試卷第1頁，共8頁 高中物理競賽電磁學專項練習20題（附答案及詳解） 一、回答問題 1、如圖所示，在一根直長螺旋管中間設一個由導線組成的環，環的軸線與螺旋管的軸線重合。環由兩個阻值不同的半圓環組成，它們的阻值R1、R2未知。在兩個半圓環A、B連接處接三塊純電阻電壓表，導線AVB沿環直徑準確放置，在螺旋管兩側放置0A V1 B和A V2 B，長度任意。當交流電通過螺旋管時，發現V0和V的讀數分別為5V和10V。 問：V的讀數是多少？ 這里忽略螺旋管外的磁場和電路的電感。 2、在圖1、2、3所示的無限長的直載流導線中，若電流I隨時間t變化，則其周圍空間的磁場B也將隨t變化，從而激發出感應電場E。在載流導線附近的空間區域，B隨t的變化，乃至E隨t的變化，都可以近似地看作與I隨時間t的變化同步。而在距離載流導線足夠遠的空間區域，B和E隨t的變化將滯后于I隨t的變化。考慮到電磁場變化的傳播速度是光速，即使標題圖中討論的空間區域的維度很大，即若將其建模為圖中趨于無窮大的x，則由于這個距離滯后于I隨t的變化而引起的B和E隨t的變化的影響實際上可以忽略不計。在此前提下，解決下面的問題（1）系統如圖1、圖2所示。令I=I(t)①通過分析，確定圖1中xOy平面上P點處感應電場強度EP三個分量EPx、EPy、EPz的零分量。②圖2中l〉l矩形框的環路方向已定，試求環路電動勢e12③設圖1中P點、Q點處感應電場強度的大小分別為EP和EQ，試求EP-EQ的值（2）由兩根無限長反向電流導體組成的系統如圖3所示。再令I=I(t)。試求P3點處感應電場強度E的方向和大小。現構造一個如圖1所示的網絡。該網絡是一個以A為原點，B的坐標為（1985，930）的無限大方網絡。現有兩個這樣的網絡AB和AB，在它們的單位長度上配置的電氣元件分別為一個電容為C的電容器和一個電感為L的線圈，網絡中的電阻可以忽略不計，將它們連接起來組成如圖2所示的電路。S為調頻信號發生器，能發出頻率為f=（0，+w）Hz的電正弦交流信號，即U=U sin（2t），U為已知常數，R為已知保護電阻S00。試求S的頻率f以及軀干電流達到最大值時的軀干峰值電流。在空間若干點處放置若干點電荷q1，q2，q3，q4，…，qn。對于點i，該點處其余n-1個點電荷的電勢和為U。若在這n個點上放置另n個點電荷q，q，q，q，…，i123q，且U，（i=1,2，…，n）ni（1）證明：xn qU，= xn q，U（n+2）iiiii=1i=1（2）利用（1）中的結論，證明真空中一對導體電容器的電容量與兩導體所帶電荷無關。（一對導體上帶相等但相反的電荷） （3）利用（1）中的結論，解決下面的問題：如圖所示，正四面體ABCD所有面均為導體，但彼此絕緣。已知四個面帶電后電勢分別為Q、Q、Q、Q，求四面體中心的電勢試卷第3頁，共8頁。有七塊相同的金屬板，面積為S，放置在真空中。除4和5號板之間的距離為2d外，其他兩塊相鄰板之間的距離均為d，且1和5、3和7用導線連接。計算：（1）由4和6號板組成的電極的電容（2）若在4和6之間施加電壓U，求每塊板上所受的作用力。6.如圖所示，由一塊圓形平行金屬板構成一個電容器，金屬板的半徑為R，它們之間的距離為d。兩塊金屬板的中平面（即平行于兩板且平分兩板之間面積的平面）上有一個點P。 P到兩中心O的距離為R+r（r0）R。已知極板的表面電荷密度為，且Rrd，求P點電場的大小。EP7.一個環形鐵芯上繞有N匝絕緣導線，導線兩端接有電動勢為c的交流電源。環形鐵芯上放有一個均勻的細環，其電阻為R，自感可忽略不計，細環上a、b點間環（劣弧）的長度為細環長度的1/1。在a、b點接一個電阻為r的交流電流表G。接法有兩種，分別如圖1和圖2所示。試算用這兩種方式計算通過G的電流。試卷第4頁，共8頁8.有一個平面方形無限大帶電網絡。每個網格的邊長為r，線電荷密度為λ（λ 0）。有一個帶電荷為Q（Q 0），質量為m的粒子，恰好位于某個網格的中心，若沿某一方向擾動它，它將移動d，dr。試計算它所受電場力的大小，并描述它隨后的運動。（提示：可能的公式=1+ + + +）。（1）一維電磁駐波E(x) = Asin(kx)在x方向上被限制在x = 0和x = a之間。二x(2)弦理論認為物理空間不止三維，額外隱藏維度空間像薄圓柱體表面一樣卷起來。二x(2)弦理論認為物理空間不止三維，額外隱藏維度空間像薄圓柱體表面一樣卷起來，如圖中y坐標所示。設圓柱體半徑為b(a)。電磁波在圓柱表面的形式為E(x,y)=Asin(kx)cos(ky)，式中y為圓柱周圍折疊空間的坐標。求k的可能值。xyy(3)光子能量W=hc·k2+k2，式中hc=1239(eV·nm)，eV代表1電子伏特，2πxy1nm等于109m。人類目前能產生的最高能量光子約為1。
0×。如果這個能量能產生折疊空間的光子，那么b的值滿足什么條件？ 10、圖1所示的二極管電路中，從A端輸入圖2所示波形的電壓，如果電容最初不充電，試畫出三個周期內B、D點電壓的變化情況。如果把三極管看作一個理想開關，那么B點電壓的極限是多少？ 試卷第5頁，共8頁 11、理想非門可以看作一個受控電壓源：當輸入電壓小于U=6V時，輸出端相當于C與地線之間的一個理想電壓源，電源電壓為U=12V；當輸入電壓大于U時，輸出端相當于C與地線之間的短路。等效電路圖如圖1所示。不同非門中的接地點可以看作同一點。我們可以利用非門、電容和電阻制作一個輸出方波信號的多諧振蕩器。給出圖2電路中U與時間的關系。02提示：對于圖3中的RC電路貝語網校，從電路接通的那一刻起，電容上的電壓隨時間的變化為U(t)=U(1e tRC)012。如圖所示，在一圓形區域（足夠大）內，有一個垂直于紙面、向內的磁場B=k，該磁場隨時間均勻增大。在距圓心O d的位置P處有一顆釘子，釘在一根長度為l、質量為mt的均勻絕緣桿的中心。絕緣桿可以在平面內自由旋轉，不受摩擦。絕緣棒上半部分均勻帶正電，電荷數為Q，下半部分均勻帶負電，電荷數為Q。初始時刻，絕緣棒垂直于OP試卷第6頁，共8頁 (1)計算P點處釘子所受的壓力 (2)若絕緣棒受到輕微擾動，在平面內做往返轉動（速度很小，洛倫茲力可以忽略），1證明此運動為簡諧振動，并計算周期。 （絕緣桿繞質心轉動慣量為I=ml2）1213.在圖1所示的電阻網絡中，圖中每個電阻的阻值分別為r（1）求R、RABAC（2）現將網絡接入電路，如圖2所示。交流間接電感L，A、B接在角頻率為的交流電源上，現為了提高系統的功率因數，在A、B之間接一個電容C，求使得功率因數r等于1的電容C，已知L=14。兩圓形線圈分別繞制N1、N2匝，半徑分別為i、r2，設大圓的電阻為R。試求：（1）兩線圈在同軸共面位置時的互擾系數（2）在小線圈中通以恒定電流I，使它以速度v沿軸線勻速移動，始終保持二者同軸。計算兩線圈中心距離為x時，大線圈中的感生電動勢。 （3）若將小線圈由共面移至很遠的距離，計算通過大線圈的感生電荷。（忽略一切自感） 15.如圖所示，有一個兩端無限延伸的電阻網絡，設每小段電阻絲的阻值為1，求A、B間的等效電阻R是多少？（結果應四舍五入保留三位顯著數字） AB試卷 第7頁，共8頁 16.如圖a所示，電阻R=R=1k，電動勢E=6V，電路10中串聯兩個相同的二極管D，二極管D的IU特性曲線如圖b所示。計算： DD （1）通過二極管D的電流； （2）電阻R1消耗的功率。17如圖A所示，兩臺發電機并聯運行，共同向負載供電，負載電阻為R=24。由于某種原因，兩臺發電機的電動勢不同，=130V，r=1，=117V，112r=0。
6、求各發電機中的電流和它們發出的功率。 218、圖1所示無限旋轉內接方導線網絡，是由一根厚度和材質均勻的導線構成的，其中每個內接方導線的頂點分別在最外邊方導線四條邊的中點。已知與最外邊方導線邊長相同的導線AB的電阻為R。求網絡中（1）A、C兩端之間的等效電阻R；（2）A、C兩端之間的等效電阻R。 EC試卷第8頁，共8頁19.如圖所示為正四面體框形電阻網絡，其中各小段的電阻為R。試求：（1）AB之間的電阻；（2）CD之間的電阻。 20、如圖所示的網絡中，我們只知道某些支路上的電流值及方向，某些元件參數及支路交叉口的電位值（相關數值及參數已在圖A上標注出來）。請利用給出的相關數值及參數，計算出含有電阻R的支路上的電流值I及其方向。 xx 答案 第1頁，共30頁 參考答案 1. U = 20V 或0. V2 【解析】 【詳細解釋】 因為螺線管內有交流電，所以電路中產生的電動勢也是交變的，但可以僅限于某一時刻感應電動勢、電壓、電流的瞬時值。這是因為在沒有電感和電容的情況下，各量的有效值之間的關系和瞬時值之間的關系是一樣的。 （1）當R等于R，取UU時，電路中電流如圖所示，則 12ABI R + IR - c0 = 0, IR + I,R - c 0 = 0, 0 V01 120 R - IR + c 0 = 0, IR - I,R + c 0 = 0. 0 V02 220 重新排列后可得c0 = IR + I,R = I,R - IR。 20 V0 所以，U = I,R = 2IR + I,R = （2）當RR時，取U為U，I取反，其它保持不變，則c0 = I,R - IR = I,R + IR V0 所以，U = I,R = I,R - 2IR = 0（此時R = 0，即R段為超導體，R４0） 綜上所述，U = 20V 或0V22。 （1）①EPz = 0 ②c = l0π1 (|( ))|ln x l2③EP - EQ = (|( ))|ln x l2(2)EP(x)= (|())|ln dx ，參考方向取與y軸相反方向 【解析】 【詳細解釋】（1）①設E 豐0，則在過P點、平行于xOy坐標平面的平面上，以x為半徑，y軸Pz為中軸取圓，設環路方向如解圖所示。由于系統軸對稱，環路各點感應電場E的角分量與圖中E方向一致且沿環路方向，且大小相同。由E進行環路積分得到的感應電動勢Pz c 士0。另一方面，電流I的磁場B在環路所圍表面上的磁通量始終為零，磁通量的變化也為零，根據法拉第電磁感應定律，c=0。二者是矛盾的，所以必定是E=0。Pz若E±0，由于體系的軸對稱性，溶液圖1圓柱面上每一位置的場強E的y方向分量的方向和大小與圖中E Py的方向和大小相同。如果取一系列半徑x不同的同軸圓柱面，則各圓柱面上的場強E的y方向分量的方向和大小都相同，但大小應隨x的增大而減小。這樣就使文圖2中矩形回路中感生電動勢c±0符合法拉第電磁感應定律，所以允許E±0Py。若E±0，由于軸對稱性，溶液圖1圓柱面上各位置的場強EE徑向分量的方向與PxPx對應的E徑向方向一致，二者的大小也相同。將溶液圖1中圓柱面的頂部和底部封蓋起來，形成一個頂部和底部有兩個端面E的圓柱高斯面。
dS 通量積分之和為零，在 E 側。dS 通量積分不為零，這與獲得 jjs E 的麥克斯韋假設一致。 dS = 1c0 jjjVs pe dV = 0 矛盾，所以必定有 EPx = 0dt x12πx ②根據法拉第定律，參考文中圖2，c = 一dj x+l2一B (x )l dx ，其中B(dt x12πx 所以，c = 一(|( l1 ln ))??| = l0π1 (|( ))|ln ③根據麥克斯韋感應電場假設，結合（1.1）問題的答案，可知c = j E 。 dl = E (x)l 一E (x + l )l 121L結合①和②得到的結果，可知答案為 第3頁，共30頁 E (x )l1 - E (x + l2 )l1 = l0π1 (|( ))|ln E (x )- E (x + l2 )= (|( ))|ln 即 EP - EQ = E (x)- E (x + l2)= (|())|ln （2）從物理角度看，遠場應為 E(x + l)) 02l2)w代入上式，可得 EP = E (x)= (|())|ln x l2 l2)w)w為書寫方便，將EP改寫為 EP) EP (x)= (|())|ln x l2 lz)w)wE (x)為發散，是由模型引起的，并非真實的發散。如圖所示，E(x)是左邊變化電流貢獻的E(x)與右邊變化電流貢獻的E(x)的復合，參考方向取與y軸相反的方向。即 E(x)=E(x)-E(x) (x)=(|( ))|ln=(|( ))|ln (x)=(|( ))|ln=(|( ))|ln 所以 E(x)=EP(x)=(|( ))|ln d-xx答案第4頁，共30頁 UO13. I=0，f==π2πLC 【解析】【??詳細解釋】設電感網絡等效電感為L=aL，則它的阻抗Z=aOj（j為單位虛數根）ABL1又因AB與AB結構相同，阻抗形式相似，且Z=a。
j，所以總的1CCL LCOC阻抗Z = ZL + ZC + ZR = R + (|(aLOj一a O1C j))| = R +a (|(OL一O1C ))|j且峰值I0 =高中物理第20題，所以I0 = U0。R2 +a 2 (|(aL一O1C ))|2 一111所以，當OL 一= 0，即O =時，I最大。此時I = 0，且f ==Q +Q +Q +Q4。 （1）證明見分析 （2）證明見分析 （3）Q = 【解析】【??詳細解釋】（1）設點i在點j上產生的電勢為aq。同理，易知點j在點i上產生的電勢為aq。對于這個二點系 ij iji j，有 U q = U q，即 a= aq qij jji iij i jji ji。因此，a = a。易知a是一個只依賴于位置的參數。又 U = aq + aq + aq + + aq = xn aq（設a = 0）jiij=1 則 U, = aq, + aq, + aq, + + aq, = xn aq,（a只依賴于位置）jijj=1 所以，qiUi, = qi (|(aij qj,))| = aij qi qj, = qi, (|(aij qj))| =qi,Ui答案第5頁，共30頁所以原公式（格林互易定理）成立 (2)設兩導體前后的靜電分別為Q、Q，它們對應的電容分別為C、C 1212。??由（1）可知，xnqU,=QU-QU=Q（UU）（式中U、U分別為有Q時兩導體的靜電勢=1）同理，xnq,U=QU一QU=Q（U一U）（式中U、U分別為有Q時兩導體的電勢）=1由（1）可知，二者相等，則Q（U一U）=Q（U一U）所以，C=Q1=Q2=C1U一UU一U2，這與導體上帶電荷量的多少無關。 （3）根據題目要求，設四個面及中心O的電荷分別為q1、q2、q3、q4、0。同時高中物理第20題，四個面及中心的電位分別為Q 1、Q 2、Q 3、Q 4、QO。現將四個外表面接地，在中心放置一個Q的點電荷，中心電位為U，四個表面產生的感應電荷相等，為1。此時四個表面及中心O的電荷與電位分別為4-、1-、1-、1-、1-、1-、Q；0、0、0、0、U 4444。由格林互易定理可得Q1。
(|(一))| +Q2. (|(一))| +Q3. (|(一))| +Q4. (|(一))| +QO. U = 0Q +Q +Q +Q，則可得 Q = S32c U 2 S13c U 2 S5. (1) C = S32c U 2 S13c U 2 2F = 16c U2 S0，方向向上； F = 81c U2 S0，方向向上6722d 2【解析】【??詳細講解】（1）由兩個極板4、6組成的電容器結構，可以等效為如圖所示的電容器網絡，其中答案為第6頁，共30頁 = Q = 則 C = Q = 則 C = 3446.圖1 SC = SC = C = C = C = C = 0=從圖中可以看出，每個電容器所攜帶的電荷滿足下列關系的各支路電壓：C，C = 0=。 = Q ． 2312Q = Q + Q ， = Q ． + 67 = UC 2C，34 + 56 = U ， CC． 23 34 + 56 = U ， CC． CCCC由以上各式可得 1CU ，19+ 1CU ，19+ Q45 = U=CU ， Q =CU ， Q =CU ， Q =CU ，19Q=0 19d 求端子 4、6 的電容，也可以先求出左圖所示電阻網絡的阻值，然后再求電容。將圖中 O ABC 的 Y 型接法改為 △ 型接法，得到圖 2 右圖所示電路，其阻值如圖所示，則易得 19R = R ． 4616U 直流電路的電阻、電壓、電流分別為 I = ． R 電容器組成的電路的電容、電壓、電荷分別為 Q = CU ． 1 類似地，C ~ ． R與上述電阻電路匹配電容電路，故答案為第7頁，共30頁33 3(33 3( 2c2c) ~，即C =C = .46(2)由于每塊極板上所受的力均為系統中其他極板上的電荷產生的電場作用于本極板上電荷的作用力，因此通過高斯定理很容易計算出每塊極板上的場強，進而得到每塊極板上所受的力為Qc U 2 S11 2F = E Q11 20( E計算方法：1極板側面不帶電，下側帶電Q，為正電，即Q = Q = c US0，根據電荷守恒定律，2 ~ 7塊極板總電荷為Q1，為負電，將2 ~ 7作為一個整體考慮，容易得到E1 = 2c1 )0下面的符號Q代表極板所帶的總電荷第 i 個板塊。iF = EQ = 0。（顯然，該板塊的 Q = 0）22 22F = EQ = | 12 - 4567 |。
Q = F = EQ = | 12 - 4567 |。Q = 0，方向向下。00式中，Q = -Q + Q = -10c US0+ c US0 = -9c US0，= Q + Q = 16c US0，= -Q + Q = 3c US0，= -Q -Q = -16c US0，= -Q = -7c US0。同理可得：F = 32c U2 S0，方向向上；4361d 2F = 13c U2 S0，方向向下；5722d 2F = 16c U2 S0，方向向上；6722d 2F = 81c U2 S0，方向向上。
