自由落體的通常定義是：只考慮吸引天體和被吸引天體的引力誘因，忽視其他的運動和大氣磨擦等誘因，物體從靜止（相對于吸引天體）開始接近吸引天體的運動。按照這個定義，假定月球為一個均勻圓球，直徑為r，質量為M，物體從距離地表h高度處自由落下。求落到地面的時間t，或則按照時間t求h。
令s為t時刻物體左右下落的物體與地表的距離，忽視物體的小質量，這么可以列舉微分等式：
$$frac{d^2s}{dt^2}=-frac{GM}{(r+s)^2}tag{1}$$而且初始條件是$t=0,s=h,dot{s}=v=0$
在實際應用中，我們何必求出這道微分多項式的精確解，由于這個解非常麻煩，在之前以前討論過。我們只須要求出一個有足夠精確度的近似解就行。按照泰勒級數展開式
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)frac{x^2}{2!}+f'''(x_0)frac{x^3}{3!}+...$$
對于上述的微分等式(1)，我們早已有了$s(0)=h,s'(0)=0,s''(0)=-frac{GM}{(r+h)^2}$，因為$frac{dddot{s}}{dt}=dot{s}frac{dddot{s}}{ds}$，但是不難證明$frac{dddot{s}}{ds}$是有限的，所以$s'''(0)=0$，于是我們可以寫出微分多項式的近似解：
$$s=h-frac{GM}{2(r+h)^2}t^2tag{2}$$
它的截斷偏差是$O(t^4)$。假如求落到地表所用時間，這么有s=0，則
$$h=frac{GM}{2(r+h)^2}t^2tag{3}$$
另外，我們還有$GM=r^2g$，g是月球表面的重力加速度。于是(3)又可以改寫成
$$h=frac{r^2g}{2(r+h)^2}t^2tag{4}$$
上述精確度有多高？我們不妨從h很小和h很大兩方面來驗證：
首先對于h遠遠大于r的情況，我們有$frac{r^2}{(r+h)^2}1$，于是(4)退化成
$$h=frac{g}{2}t^2tag{5}$$這正是我們在小學接觸到的自由落體的公式！
其次是對于r遠遠大于h的情況，我們不妨用這條公式求一下之前的一道題目：
一個物體自由下落，9天后抵達地面，問這個物體剛開始下落時的高度。
因為r遠遠大于h自由落體公式，得到：
$$h(r+h)^2=frac{r^2g}{2}t^2h^3tag{6}$$
我們把$r=,t=9*,g=9.8m//s^2$代入(6)自由落體公式，可以估算得到：
$h==51.5*10^4km$，這與官方答案幾乎完全相等！
由此可見，修正后的自由落體公式具有很高的正確性！為此，出席天文奧賽的同學不妨把握這公式，或則評卷人都會給你們額外的加分呢！（創意分^_^）