原子核為什么會(huì)自發(fā)衰變？為什么說(shuō)核的α衰變是一個(gè)純粹的量子過(guò)程？如何估算一個(gè)原子核的壽命？
4月16日12時(shí)，《張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課》第139期播出，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽(yáng)坐陣搜狐視頻直播間，先介紹了原子核以及核α衰變的模型，事實(shí)上前者是α粒子隧穿庫(kù)侖勢(shì)壘的過(guò)程。借助上一節(jié)課估算得到的方勢(shì)壘透射系數(shù)，張朝陽(yáng)近似估算了α衰變的半衰期，發(fā)覺(jué)其中的規(guī)律可以抒發(fā)為一個(gè)與核電荷數(shù)、半徑以及衰變能相關(guān)的線性函數(shù)。
原子核α衰變是一個(gè)量子隧穿過(guò)程
步入近代，繼原子的核外電子排布后，量子化學(xué)學(xué)取得的又一成就是對(duì)原子核化學(xué)性質(zhì)的描述。如今我們曉得，原子核由中子和質(zhì)子組成，核力努力將諸多核子禁錮在一起，而核子之間的電磁互相作用使她們互相抵觸。當(dāng)兩者達(dá)到平衡時(shí)，原子核就產(chǎn)生了。并且作為強(qiáng)互相作用的剩余部份，核力的力程——也就是它起作用的距離——十分有限。當(dāng)原子核容納了越來(lái)越多的核子，規(guī)格顯得越來(lái)越大時(shí)，核力的禁錮療效漸漸衰減。
與其相反，電磁互相作用例如典型的庫(kù)侖力的作用范圍可以延展到無(wú)窮遠(yuǎn)。于是很自然地，隨著規(guī)格的減小，庫(kù)侖敵視漸漸壓倒核力的禁錮作用，原子核漸漸顯得不穩(wěn)定。諸如在典型的重核鈾238中，238個(gè)核子之間可能會(huì)有2個(gè)質(zhì)子和2個(gè)中子一起產(chǎn)生相對(duì)獨(dú)立的集團(tuán)——即一個(gè)氦核，又被稱為α粒子。接出來(lái)，這個(gè)氦核在庫(kù)侖力的作用下逐步向外行進(jìn)，從結(jié)果上看即是從鈾238的原子核中飛射出一個(gè)氦核：
這個(gè)過(guò)程在數(shù)學(xué)上稱為原子核的α衰變現(xiàn)象，它在自然界中普遍存在，是重核不穩(wěn)定性的主要彰顯。
值得注意的是，氦核漸漸遠(yuǎn)離并不是一個(gè)精典化學(xué)的過(guò)程，而是一個(gè)量子隧穿的過(guò)程。事實(shí)上我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型來(lái)描述氦核的運(yùn)動(dòng)。以鈾原子核剛體的位置為原點(diǎn)構(gòu)建座標(biāo)系，首先在近距離處，氦核感遭到一個(gè)很強(qiáng)的核力，而庫(kù)侖力的療效近似可以忽視。為了簡(jiǎn)單起見，我們用一個(gè)深勢(shì)阱來(lái)表征這個(gè)禁錮作用。而當(dāng)氦核稍為跨過(guò)核的邊界（記為r_0處）時(shí)，核力會(huì)迅速衰減，此時(shí)變?yōu)閹?kù)侖勢(shì)起主導(dǎo)作用。假如我們忽視這個(gè)轉(zhuǎn)變的細(xì)節(jié)，將核力作用部份處理成方勢(shì)阱，即可以得到如圖所示的勢(shì)場(chǎng)。
我們的模型即是一個(gè)能量為E的氦核在這個(gè)勢(shì)場(chǎng)上運(yùn)動(dòng)。首先由能量守恒和相對(duì)論質(zhì)能公式
可以恐怕
注意這兒的質(zhì)量都指的是靜止質(zhì)量。再來(lái)恐怕庫(kù)侖勢(shì)壘的高度，也就是庫(kù)侖勢(shì)在r_0處的取值。按照上面的描述，我們覺(jué)得在此處α粒子將逐步脫離其余234個(gè)核子（一個(gè)釷核）的撕扯，開始獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，此處可以近似看作是釷核的表面。而將釷核近似看作圓球時(shí)，它的直徑可以用中重核直徑公式近似給出
代入到庫(kù)侖勢(shì)中，
這兒我們借助了真空介電常數(shù)
以及元電荷電量
可見事實(shí)上
假如按精典化學(xué)的觀點(diǎn)，α粒子根本不可能跨過(guò)這道“墻”跑到外界，但在支配量子熱學(xué)的框架下，這是可能的。
（張朝陽(yáng)描述α粒子隧穿庫(kù)侖勢(shì)壘的過(guò)程）
以方勢(shì)壘近似庫(kù)侖勢(shì)壘求解衰變機(jī)率
在上一節(jié)課中，我們?cè)缫芽催^(guò)了粒子跨過(guò)“墻”的實(shí)例。當(dāng)一個(gè)平面波的行進(jìn)途中遇到一個(gè)方勢(shì)壘，它有機(jī)率會(huì)被反射之后反向傳播，但也有幾率會(huì)穿透這個(gè)勢(shì)壘繼續(xù)往前。上面早已估算得到，粒子面對(duì)方勢(shì)壘的透射系數(shù)為：
其中V是方勢(shì)壘的高度，l是勢(shì)壘的長(zhǎng)度，系數(shù)
再看α粒子隧穿的過(guò)程，事實(shí)上，如圖所示，庫(kù)侖勢(shì)壘可以近似地被看成是由一系列方勢(shì)壘（黃色長(zhǎng)圓形）并在一起組合而成。α粒子要穿越庫(kù)侖勢(shì)壘，即是要依次穿越每位方勢(shì)壘，直至穿出整個(gè)庫(kù)侖勢(shì)場(chǎng)。
為了完成這樣一個(gè)界定，首先要確定每位方勢(shì)壘的厚度。一方面，從方勢(shì)壘透射系數(shù)的物理表達(dá)式中可以見到，穿越方勢(shì)壘的機(jī)率與勢(shì)壘的長(zhǎng)度直接相關(guān)，且勢(shì)壘越寬時(shí)，穿透勢(shì)壘的機(jī)率會(huì)越小。為了防止估算的紛擾和化學(xué)上一些次級(jí)效應(yīng)的引入，我們應(yīng)當(dāng)盡可能地取到足夠?qū)挼慕缍ā５硪环矫妫瑸榱俗銐蚓_，方勢(shì)壘的疊加應(yīng)當(dāng)盡可能地還原出原先庫(kù)侖勢(shì)的形狀。事實(shí)上，這與用小方塊面積求和去迫近積分的思路是一致的。因此，這個(gè)長(zhǎng)度又不能太大而是盡可能地取小。可以看見，恰當(dāng)?shù)剡x定長(zhǎng)度以平衡二者將是求解問(wèn)題的關(guān)鍵。
首先在透射系數(shù)的估算中，我們希望選定一個(gè)合適的長(zhǎng)度Δl促使近似
創(chuàng)立。相應(yīng)的條件是
借助勢(shì)壘最低點(diǎn)計(jì)算系數(shù)
這兒α粒子的質(zhì)量近似以核子的平均質(zhì)量
作恐怕。普朗常數(shù)與光速的乘積是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)常數(shù)
其次，估算粒子出射勢(shì)壘的位置r_c。借助方程
可得
我們希望選定的長(zhǎng)度才能讓我們盡可能迫近庫(kù)侖勢(shì)壘的形狀，要求是
綜合這兩個(gè)約束，一個(gè)合適的選定方案是取
此時(shí)有
在量級(jí)上滿足我們對(duì)近似的要求。張朝陽(yáng)指出，由于本節(jié)課上我們希望解決的是一個(gè)實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而不僅僅是解答一道習(xí)題，后者在估算上常常比較復(fù)雜，須要耐心和悉心。同時(shí)須要重視對(duì)化學(xué)量的恐怕，借助對(duì)量的掌握去認(rèn)識(shí)和捉住最主要的數(shù)學(xué)內(nèi)容。
在這個(gè)近似和界定下，每一個(gè)方勢(shì)壘的透射系數(shù)可以寫為
同樣借助最低點(diǎn)恐怕
所以，
（注：更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶幚矸绞绞窍确e分再比較作近似，以防止在r_c附近的瑕疵，為了防止估算繁多，這兒及后面僅用了具有代表性的值以說(shuō)明近似結(jié)果）可以看見，每經(jīng)過(guò)一個(gè)勢(shì)壘，α粒子穿透的機(jī)率都是指數(shù)級(jí)地被抬高。接出來(lái)我們忽視一些次級(jí)效應(yīng)，將粒子依次穿越每位方勢(shì)壘的過(guò)程都覺(jué)得是獨(dú)立進(jìn)行的，于是有粒子穿越整個(gè)庫(kù)侖勢(shì)壘的機(jī)率近似為
指數(shù)部份的求和展開來(lái)寫是
可以把它看成是對(duì)積分
的迫近。將這個(gè)積分值定義為γ，則有
（張朝陽(yáng)推論α粒子穿透庫(kù)倫勢(shì)壘的機(jī)率）
半衰期的線性公式
事實(shí)上原子核衰變，實(shí)驗(yàn)上發(fā)覺(jué)，α衰變的半衰期可以近似總結(jié)為一個(gè)僅與衰變能量和母核整體性質(zhì)相關(guān)的線性函數(shù)。為了從理論上證明這一點(diǎn)，我們首先估算上一節(jié)中指數(shù)的積分
為了估算這個(gè)積分，首先做換元
得到
通分后，也即
接出來(lái)注意到
首先有
對(duì)正弦函數(shù)y=cosθ，假如
時(shí)，應(yīng)當(dāng)有
然而值得注意的是，此時(shí)r_c與r_0的比值并不足以大到促使上述近似才能挺好地創(chuàng)立。為了更仔細(xì)地討論這個(gè)問(wèn)題原子核衰變，可以記
借助
曉得偏離量δ滿足
因?yàn)槠x量很小，所以應(yīng)當(dāng)有
即積分的結(jié)果
進(jìn)一步通分，借助r_c的定義，有
及
所以有
其中k_1和k_2是由化學(xué)學(xué)常數(shù)決定的兩個(gè)系數(shù)。假如代入具體的數(shù)值，可以計(jì)算到
在整個(gè)討論中，事實(shí)上是在做一個(gè)半精典的近似去解決實(shí)際的化學(xué)問(wèn)題。在半精典的圖象中，α粒子將以一定速率在原子核內(nèi)自由聯(lián)通，之后不斷撞擊庫(kù)侖勢(shì)壘。近似地，假若記這個(gè)聯(lián)通速率為v，單位時(shí)間內(nèi)粒子與勢(shì)壘的碰撞次數(shù)可以近似恐怕為
后面我們?cè)缫压浪懔藛未闻鲎驳乃泶C(jī)率，即有衰變速度
假如記鈾238的粒子數(shù)為N(t)，它應(yīng)該滿足微分等式
即
所謂半衰期τ，即粒子衰變?yōu)槌跏剂Ｗ訑?shù)一半的時(shí)間，即滿足等式
可以解得
對(duì)兩側(cè)取對(duì)數(shù)，有
因?yàn)閷?duì)不同的核，α粒子的速率v變化事實(shí)上并不大，取對(duì)數(shù)后可以近似地看成常數(shù)k_0。于是有
此即我們想要求得的線性關(guān)系。
（張朝陽(yáng)推論α衰變半衰期的線性公式）
據(jù)了解，《張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課》于每周周一、周日上午12時(shí)在搜狐視頻直播，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽(yáng)”，觀看直播及往期完整視頻回放；關(guān)注“張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課”賬號(hào)，查看課程中的“知識(shí)點(diǎn)”短視頻。據(jù)悉，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號(hào)上，閱覽每期數(shù)學(xué)課程的詳盡文章。
本節(jié)課相關(guān)視頻如下：
總透射率的估算
用微積分的思想表示總透射率
透射率公式的近似
