢能的增加量。代入有關量可得，這道題也可以用鏡像法、類比法求解。例4如圖4-2所示，鉛丸內有一個半徑為r的球形空腔，其表面與球面相切。鉛彈的質量為M，在鉛彈中心與空腔中心的連線上，距鉛彈中心距離為L處有一質量為m的小球（可看作點質量），求鉛彈對小球所受的引力。
分析：由于鉛球內部有空腔，不能等效于球心的一個質點。我們設想在鉛球的空腔內填入一個與鉛球密度相同的小鉛球△M，再在小球m對稱的另一側放置另一個一模一樣的小鉛球△M。這樣，兩個相加的小鉛球對小球m的引力就可以抵消，空腔鉛球就變成了實心鉛球，其結果等效。有空腔的鉛球對m的引力，等效于實心鉛球和另一側△M對m的引力之和。設空腔鉛球對m的引力為F，實心鉛球和△M對m的引力分別為F1和F2。則F=F1－F2①經計算可知：，故 ②③將②和③代入①，解得腔體鉛球對小球的重力。 例5如圖4-3所示，小球在長度為L的光滑斜面上方自由滑動，當它滑至下方時與擋板相撞，并向反方向反彈。設每次與擋板碰撞后的速度為碰撞前的速度，計算小球從開始滑行到最后停在斜面下方所經過的總距離。 分析 小球碰撞擋板后的速度小于碰撞前的速度，說明在碰撞過程中有能量損失，每次反彈的距離都小于上一次，小球一步步向擋板接近，最后停在擋板處。我們可以分別計算出每次碰撞的距離L1，L2，…，Ln，那么小球運動的總距離為，然后用等比級數求和公式求出結果，但這種解法很麻煩。我們假設小球在與擋板碰撞時不損失能量，原來損失的能量就看作是小球運動過程中克服阻力所做的功。最后的結果是一樣的。由于阻力在整個運動過程中都是存在的，所以可以利用摩擦所做的功來計算距離。
設小球在第一次碰撞前后的速度分別為和，碰撞后反彈的距離為L1，則碰撞中損失的動能為。根據等效性可得等效摩擦力。通過此結果可知，等效摩擦力與滑道長度無關，所以在以后的運動過程中，等效摩擦力都是相同的。以整個運動作為研究過程，求解小球所行進的總距離。本題也可以用遞歸的方法求解，讀者可以試一試。例六如圖4-4所示，一只小球被兩根等長的輕質細導線懸掛著。設已知L和，當小球垂直于紙張時，它的周期為。分析本題為雙線擺，我們知道單擺的周期，若雙線擺的長度相當于單擺的長度，便可算出雙線擺的周期。把雙線擺的長度等效于單擺的長度，則這個雙線擺的周期為 例8 如圖4-5所示，由一根長度為L的剛性輕桿，桿端裝有小球組成的單擺，做振幅很小的自由振動，若在桿的中點固定另一相同的小球，則該單擺就變成了異形復擺。求該復擺的振動周期。 解析復擺的物理模型屬于大學普通物理的內容，由于中學階段知識水平所限，不能直接求解，如果能進行等效操作，將其轉化為中學生熟悉的單擺模型，那么求解周期就會變得簡便易行。設想有一個長度為L0的輔助單擺，它的周期和原復擺相同。兩擺以擺角從靜止開始擺動，當它們擺到與垂直方向成一定角度時貝語網校，它們有相同的角速度，對兩擺應用機械能守恒定律，于是得到 對于單擺，我們把兩個方程的解結合起來，便得到原復擺的周期。舉例來說，9 一根厚度均勻的U形管，內盛某種液體，開始靜止在水平面上，如圖4-6所示。已知：L=10cm。當此U形管以4m/s2的加速度向右水平運動時，求兩垂直管內液面的高度差。
（g=10m/s2） 分析：當U型管加速向右運動時，可以把液體看作放在一個等效重力場中， 的方向為等效重力場的垂直方向，此時兩邊的液面應該與等效重力場的水平方向平行，也就是垂直于 的方向。設 的方向與g方向的夾角為 ，那么從圖4-6可以看出，液面與水平方向的夾角為 ，所以， 例10：垂直放置一光滑絕緣的圓形軌道，半徑為R，在其最低點A處放置一個質量為m的帶電小球。整個空間中有均勻電場，使小球受到大小為 、方向水平向右的電場力。現給小球一個水平向右的初速度，使小球沿軌道向上運動。若小球剛好能做完整的圓周運動，求。分析：小球同時受到重力和電場力的作用，此時也可以認為小球處在一個等效重力場中。小球所受的等效重力是等效重力加速度與垂直方向的夾角，如圖4-7A所示。所以B點是等效重力場中軌道的最高點，如圖4-7所示。根據題意，小球剛好能做完整的圓周運動。利用等效重力場中機械能守恒定律，將小球運動到B點時的速度代入上式，可得解為小球的初速度。例如，11空間中某一體積為V區域內的平均電場強度（E）定義如圖4-8所示。現在有一個半徑為a的金屬小球，原來不帶電，現在把它放在一個帶電荷為q的點電荷的電場中。點電荷位于金屬球外側，距球心距離為R，試計算此球內金屬球表面感應電荷產生的電場的平均電場強度。
分析金屬球表面感應電荷在金屬球內部產生的電場。由靜電平衡知識知道，金屬球內部一個電荷為q的點電荷產生的電場大小相等，方向相反。因此，求金屬球表面感應電荷產生的電場相當于求金屬球內部點電荷q產生的電場。根據平均電場強度公式，設金屬球帶電荷q，密度為，則帶電球在q點產生的場強為，故方向從O至q。例11 一個質量為m的小球，帶電量為Q，在場強為E的水平均勻電場中，獲得垂直向上的初速度為。若忽略空氣阻力和重力加速度g隨高度的變化，求小球運動過程中的最小速度。分析：若將電場力Eq與重力mg合為一個力，則小球相當于只受到一個力的作用。由于小球的初速度與所受的合外力成鈍角，因此小球的運動可以看作在等效重力（即合外力）作用下的斜拋運動。做斜拋運動的物體，當其速度方向垂直于垂直方向時，其速度最小，這是斜拋運動的最高點。可見，用這種等效方法可以快速得到結果。電場力與重力的合力方向如圖4-9所示。從圖中幾何關系可以看出，小球從O點拋出后，沿y方向做勻速減速直線運動，沿x軸方向做勻速直線運動。當y軸方向的速度為零時，小球只在x軸方向有速度，此時小球的速度最小。因此，這道題也可以用向量三角形求極值的方法來解決，讀者可自行解答。
例十二如圖4-10所示，R1、R2、R3為固定電阻，但阻值未知，Rx為電阻箱，當Rx為時，通過它的電流為，當為時，求電阻值。電源電動勢、內阻r以及電阻R1、R2、R3均為未知量。根據題目給出的電路模型，方程個數顯然少于未知量個數，因此可以采用改變電路結構的方法。將圖4-10所示虛線框內的電路看作一個新的電源，其等效電路如圖4-10 A所示。該電源電動勢為，內阻為。根據電工知識，新電路不改變Rx與Ix的對應關系，且有 ① ②③ 由①和②可得，代入③可得 例13 圖4-11所示的兩個電阻電路A、B具有這樣的特點：對任意電阻RAB、RBC和RCA，均可確定相應的電阻Ra、Rb和Rc。因此在對應點A與a，B與b，C與c處的電位相同，流過相應點（如A與a）的電流也相同。利用這些條件，證明：，并證明對于Rb和Rc也得到類似的結果。 利用以上結果求圖4-11中P、Q點間的電阻值 A. 分析：圖4-11中A、B兩個電路的連接方式分別稱為三角形連接和星形連接。只有當兩電路任意兩對應點間的總電阻相等時，兩電路才能等效，對應點A、a、B、b與C、c才有等電位。由Rab=RAB，Rac=RAC，Rbc=RBC可知，對于ab有①。同理，對于ac和bc有②③。將①+②－③相加可得：再經①－②＋③和③+②－①，整理可得Rb與RC的表達式。
接下來我們利用上面的結果計算圖 4-12B 中 P 點、Q 點之間的電阻。用星型連接法代替三角形連接法，可以得到如圖 4-12B 所示的電路。PRQS 回路為平衡的惠斯通電橋，因此 RS 之間沒有電流，因此等效于圖 4-12C 所示的電路。因此將這三個并聯電阻相加即可得到 PQ 之間的總電阻 RPQ。例 14如圖 4-13 所示，將一個矩形金屬線框 abcd 放置在磁感應強度為 B=0.6T 的均勻磁場中。框架平面垂直于磁感應強度方向，其中 ab 和 bc 各為一段均勻電阻導線 Rab=5Ω，Rbc=3Ω，線框其余部分的電阻可忽略不計。現設導體EF放在ab與cd邊上，其有效長度L=0.5m，且垂直于ab，其電阻為REF=1Ω，讓它從金屬框端部ad以勻速V=10m/s向右滑動。當EF滑過ab長度的4/5時，從aE端部流過的電流為多少？分析當EF向右移動時，就會產生感應電動勢。當EF滑過ab長度時，電路圖可等效為圖4-13a所示的電路。根據題目，可計算出EF產生的感應電動勢。此時電源內阻為導體EF的電阻，所以電路中總電阻為 電路中總電流為 ∴通過aE的電流為15 例如有一塊薄平凹透鏡，其凹面半徑為0.5m，玻璃折射率為1.5，平面上鍍有反射層，如圖4-14所示，在此系統的左主軸上放置一物體S，S距系統為1。
5m，S的像在哪里？ 分析：這道題可以等效為物點S先經薄平凹透鏡成像，它的像就是平面鏡的物體，經平面鏡成像的像就是薄平凹透鏡成像的物體，根據成像定律，可以逐一計算出最后像的位置。 根據以上分析，先考慮物體S經平凹透鏡成像，根據公式，在左邊成像，為虛像，該虛像經平凹透鏡成像后，它的像距就是在右邊成像，為虛像。 再經平凹透鏡成像，在系統右邊0.375m處成像。 這道題也可以用假設法求解。 針對性訓練 1、一個半徑為R的金屬球與地面相連。如圖 4-15 所示，在距球心 L 處有一點電荷，其電荷為+q。求（1）球上感應電荷的總電荷量；（2）q 上所受的庫侖力。 2. 如圖 4-16 所示，設 ，求 AB 間的電阻。 3. 電路如圖 4-17 所示，當 時，求 AB 間的等效電阻。 4. 有 9 個電阻器連接在一起形成圖 4-18 所示的電路，圖中數字的單位為 ，求 PQ 點間的等效電阻。 5. 對于圖 4-19 所示的電路，求 AB 點間的等效電阻。 6. 對于圖 4-20 所示由 5 個電阻器組成的網絡，求 AB 點間的等效電阻。 7. 由 7 個阻值均等于 r 的電阻器組成的網絡元件如圖 4-21a 所示。將這些網元連接起來所構成的無限大梯形網絡如圖 4-21b 所示。求 P 點、Q 點間的等效電阻。 8.圖 4-22 給出了一束交流電隨時間變化的圖像，此交流電的有效值為（ ）ABCD 9.磁流體動力發電機的原理圖如圖 4-23 所示。橫截面積為正方形的管道，長度為 L高中物理等效半徑，寬度為 a，高度為 b，上下兩邊為絕緣體，距離為 a 的兩邊為電阻可忽略的導體，這兩根導體邊接負載電阻 RL。
將整個管道置于均勻磁場中，磁感應強度的大小為B，方向垂直于上下且向上。已有的電離氣體（帶正負電的粒子）連續穩定地流過管道。為簡化問題，假定截面上各點的流速相同。已知流速與電離氣體上的壓強成正比；而不管有無磁場，管道兩端電離氣體的壓強差都維持在p。設無磁場時電離氣體的流速為。求有磁場時流體發生器的電動勢的大小。已知電離氣體的平均電阻率為。10.一個均勻的細導線環，總電阻為R，半徑為a，內充滿垂直于環面的均勻磁場。磁場隨時間以速率K均勻增大，環上A、D、C點位置對稱。電流表G連接A、C點，如圖4-24所示。設電流表內阻為RG，求通過電流表的電流大小。 11、一個方線框abcd固定在均勻磁場中，每條邊為L1。其中，ab為一端電阻為R的均勻電阻絲，另三邊為電阻可忽略的銅絲。磁場的磁感應強度為B，方向垂直于紙面且向內。現有一根與ab段材質、厚度、長度相同的電阻絲PQ，裝在線框上，如圖4-25所示。它以恒定的速度從ad滑向bc，當PQ滑過1/3L的距離時，通過aP段電阻絲的電流為多少？方向是什么? 12、如圖4-26所示，沿x軸放置一塊細長的導體板，板面處于水平位置，板的寬度為L，電阻可忽略不計，它是一根圓弧形均勻導線，它的電阻為3R，圓弧所在平面垂直于x軸，圓弧的兩端a、d分別與導體板的兩個側面相連并能在導體板的上面滑動。
圓弧ae=eb=cf=fd=（1/8）圓周長，圓弧bc=（1/4）圓周長，一只內阻為Rg=nR的很小的電壓表位于圓弧的中心O處，電壓表兩端用電阻可忽略的直導線分別與b、c點相連。整個裝置處于磁感應強度為B、方向垂直向上的均勻磁場中。當導體板靜止，圓弧導線和電壓表沿x軸以恒定速度v運動時，（1）計算電壓表的讀數；（2）計算e、f點間的電位差（Ue-Rf）。 13、如圖4-27所示高中物理等效半徑，一根長度為2πa，電阻為r的均勻細導線首尾相連，組成一個半徑為a的圓。現把電阻為R的電壓表和電阻可忽略的導線分別接在如圖a、b所示的圓上的兩點上，這兩點間的圓弧與圓心的夾角為θ。設有一個沿垂直于圓平面的方向均勻變化的均勻磁場，已知磁感應強度的變化率為k，則a、b兩種情況下電壓表的讀數是多少？ 14、平凸透鏡的焦距為f，其平面鍍有銀。現把一個高度為H的物體垂直于主軸放置在距透鏡凸面2f處，其下端位于透鏡主軸上，如圖4-