第二部份牛頓運(yùn)動(dòng)定理
第一講牛頓三定理
一、牛頓第一定理
1、定律。慣性的量度
2、觀念意義，突破“初態(tài)疑惑”
二、牛頓第二定理
1、定律
2、理解要點(diǎn)
a、矢量性
b、獨(dú)立作用性：ΣF→a，ΣFx→ax…
c、瞬時(shí)性。合力可突變，故加速度可突變（與之對(duì)比：速率和位移不可突變）；牛頓第二定理展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測(cè)量手段”）。
3、適用條件
a、宏觀、低速
b、慣性系
對(duì)于非慣性系的定理修正——引入慣性力、參與受力剖析
三、牛頓第三定理
1、定律
2、理解要點(diǎn)
a、同性質(zhì)（但不同物體）
b、等時(shí)效（同增同減）
c、無條件（與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、空間選擇無關(guān)）
第二講牛頓定理的應(yīng)用
一、牛頓第一、第二定理的應(yīng)用
單獨(dú)應(yīng)用牛頓第一定理的數(shù)學(xué)問題比較少，通常是須要用其解決數(shù)學(xué)問題中的某一個(gè)環(huán)節(jié)。
應(yīng)用要點(diǎn)：合力為零時(shí)，物體靠慣性維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；只有物體有加速度時(shí)才須要合力。有質(zhì)量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。
1、如圖1所示，在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下，皮帶運(yùn)輸機(jī)上方的皮帶以恒定的速率往右運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)將一制件（大小不計(jì)）在皮帶上端A點(diǎn)輕輕放下，則在隨后的過程中（）
A、一段時(shí)間內(nèi)，螺孔將在滑動(dòng)磨擦力作用下，對(duì)地做加速運(yùn)動(dòng)
B、當(dāng)型腔的速率等于v時(shí)，它與皮帶之間的磨擦力變?yōu)殪o磨擦力
C、當(dāng)型腔相對(duì)皮帶靜止時(shí)，它坐落皮帶上A點(diǎn)兩側(cè)的某一點(diǎn)
D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對(duì)靜止的狀態(tài)
解說：B選項(xiàng)須要用到牛頓第一定理，A、C、D選項(xiàng)用到牛頓第二定理。
較難突破的是A選項(xiàng)，在為何不會(huì)“立即跟上皮帶”的問題上，建議使用反證法（t→0，a→∞，則ΣFx→∞，必然會(huì)出現(xiàn)“供不應(yīng)求”的局面）和比較法（為何人跳上速率不大的物體可以不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)？因?yàn)槿耸强梢孕巫儭⒅匦目梢哉{(diào)節(jié)的特殊“物體”）
據(jù)悉，本題的D選項(xiàng)還要用到勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律。用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律和牛頓第二定理不難得出
只有當(dāng)L＞
時(shí)（其中μ為型腔與皮帶之間的動(dòng)磨擦誘因），才有相對(duì)靜止的過程，否則沒有。
答案：A、D
思索：令L=10m，v=2m/s，μ=0.2，g取10m/s2，試求型腔抵達(dá)皮帶右端的時(shí)間t（過程略，答案為5.5s）
進(jìn)階練習(xí)：在里面“思考”題中，將型腔給與一水平往右的初速v0，其它條件不變，再求t（中學(xué)生分以下三組進(jìn)行）——
①v0=1m/s(答：0.5+37/8=5.13s)
②v0=4m/s(答：1.0+3.5=4.5s)
③v0=1m/s(答：1.55s)
2、質(zhì)量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩聯(lián)接，之后掛在天花板上，如圖2所示。試問：
①如果在P處割斷細(xì)繩，在割斷瞬時(shí)，B的加速度是多少？
②如果在Q處割斷彈簧，在割斷瞬時(shí)，B的加速度又是多少？
解說：第①問是常規(guī)處理。因?yàn)椤皬椈刹粫?huì)立刻發(fā)生形變”，故割斷頓時(shí)彈簧彈力維持原值，所以此時(shí)B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。
第②問須要我們反思這樣一個(gè)問題：“彈簧不會(huì)立刻發(fā)生形變”的緣由是哪些？是A、B兩物的慣性，且速率v和位移s不能突變。但在Q點(diǎn)割斷彈簧時(shí)，彈簧卻是沒有慣性的（沒有質(zhì)量），遵照理想模型的條件，彈簧應(yīng)在剎那間恢復(fù)原長(zhǎng)！即彈簧彈力突變?yōu)榱恪?span style="display:none">N1S物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
答案：0；g。
二、牛頓第二定理的應(yīng)用
應(yīng)用要點(diǎn)：受力較少時(shí)，直接應(yīng)用牛頓第二定理的“矢量性”解題。受力比較多時(shí)，結(jié)合正交分解與“獨(dú)立作用性”解題。
在難度方面，“瞬時(shí)性”問題相對(duì)較大。
1、滑塊在固定、光滑、傾角為θ的斜面上下降，試求其加速度。
解說：受力剖析→根據(jù)“矢量性”定合力方向→牛頓第二定理應(yīng)用
答案：gsinθ。
思索：假如斜面解除固定，上表仍光滑，夾角仍為θ，要求滑塊與斜面相對(duì)靜止，斜面應(yīng)具備一個(gè)多大的水平加速度？（解題思路完全相同，研究對(duì)象仍為滑塊。但在第二環(huán)節(jié)上應(yīng)注意區(qū)別。答：gtgθ。）
進(jìn)階練習(xí)1：在一往右運(yùn)動(dòng)的車箱中，用細(xì)繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車箱的加速度。（和“思考”題同理，答：gtgθ。）
進(jìn)階練習(xí)2、如圖4所示，貨車在夾角為α的斜面上勻加速運(yùn)動(dòng)，車箱頂用細(xì)繩懸掛一小球，發(fā)覺懸繩與豎直方向產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的傾角β。試求貨車的加速度。
解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應(yīng)用，但物理處理復(fù)雜了一些（余弦定律解三角形）。
剖析小球受力后牛頓第一定律是什么時(shí)候?qū)W的，按照“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應(yīng)的傾角。設(shè)張力T與斜面方向的傾角為θ，則
θ=（90°+α）-β=90°-（β-α）（1）
對(duì)紅色三角形用余弦定律，有
（2）
解（1）（2）兩式得：ΣF=
最后運(yùn)用牛頓第二定理即可求小球加速度（即面包車加速度）
答：
。
2、如圖6所示，光滑斜面夾角為θ，在水平地面上加速運(yùn)動(dòng)。斜面上用一條與斜面平行的細(xì)繩系一質(zhì)量為m的小球，當(dāng)斜面加速度為a時(shí)（a＜ctgθ），小球才能保持相對(duì)斜面靜止。試求此時(shí)繩子的張力T。
解說：當(dāng)力的個(gè)數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時(shí)，宜用正交分解處理受力，在對(duì)應(yīng)牛頓第二定理的“獨(dú)立作用性”列多項(xiàng)式。
正交坐標(biāo)的選擇，視解題便捷程度而定。
解法一：先介紹通常的思路。沿加速度a方向建x軸，與a垂直的方向上建y軸，如圖7所示（N為斜面支持力）。于是可得兩多項(xiàng)式
ΣFx=ma，即Tx－Nx=ma
ΣFy=0，即Ty+Ny=mg
代入方位角θ，以上兩式成為
Tcosθ－Nsinθ=ma（1）
Tsinθ+Ncosθ=mg（2）
這是一個(gè)關(guān)于T和N的多項(xiàng)式組，解（1）（2）兩式得：T=mgsinθ+macosθ
解法二：下邊嘗試一下能夠獨(dú)立地解張力T。將正交分解的座標(biāo)選擇為：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。這時(shí)，在分解受力時(shí)，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個(gè)座標(biāo)軸上，是須要分解的。矢量分解后，如圖8所示。
按照獨(dú)立作用性原理，ΣFx=max
即：T－Gx=max
即：T－mgsinθ=macosθ
其實(shí)，獨(dú)立解T值是成功的。結(jié)果與解法一相同。
答案：mgsinθ+macosθ
思索：當(dāng)a＞ctgθ時(shí)，張力T的結(jié)果會(huì)變化嗎？（從支持力的結(jié)果N=mgcosθ－masinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條件已沒有意義。答：T=m
。）
中學(xué)生活動(dòng)：用正交分解法解本節(jié)第2題“進(jìn)階練習(xí)2”
進(jìn)階練習(xí)：如圖9所示，手動(dòng)電梯與地面的傾角為30°，但電梯的臺(tái)階是水平的。當(dāng)電梯以a=4m/s2的加速度向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，站在電梯上質(zhì)量為60kg的人相對(duì)電梯靜止。重力加速度g=10m/s2，試求電梯對(duì)人的靜磨擦力f。
解：這是一個(gè)展示獨(dú)立作用性原理的精典例題，建議中學(xué)生選擇兩種座標(biāo)（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對(duì)比解題過程，從而充分領(lǐng)會(huì)用牛頓第二定理解題的靈活性。
答：208N。
3、如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知。現(xiàn)將它們的水平繩割斷，試求：在割斷頓時(shí)，兩種情形下小球的瞬時(shí)加速度。
解說：第一步，闡述繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。
（中學(xué)生活動(dòng)）思索：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向上的力拉住小球靜止，之后同時(shí)釋放，會(huì)有哪些現(xiàn)象？緣由是哪些？
推論——繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。
第二步，在本例中，突破“繩子的拉力怎樣瞬時(shí)調(diào)節(jié)”這一難點(diǎn)（從正式開始的運(yùn)動(dòng)來反推）。
知識(shí)點(diǎn)，牛頓第二定理的瞬時(shí)性。
答案：a甲=gsinθ；a乙=gtgθ。
應(yīng)用：如圖11所示，吊籃P掛在天花板上，與吊籃質(zhì)量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當(dāng)懸掛吊籃的細(xì)繩被燒斷頓時(shí)，P、Q的加速度分別是多少？
解：略。
答：2g；0。
三、牛頓第二、第三定理的應(yīng)用
要點(diǎn)：在動(dòng)力學(xué)問題中，假如遇見幾個(gè)研究對(duì)象時(shí)，都會(huì)面臨怎樣處理對(duì)象之間的力和對(duì)象與外界之間的力問題，這時(shí)有必要引進(jìn)“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”等概念，并適時(shí)地運(yùn)用牛頓第三定理。
在技巧的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。后者是根本，前者有局限，也有難度，但往往使解題過程簡(jiǎn)化，使過程的數(shù)學(xué)意義愈發(fā)明確。
對(duì)N個(gè)對(duì)象，有N個(gè)隔離多項(xiàng)式和一個(gè)（可能的）整體多項(xiàng)式，這（N+1）個(gè)多項(xiàng)式中必有一個(gè)是通解多項(xiàng)式，怎么抉擇，視解題便捷程度而定。
補(bǔ)充：當(dāng)多個(gè)對(duì)象不具有共同的加速度時(shí)，通常來講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體多項(xiàng)式”，可以不受這個(gè)局限（可以介紹推論過程）——
Σ
=m1
+m2
+m3
+…+mn
其中Σ
只能是系統(tǒng)外力的矢量和，方程左邊也是矢量相乘。
1、如圖12所示，光滑水平面上放著一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)直棒，現(xiàn)給棒一個(gè)沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關(guān)系如何？
解說：截取隔離對(duì)象，列整體多項(xiàng)式和隔離多項(xiàng)式（隔離右段較好）。
答案：N=
x。
思索：假如水平面粗糙，推論又怎樣？
解：分兩種情況，（1）能帶動(dòng)；（2）不能帶動(dòng)。
第（1）情況的估算和原題基本相同，只是多了一個(gè)磨擦力的處理，推論的通分也麻煩一些。
第（2）情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為M，和水平面的磨擦誘因?yàn)棣蹋鳩=μ
Mg，其中l(wèi)＜L，則x＜(L-l)的右段沒有張力，x＞(L-l)的上端才有張力。
答：若棒仍能被帶動(dòng)，推論不變。
若棒不能被帶動(dòng)，且F=μ
Mg時(shí)（μ為棒與平面的磨擦誘因，l為大于L的某一值，M為棒的總質(zhì)量），當(dāng)x＜(L-l)，N≡0；當(dāng)x＞(L-l)，N=
〔x-〈L-l〉〕。
應(yīng)用：如圖13所示，在夾角為θ的固定斜面上，疊放著兩個(gè)長(zhǎng)方體滑塊，它們的質(zhì)量分別為m1和m2，它們之間的磨擦誘因、和斜面的磨擦誘因分別為μ1和μ2，系統(tǒng)釋放后才能一起加速下降，則它們之間的磨擦力大小為：
A、μθ；B、μθ；
C、μθ；D、μθ；
解：略。
答：B。（方向沿斜面向下。）
思索：（1）假如兩滑塊不是下降，而是以初速率v0一起上沖，以上推論會(huì)變嗎？（2）假如斜面光滑，兩滑塊之間有沒有磨擦力？（3）假如將下邊的滑塊換成如圖14所示的袋子，里面的滑塊換成小球，它們以初速率v0一起上沖，球應(yīng)對(duì)袋子的哪兩側(cè)內(nèi)壁有壓力？
解：略。
答：（1）不會(huì)；（2）沒有；（3）若斜面光滑，對(duì)兩內(nèi)壁均無壓力，若斜面粗糙，對(duì)斜面上方的內(nèi)壁有壓力。
2、如圖15所示，三個(gè)物體質(zhì)量分別為m1、m2和m3，帶滑輪的物體放到光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的磨擦均不計(jì)，繩子的質(zhì)量也不計(jì)，為使三個(gè)物體無相對(duì)滑動(dòng)，水平推力F應(yīng)為多少？
解說：
此題對(duì)象其實(shí)有三個(gè)，但難度不大。隔離m2，豎直方向有一個(gè)平衡多項(xiàng)式；隔離m1，水平方向有一個(gè)動(dòng)力學(xué)多項(xiàng)式；整體有一個(gè)動(dòng)力學(xué)多項(xiàng)式。就足以解題了。
答案：F=
。
思索：若將質(zhì)量為m3物體一側(cè)挖成凹形，讓m2可以自由擺動(dòng)（而不與m3相撞），如圖16所示，其它條件不變。是否可以選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)腇′，使兩者無相對(duì)運(yùn)動(dòng)？假如沒有，說明理由；假如有，求出這個(gè)F′的值。
解：此時(shí)，m2的隔離多項(xiàng)式將較為復(fù)雜。設(shè)繩子張力為T，m2的受力情況如圖，隔離多項(xiàng)式為：
=m2a
隔離m1，仍有：T=m1a
解以上兩式，可得：a=
最后用整體法解F即可。
答：當(dāng)m1≤m2時(shí)，沒有適應(yīng)題意的F′；當(dāng)m1＞m2時(shí)，適應(yīng)題意的F′=
。
3、一根質(zhì)量為M的木棍，下端用細(xì)繩系在天花板上，棒上有一質(zhì)量為m的貓，如圖17所示。現(xiàn)將系木棍的繩子割斷，同時(shí)貓相對(duì)棒往上爬，但要求貓對(duì)地的高度不變，則棒的加速度將是多少？
解說：法一，隔離法。須要設(shè)出貓爪抓棒的力f，之后列貓的平衡多項(xiàng)式和棒的動(dòng)力學(xué)多項(xiàng)式，解多項(xiàng)式組即可。
法二，“新整體法”。
據(jù)Σ
=m1
+m2
+m3
+…+mn
，貓和棒的系統(tǒng)外力只有二者的重力，豎直向上，而貓的加速度a1=0，所以：
（M+m）g=m·0+Ma1
解棒的加速度a1非常容易。
答案：
g。
四、特殊的聯(lián)接體
當(dāng)系統(tǒng)中各個(gè)體的加速度不相等時(shí)，精典的整體法不可用。假如各個(gè)體的加速度不在一條直線上，“新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。此時(shí)，我們回到隔離法，且要愈發(fā)注意找各熱阻之間的聯(lián)系。
解題思想：抓某個(gè)方向上加速度關(guān)系。方式：“微元法”先看位移關(guān)系，再推加速度關(guān)系。、
1、如圖18所示牛頓第一定律是什么時(shí)候?qū)W的，一質(zhì)量為M、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。
解說：本題涉及兩個(gè)物體，它們的加速度關(guān)系復(fù)雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。對(duì)二者列隔離多項(xiàng)式時(shí)，勿必在這個(gè)方向上進(jìn)行突破。
（中學(xué)生活動(dòng)）定型判定斜面的運(yùn)動(dòng)情況、滑塊的運(yùn)動(dòng)情況。
位移矢量示意圖如圖19所示。按照運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，加速度矢量a1和a2也具有這樣的關(guān)系。
（中學(xué)生活動(dòng)）這兩個(gè)加速度矢量有哪些關(guān)系？
沿斜面方向、垂直斜面方向建x、y座標(biāo)，可得：
a1y=a2y①
且：a1y=a2sinθ②
隔離滑塊和斜面，受力圖如圖20所示。
對(duì)滑塊，列y方向隔離多項(xiàng)式，有：
mgcosθ-N=ma1y③
對(duì)斜面，仍沿合加速度a2方向列多項(xiàng)式，有：
Nsinθ=Ma2④
解①②③④式即可得a2。
答案：a2=
。
（中學(xué)生活動(dòng)）思索：怎么求a1的值？
解：a1y已可以通過解里面的多項(xiàng)式組求出；a1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離多項(xiàng)式即可，即便有mgsinθ=ma1x，得:a1x=gsinθ。最后據(jù)a1=
求a1。
答：a1=
。
2、如圖21所示，與水平面成θ角的AB棒上有一滑套C，可以無磨擦地在棒上滑動(dòng)，開始時(shí)與棒的A端相距b，相對(duì)棒靜止。當(dāng)棒保持夾角θ不變地沿水平面勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a（且a＞gtgθ）時(shí)，求滑套C從棒的A端滑出所經(jīng)歷的時(shí)間。
解說：這是一個(gè)比較特殊的“連接體問題”，尋求運(yùn)動(dòng)學(xué)熱阻的關(guān)系雖然比動(dòng)力學(xué)剖析更加重要。動(dòng)力學(xué)方面，只須要隔離滑套C就行了。
（中學(xué)生活動(dòng)）思索：為何題意要求a＞gtgθ？（聯(lián)系本講第二節(jié)第1題之“思考題”）
定性繪出符合題意的運(yùn)動(dòng)過程圖，如圖22所示：S表示棒的位移，S1表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直角座標(biāo)后，S1x表示S1在x方向上的份量。不難看出：
S1x+b=Scosθ①
設(shè)全程時(shí)間為t，則有：
S=
at2②
S1x=
a1xt2③
而隔離滑套，受力圖如圖23所示，即便：
mgsinθ=ma1x④
解①②③④式即可。
答案：t=
另解：假如引進(jìn)動(dòng)力學(xué)在非慣性系中的修正式Σ
*=m
（注：
*為慣性力），此題極簡(jiǎn)單。過程如下——
以棒為參照，隔離滑套，剖析受力，如圖24所示。
注意，滑套相對(duì)棒的加速度a相是沿棒向下的，故動(dòng)力學(xué)多項(xiàng)式為：
F*cosθ-mgsinθ=ma相（1）
其中F*=ma（2）
但是，以棒為參照，滑套的相對(duì)位移S相就是b，即：
b=S相=
a相t2（3）
解（1）（2）（3）式就可以了。
第二講配套例題選講
教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教材》，知識(shí)出版社，2002年8月第一版。
例題選講針對(duì)“教材”第三章的部份例題和習(xí)題。
