商偉
黑龍江省牡丹江市第一高級中學
摘要 ：本文針對質點與彈簧系統模型展開研究，進而得出簡諧運動方程 ，接著依據常微分方程教材里的理論知識求解該方程 ，其得出的解的形式是我們所熟悉的三角函數形式 ，如此便有力地驗證了高中數學新教材人教A版 、（ 2019 ） 必修第一冊第五章第七節的部分內容 ，還解決了教師以及學生對于簡諧運動方程求解過程的困惑。
關鍵詞：簡諧運動方程；二階線性常微分方程；解
高中數學進行新課程改革，目的在于克服應試教育存在的弊端，激發學生對于學習的興趣，培養具有創新性的人才，使得學生可以對所學知識擁有更深刻的理解，進而達成學以致用這樣的效果。于是，高中數學新教材人教A版（2019）必修第一冊第五章第七節里，特意設置了“三角函數的應用”這項學習內容，其目的是強化用三角函數模型描繪周期變化現象，這部分內容在素材挑選方面考量了真實性與廣泛性，致力于培育學生綜合運用數學以及其他學科知識解決問題的能力，其中教材242至243頁借助介紹彈簧振子的振動引出物理學里的“簡諧運動”概念，并且表明在恰當的直角坐標系下，簡諧運動可用我們數學熟知的函數來表示，描述簡諧運動的物理量，像振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關，這些內容在以往的數學教學里關注度并不高，而教材解決這個問題的方式是經由對數據表、散點圖的觀察得出簡諧運動解的形式，這實際上對于大部分學生而言是比較容易理解的，可仍會有部分學生以及很多教師在這方面存在困惑：教材中若是通過解析方法求解簡諧運動方程的解，那又該怎么求解呢？我們能不能通過專業的數學知識解決出來呢？
那么，下述內容很好地解決了學生以及教師對此方面的困惑，首先，我們針對具有物理背景的“質點——彈簧系統模型”展開研究，進而得出簡諧運動方程，接著，應用大學期間我們所學的常微分方程相關理論知識去求解這個方程，隨后計算出該簡諧運動方程的解，憑借以上種種，最終解決了我們對于高中數學教材里這部分內容的困惑。
首先，我們來知曉一下簡諧運動的定義，物體于某一中心位置附近，做著循環往復的運動，這般的運動，就被稱作“簡諧運動” 。
然后研究簡諧運動的一個典型實例（質點——彈簧系統模型）
我們思考一個和彈簧相連的質點，它在沒有摩擦的光滑桌面上滑動，處于相應時刻時，存在兩個關鍵數量，一個數量是質點從彈簧靜止位置到達當前位置的位移，另一個數量是彈簧施于質點的彈性力。假定時刻質點的位移是這樣規定的，當其在彈簧靜止的位置時，記做如那般情況，而當其在彈簧伸長的位置時，是如那個樣子規定；而當其在壓縮位置時，又是另外的如這般的規定；（見上圖）。
究其緣由，鑒于此乃時刻質點的位移情況，故而在該時刻質點的瞬時加速度呈現這般態勢，倘若將其記為質點的質量狀態，依據牛頓第二定律而言則會出現如此情形這般狀況 。
方程（1.1），它又被稱作簡諧運動方程，要注意物理高中必修一2-1 簡諧運動》（教案），此方程在大學常微分方程教材里呢，被叫做二階線性齊次自治常微分方程。
通過對一個有著物理背景的實際例子展開研究所得出簡諧運動方程，當中方程解的形式又是什么樣的呢？ ，但 ，那么 。
求解方法：
1.我們首先研究一階線性常微分方程的解
借著觀察，我們能夠發覺一個函數在經歷一階求導以來獲得的結果跟其函數自身的形式相像，如此我們便想到了指數函數，此時我們進行設定，其中，為并非零的常數，那么代入到里面物理高中必修一2-1 簡諧運動》（教案），得到，所以，因而，而這個并非零的常數的數值需要依照方程的初始條件去加以確定。
接下來，我們針對二階常微分方程的解展開研究，我們通過降階操作，從而得到與之對應的一階二維線性常微分方程組，設某一情況，那么會出現相應結果，類比一階線性常微分方程解的形式的情況，能夠看出一種形式和一階微分方程解的那種形式是相同的樣子，在此情形下我們設另外一種情況，當中有非零常數，把這種設的情況代入到相關式子中（要注意，一種情況適用于求解，另一種情況適用于對解進行定性分析，所以本文選取前者這種情況）得到相應式子，也就是另外一些式子，從而又得出一些結果，而依據歐拉公式得出相關結論 。
其實在大學常微分方程教材中我們了解到有這樣一個定理：
倘若線性無關，那么（此為非零常數）便是方程的通解（此處證明線性無關的進程予以省略），而在此處鑒于為復值函數，其相應的實部與虛部是線性無關的，所以對于復值函數我們規定其通解是其實部跟虛部的線性組合，那么我們能夠得出。
而這里的值，是由初始條件來決定的，進行代入求解就行，如此，我們就解出了簡諧運動方程的解，進而也就得出了我們教材里的內容。
在本文的結尾部位，為了給讀者在閱讀與理解道理方面提供便利，進行了一番簡單的歸納總結：借助對一個具備著物理背景的質點，也就是彈簧系統模型展開研究，從而得出了簡諧運動方程，之后憑借大學所學過的知識，得出了該方程的解，具體計算出簡諧運動方程的解呈現出來的形式，正是我們所熟知的三角函數形式，如此一來，便強有力地證實了新教材在關于這部分內容上的設計，像這樣的知識儲備，我感覺會促使我們身為教師去講授這一節內容之前理解得更為深入，并且在這一整個過程當中，展現出數學在其他學科里具備實用性價值起步網校，能夠進一步提升我們教師對于專業知識的理解以及掌握能力句號。