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電場(chǎng)高斯定律相關(guān)的預(yù)備知識(shí)，磁場(chǎng)高斯定律相關(guān)的預(yù)備知識(shí)，靜磁學(xué)范疇的安培環(huán)路定律相關(guān)的預(yù)備知識(shí)，。
文中，我們歸納一些靜電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)的基本。這兒所說“靜”，指系統(tǒng)狀態(tài)不隨時(shí)間改變，像電荷、電流、電場(chǎng)等強(qiáng)度與分布皆恒定。留意，這兒“靜”與“靜止”含義不完全一樣，不意味著沒電荷流動(dòng)（電流），僅表明電荷流動(dòng)速度均勻，即所謂“穩(wěn)恒電流”。
1. 電荷、電流與電荷守恒電荷
啥是電荷呢，依據(jù)富有深意表述來講，電荷是粒子跟電磁場(chǎng)交互作用的強(qiáng)度，然而，對(duì)初學(xué)者而言，你只需曉得電荷跟質(zhì)量一樣，同樣是粒子或物質(zhì)的一種性質(zhì)，之所以引入電荷這一概念，是由于人們發(fā)覺物質(zhì)間除了有起源于質(zhì)量的引力交互作用之外，還存在另一種交互作用，其強(qiáng)度跟質(zhì)量沒有關(guān)聯(lián)、但跟物質(zhì)的另一種性質(zhì)有關(guān)聯(lián)，人們把這種性質(zhì)稱作電荷，這種交互稱作靜電力 。
當(dāng)電荷呈現(xiàn)離散分布的狀況時(shí)，比如說，我們所熟知的有著對(duì)應(yīng)“質(zhì)點(diǎn)”的點(diǎn)電荷模型，此時(shí)，我們能夠具體描述每一個(gè)點(diǎn)電荷所攜帶的電荷量$q_i$；而當(dāng)電荷處于連續(xù)分布的情形時(shí)，例如，存在一個(gè)處處都帶電的物體，有著對(duì)應(yīng)“剛體”，此刻，我們更傾向于運(yùn)用電荷密度，也就是單位體積的電荷量$rho = frac{ldp5vth{q}}{jj5rd5d{V}} $。
電流
當(dāng)電荷，大量的電荷，朝著一定方向，做具有指向特點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，開始行動(dòng)起來的時(shí)候，就能產(chǎn)生電流。這個(gè)電流呢，可以通過電流強(qiáng)度$I$以及電流密度${{j}}$來進(jìn)行表述：
表1：電流強(qiáng)度與電流密度
電流強(qiáng)度 $I$：“單位時(shí)間通過截面的電荷量”
不太明確你給出的這個(gè)式子具體要表達(dá)什么意思及具體改寫需求準(zhǔn)確改寫呢。這個(gè)式子似乎按正常數(shù)學(xué)表述應(yīng)該是。
反映電流分布疏密程度的物理量電流密度，它指的是，在單位時(shí)間范疇以內(nèi)呀，又在單位面積前提下呢，所通過的電荷量啦。
$I$等于沿閉合路徑環(huán)繞一周的，對(duì)這樣一種所謂的“{{j}}”與“{xldnp5r}}{{{S}} }”做點(diǎn)乘運(yùn)算的結(jié)果~ 而“{{j}}”等于，對(duì)“$I$”關(guān)于“$S_perp$”求微分后，再乘以“$hat n$”~ 還有，“{{j}}”等于，“$n$”乘以“$e$”再乘以“{{v}}”~ 這里面，“$n$”是，那種作為電荷載體的載流子的體積數(shù)密度，“$e$”是每一個(gè)載流子所帶的電荷量，“{{v}}”是載流子的速度。
電荷守恒
質(zhì)量相同的情況下，電荷是保持守恒狀態(tài)的沒錯(cuò)。這意味什么呢，就是假如有那么一個(gè)地段有電荷向外流出了（也就是產(chǎn)生電流這種情況），那么在這個(gè)地段內(nèi)的電荷量就會(huì)照著比例相應(yīng)地減少。閉合積分符號(hào)下電流密度 ({{j}}) 與面元 (lzbv57h{{{s}}}overd ot) 整合，結(jié)果等于負(fù)的對(duì)時(shí)間 (t) 求導(dǎo)，該導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為對(duì)電荷密度 (rho) 在體積 (V) 上積分，且電荷密度 (rho) 等于電荷量 (q) 對(duì)體積 (V) 求導(dǎo)，還有電流和關(guān)系中各項(xiàng) (I_i) 求和，其和等于負(fù)的電荷量 (q) 對(duì)時(shí)間 (t) 求導(dǎo)，這里規(guī)定 (I>0) 時(shí)表示流出該區(qū)域的電流是流入的電流的相反狀態(tài)，否則就是流入的電流 。上述式子呈現(xiàn)出的微分形式是，存在這樣一個(gè)等式，即▽·ｊ這兒，加上ρ之上除以ｔ，其結(jié)果等于０ 。在處于靜場(chǎng)的狀況之下，空間里面的電荷密度以及電流密度，它們是都不太會(huì)隨著時(shí)間而發(fā)生何種變化的，鑒于此，就會(huì)有▽·ｊ等于０ ，并且會(huì)有∑ｉＩｉ等于０這一情況 。這個(gè)所得出的結(jié)論還被稱呼為基爾霍夫第一定律。
2. 靜電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)
圖1，電荷于一個(gè)截面上產(chǎn)生電場(chǎng)的示意圖，電流則在該截面上產(chǎn)生磁場(chǎng)的示意圖，CC 0 。
眾人皆知，電荷會(huì)在其周圍產(chǎn)生電場(chǎng)，電流會(huì)在其所及之處產(chǎn)生磁場(chǎng)。如下的表格呈現(xiàn)出電荷、電流跟它們所生成的電場(chǎng)、磁場(chǎng)之間的關(guān)聯(lián)：
表2：靜電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)
電場(chǎng) $ {{E}} $
磁場(chǎng) $ {{B}} $
場(chǎng)源
電荷 $q$
電流 (運(yùn)動(dòng)的電荷) $I$
場(chǎng)源產(chǎn)生的場(chǎng)
5bv7vzx{{E}}({{r}})等于四π分之一與(frac57bldr7{q})除以(R^2)再乘以({{hat R}})的乘積，不大嚴(yán)格地講，b5rtn7r{{E}}這么得出的結(jié)果其是由單個(gè)小電荷p5z5d7h{q}所生成的在空間中電場(chǎng)的該些物理狀態(tài)變化所組成 。 且rtvfflj{{E}}是電場(chǎng) ， 是由單個(gè)小電荷jh5xzp7{q}而產(chǎn)生形成的那種電場(chǎng) 。 又n5hzrft{{E}}是由那單個(gè)小在帶電方面呈現(xiàn)微小量狀態(tài)的電荷jfxj7z9{q}這一因素致使產(chǎn)生的電場(chǎng) 。 還dh7bnlz{{E}}是因單個(gè)小電荷llv57th{q}處于帶電呈現(xiàn)微小表現(xiàn)的狀態(tài)從而造成產(chǎn)生的電場(chǎng)情況 。 需注意的是，你提供。
其中，(57zbb7b{{{B}}})對(duì)({{r}})的表達(dá)式為，(μ)帶有下標(biāo)(0)，除以(4)再乘以圓周率，乘以(I)與(j3tlntz{{{r}}'})的乘積，然后除以(R)的平方，而此(R)上帶有符號(hào)(hat{{{R}}})之后，這整個(gè)式子就是畢奧—薩伐爾定律，并且請(qǐng)注意，這里的(rtdxxlh{{{B}}})乃是由一段一小段的電流(I)與(lnhjdb5{{{r}}'})所生成產(chǎn)生的磁場(chǎng) 。
線性疊加原理
在表達(dá)式里，存在等式({{E}} ( {{r}} ))的值，其等同為積分(int ,dfphr5n{ {{E}} )，而這個(gè)積分呢，又跟(frac{1}{4 pi } int frac{ ,x5fhbhn{q} }{R^2} {{hat R}} ~)相等 ，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的方程具備線性特征，所以當(dāng)空間里存在多個(gè)電荷時(shí)，這些電荷所引發(fā)的總電場(chǎng)可表示為各個(gè)電荷分別產(chǎn)生的電場(chǎng)的總和 。
第一個(gè)大左花括號(hào)括著的(B)，括號(hào)里是大左花括號(hào)括著的(r)，等于線積分大右花括號(hào)(d)，大右花括號(hào)里是兩個(gè)大左花括號(hào)括著的(B)，等于(frac{mu_0}{4pi})，乘以積分里(I)，乘以大右花括號(hào)(d)，大右花括號(hào)里又出現(xiàn)兩個(gè)大左花括號(hào)括著的(r)”，再叉乘單位向量尖大右花括號(hào)括著字母(R。
散度方程
那圍繞著的，對(duì)這樣的一個(gè)集合矢量(E)做點(diǎn)乘，且是對(duì)那樣的一個(gè)集合曲面元(ds)進(jìn)行積分，其結(jié)果等于，分之一，對(duì)這樣的一個(gè)密度(rho)在那樣的一個(gè)體積元(dV)上進(jìn)行積分，又等于，分之一，電荷量(Q) ， 那散度算符作用于這樣一來的集合矢量(E) ，其結(jié)果等于，分之一，密度(rho) ， 這就是電場(chǎng)的高斯定律 。
閉合曲線積分，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量與微小面積元矢量點(diǎn)乘的環(huán)量等于零，旋度算符與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量做點(diǎn)乘結(jié)果為零，這就是磁場(chǎng)的高斯定律。
旋度方程
環(huán)繞積分一個(gè)由雙花括號(hào)括起來的磁場(chǎng)矢量與一個(gè)由花括號(hào)括起來的線元矢量相乘的表達(dá)式，其結(jié)果等于磁導(dǎo)率常數(shù)乘以一個(gè)由雙花括號(hào)括起來的電流密度矢量與一個(gè)由花括號(hào)括起來的面積元矢量相乘的積分，此積分又等于磁導(dǎo)率常數(shù)乘以電流，一個(gè)由 nabla 算符與后面跟著叉乘符號(hào)以及一個(gè)由雙花括號(hào)括起來的磁場(chǎng)矢量組成的表達(dá)式等于磁導(dǎo)率常數(shù)乘以一個(gè)由雙花括號(hào)括起來的電流密度矢量，這就是靜磁場(chǎng)的環(huán)路定理（專業(yè)術(shù)語：安培環(huán)路定律）。
其中，{{r}}是場(chǎng)點(diǎn)，{{r}}'是場(chǎng)源位置，{{R}}等于{{r}}減去{{r}}'是從場(chǎng)源處指向場(chǎng)點(diǎn)的矢量，{{\hat R}}是與之對(duì)應(yīng)的單位矢量。，$\mu_0$分別是“真空介電常數(shù)”和“真空磁導(dǎo)率”（按其等表述，這兩個(gè)術(shù)語的稱謂存在誤導(dǎo)性，只需清楚它們是常數(shù)即可）。
為啥有了好看的“場(chǎng)源產(chǎn)生的場(chǎng)”，還得要（微分形式的）那既包含散開程度指示又包含旋轉(zhuǎn)程度指示的方程呢？雖說二者能夠相互“得來結(jié)果”，然而那既包含散開程度指示又包含旋轉(zhuǎn)程度指示的方程還是有著（潛藏的、理論層面上的）好處：
3. 電（標(biāo)）勢(shì)與磁矢勢(shì)
從數(shù)學(xué)以及物理意義方面展開考量，那樣我們能夠去引入勢(shì)的概念。有時(shí)候運(yùn)用勢(shì)的概念，會(huì)展現(xiàn)出比場(chǎng)更加簡(jiǎn)潔，且比場(chǎng)更為深刻的特點(diǎn)。
表3：電（標(biāo)）勢(shì)與磁矢勢(shì)
電場(chǎng) $ {{E}} $
磁場(chǎng) $ {{B}} $
$$~$$ 電勢(shì)，標(biāo)量函數(shù)
$$ {{A}} ~$$ 磁矢勢(shì)，矢量函數(shù)
勢(shì)與場(chǎng)
先看第一個(gè)式子：這個(gè)式子表示，有一個(gè)等于負(fù)的梯度的量，它與某個(gè)東西相關(guān)，這個(gè)東西是什么呢，它其實(shí)是對(duì)從零勢(shì)參考點(diǎn)到當(dāng)前位置的路徑進(jìn)行積分時(shí)，與之前提到某個(gè)等于負(fù)的梯度的另一量做點(diǎn)乘運(yùn)算從而得到的結(jié)果里的那個(gè)積分下限所對(duì)應(yīng)的位置相關(guān)的一個(gè)量，這里零勢(shì)參考點(diǎn)一般選取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)為0，具體參考下文的“規(guī)范”，這里的積分下限所在位置一般就是零勢(shì)參考點(diǎn)，也就是通常選取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)為0的那個(gè)點(diǎn)，這里所說的零勢(shì)參考點(diǎn)，在具體參考下文的“規(guī)范”時(shí)，其選取一般是無窮遠(yuǎn)處勢(shì)為0 。再看右邊的式子：它是從零勢(shì)參考點(diǎn)到當(dāng)前位置的積分，積分的被積函數(shù)是之前提到那個(gè)等于負(fù)的梯度的量與路徑微元做點(diǎn)乘運(yùn)算的結(jié)果，這里零勢(shì)參考點(diǎn)一般選取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)為0，具體參考下文的“規(guī)范” 。
大括號(hào)括起來的B等于，nabla叉乘，大括號(hào)括起來的A 。
勢(shì)的任意性，“規(guī)范”
$$ += ~$$ $$ 是常數(shù)
對(duì)于標(biāo)量函數(shù)而言，有一堆大括號(hào)括起來的 A 進(jìn)行了某種操作，這個(gè)操作是加上了一個(gè)由倒三角符號(hào)和約等于符號(hào)連接起來的東西，基于這樣的情況，由倒三角符號(hào)、點(diǎn)運(yùn)算符以及包裹著一堆大括號(hào)的 A 所構(gòu)成的表達(dá)式的取值能夠被控制 。
場(chǎng)源導(dǎo)致的勢(shì)
（假 定 無 窮 遠(yuǎn) 處 勢(shì) 為 零），（({{r}})）等于，（(frac{1}{4pi})）乘以，對(duì)，（(frac{rho({{r}} ')}{ leftlvert {{r}} - {{r}}'rightrvert })）進(jìn)行，（(intj5hblzv{V}')）的積分 。
大括號(hào)括起來的A，對(duì)于大括號(hào)括起來的r的函數(shù)值，等于4π分之μ?，對(duì)函數(shù)值是以下情況的積分：被積函數(shù)是大括號(hào)括起來的j對(duì)于大括號(hào)括起來的r撇的函數(shù)值，除以大括號(hào)括起來的r減去大括號(hào)括起來的r撇的絕對(duì)值，積分微元是dV撇 。（假定取規(guī)范 梯度算符點(diǎn)乘大括號(hào)括起來的A等于 ?） 。
勢(shì)的方程
（假定無窮遠(yuǎn)處勢(shì)為零）梯度的平方的負(fù)一倍等于負(fù)的密度除以某個(gè)東西 ， 。
負(fù)的真空磁導(dǎo)率乘以電流密度矢等于，取規(guī)范為矢量算符點(diǎn)乘矢勢(shì)矢等于零的情況下，矢量算符的平方作用于矢勢(shì)矢 。
勢(shì)的定義
引入勢(shì)的數(shù)學(xué)考量是（詳見 與 “矢量分析總結(jié) ”）：
靜電場(chǎng)天然滿足這些條件，磁場(chǎng)天然也滿足這些條件，所以靜電場(chǎng)能夠分別定義電勢(shì)，磁場(chǎng)能夠分別定義磁勢(shì)。
物理上的考量參考 “電勢(shì)、電勢(shì)能 ”。
于電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系而言，極易看出，靜電場(chǎng)實(shí)際上唯有一個(gè)自由度，并非如看上去那般是三個(gè)，分別為 E_x、E_y、E_z 。
勢(shì)的任意性
因?yàn)殡姾芍苯痈惺艿降氖菆?chǎng)并非勢(shì)（見下面的“洛倫茲力”），所以只要能夠獲取相同的場(chǎng)，勢(shì)的取值具備一定的靈活性。比如說，鑒于({{E}} = - \nabla $)，即便勢(shì)加上一個(gè)常數(shù)，依舊存在({{E}} = - \nabla (+) = - \nabla - \nabla = - \nabla $)，也就是相應(yīng)的電場(chǎng)不會(huì)發(fā)生改變。這樣一來，電勢(shì)能夠始終相差一個(gè)常數(shù)，卻不會(huì)對(duì) “實(shí)質(zhì)性結(jié)果” 造成改變。這跟我們進(jìn)行不定積分操作時(shí)，常常會(huì)得出一個(gè)積分常數(shù) $C$ 的情況十分相像。又好比針對(duì)函數(shù)求導(dǎo)之際，常數(shù)項(xiàng)不會(huì)對(duì)導(dǎo)函數(shù)產(chǎn)生影響。將選取常數(shù)的方式稱作 “規(guī)范”，依據(jù)具體的場(chǎng)合情形，我們會(huì)挑選適宜恰當(dāng)?shù)囊?guī)范，以此用來簡(jiǎn)化計(jì)算過程。在靜場(chǎng)環(huán)境當(dāng)中，我們通常會(huì)設(shè)定電勢(shì)在無窮遠(yuǎn)的地方為零，并且要使磁勢(shì)滿足 $ {nabla}{cdot} {{A}} = 0$ 。
勢(shì)的方程
把勢(shì)的定義代入方程組，再借助數(shù)學(xué)方面的一些技巧，如此一來，便能夠得到與之對(duì)應(yīng)的勢(shì)的方程。比如說對(duì)于電勢(shì)：有這樣一組式子$$left {begin{}{{E}} &= - \nabla \\{nabla}{cdot} {{E}} &= frac{rho}{}\end{}right.\{nabla}^2 = -frac{rho}{}是成立的~。$$請(qǐng)注意，這里方程中的一些符號(hào)表述可能不太規(guī)范明了，應(yīng)結(jié)合具體的物理知識(shí)背景來準(zhǔn)確理解其確切含義~。電勢(shì)的相關(guān)方程在電學(xué)等領(lǐng)域有著極為重要的作用，是進(jìn)一步深入研究電場(chǎng)等電現(xiàn)象的關(guān)鍵基礎(chǔ)~。
磁勢(shì)的情況也是同樣的道理，然而卻需要運(yùn)用更為巧妙的數(shù)學(xué)技巧以及規(guī)范，具體的證明過程依照慣例是留給讀者的：有這樣一組式子，其中(left{begin{array}{}{{B}} = {nabla}{times} {{A}} \{nabla}{times} {{B}} = mu_0 {{j}} \{nabla}{cdot} {{A}} = 0end{array}right.)，通過推導(dǎo)得出({nabla}^2 {{A}} = -mu_0 {{j}}) 。因?yàn)榇艅?shì)( {{A}})是一個(gè)矢量，故而磁勢(shì)的方程實(shí)際上涵蓋三個(gè)標(biāo)量方程（在直角坐標(biāo)系下）：(nabla^2 {{A}} = - mu_0 {{j}}) ，具體為(left{begin{array}{}= {nabla}^2 A_x = -mu_0 j_x\= {nabla}^2 A_y = -mu_0 j_y\= {nabla}^2 A_z = -mu_0 j_zend{array}right.~ 。) 。
場(chǎng)源導(dǎo)致的勢(shì)
從原則上來說，“場(chǎng)源致使的勢(shì)”屬于對(duì)應(yīng)勢(shì)的方程所能產(chǎn)生的解高中物理電磁場(chǎng)設(shè)計(jì)，然而要是這么去做的話，速度就會(huì)變得遲緩起來。憑借電場(chǎng)的性質(zhì)，借助勢(shì)的定義，依據(jù)電勢(shì)與積分路徑無關(guān)的特性便能輕易得出“電荷導(dǎo)致的勢(shì)”，這同樣是我們于高中以及大物中所知曉的辦法：等于對(duì)矢量(E)與矢量(dl)做點(diǎn)積的積分，等于(frac{1}{4pi})乘以從電勢(shì)源取出測(cè)試電荷的距離(R)分之電荷量(q)，并將之推廣為連續(xù)形式，等于(frac{1}{4pi})乘以對(duì)電荷密度(rho)與從場(chǎng)點(diǎn)到場(chǎng)源點(diǎn)距離(R)分之一的乘積進(jìn)行體積分，根據(jù)磁勢(shì)方程與電勢(shì)的類似性，通過類比就能得到“電流導(dǎo)致的磁勢(shì)”。如此操作避免了求解偏微分方程的困難。
圖 2：源->勢(shì)->場(chǎng)
4. 洛倫茲力
一個(gè)處于電磁場(chǎng)里的點(diǎn)電荷、其受力情況是由洛倫茲力公式予以給出的，該公式為{{F}} = q ( {{E}} + {{v}} \times {{B}} )~，要留意此公式里并不涵蓋點(diǎn)電荷處于靜止?fàn)顟B(tài)或者勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之時(shí)自身所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，而且當(dāng)點(diǎn)電荷進(jìn)行非勻速運(yùn)動(dòng)之際會(huì)產(chǎn)生輻射也就是電磁波，并且這個(gè)輻射又將反過來作用于點(diǎn)電荷之上。以能量守恒的角度去講，電荷因產(chǎn)生輻射致使能量有所損失，進(jìn)而言之動(dòng)能肯定會(huì)降低，故而其輻射針對(duì)自身的力總體而言必定是一種阻力。但在通常情形下，我們?cè)O(shè)定這個(gè)輻射的功率足夠地小，從而讓該效應(yīng)能夠被忽略不計(jì) ，。
對(duì)于電荷呈連續(xù)分布的情況，我們?nèi)ッ枋鰡挝惑w積（也就是“一小塊”）里電荷所受到的洛倫茲力，這等價(jià)于將上式兩邊進(jìn)行“同除以” ( ,lrrpznl{V} ) 的操作，。先看這個(gè)，{{f}}等于，xr77njp除以{{F}}，再除以lnh57jn與V的運(yùn)算結(jié)果，它又等于，b5lnpl7除以q，除以vxzj7hd與V的運(yùn)算，乘以{{E}}加上{{v}}與{{B}}的叉乘，等于ρ乘以{{E}}加上{{v}}與{{B}}的叉乘，等于ρ{{E}}加上{{j}}與{{B}}的叉乘 , 。
有時(shí)候，我們做出這樣的假定，那就是電流是伴隨著異號(hào)的靜止電荷的，所以呢，電流從總體上來說是不帶靜電荷的，并且也不會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)。
防杠聲明：嚴(yán)格來說，在相對(duì)論中是質(zhì)量-能量守恒。
和靜電場(chǎng)里能夠隨意放置電荷不一樣，在靜磁場(chǎng)當(dāng)中，我們沒辦法“隨意放置”電流，而是一定要讓電流形成環(huán)狀，或者延伸至無窮遠(yuǎn)的地方。要是設(shè)計(jì)的“電路”沒有形成環(huán)，那么依據(jù)電荷守恒，區(qū)域內(nèi)的電荷密度肯定會(huì)發(fā)生變化，進(jìn)而不再屬于靜場(chǎng)問題。這同樣是為何這個(gè)公式實(shí)際上無法精確描述“單個(gè)運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)”的緣由 。
為啥那個(gè)表示旋度的符號(hào)與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量叉乘結(jié)果為零的方程沒了呢，是由于在引入電勢(shì)概念之際高中物理電磁場(chǎng)設(shè)計(jì)，我們已然運(yùn)用了此方程，即對(duì)于任意標(biāo)量函數(shù)而言，其梯度的旋度一直都為零制度大全，也就是那個(gè)表示旋度的符號(hào)與梯度叉乘等于零 。
David , to , 4ed
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