初步知識角動量
思路：根據一個力學量（測量量）的經典表達，可以寫出相應的算子（這其實是量子力學的一個重要假設，課本上經常忽略它，直接告訴你可以這么做）
從經典公式到運算符
經典力學中粒子的角動量公式為
begin{align}&{{L}} = {{r}} \times {{p}}&(1)\end{align}
其中{{r}}是從參考點到物體的位置向量，{{p}}是粒子的動量。 或者在直角坐標系中寫成組件形式（以原點為參考點）
begin{align}&L_x = y p_z - z p_y qquad L_y = z p_x - x p_z qquad L_z = x p_y - y p_x&(2)\end{align}
現在我們使用方程 2 來定義三個方向的角動量算子。 這時x,y,z,p_x,p_y,p_z也應該理解為運算符。 類似地，如果 {{r}} = x hat{{{x}}} + y hat{{{y}}} + z hat{{{z}} } 表示位置向量運算符，使用 {{p}} = p_x hat{{{x}}} + p_y hat{{{y}}} + p_z hat{{{ z} }} 表示動量向量算子什么叫角動量，角動量向量算子可以通過方程1來定義。我們還可以定義角動量平方（標量）算子
begin{align}&{{L}} ^2 = {{L}} \cdot {{L}} = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2&(3)\ 結束{對齊}
除了x、y、z三個方向上的角動量分量外，我們還可以將任意方向上的角動量分量表示為 hat{{{n}}} \cdot {{L}}運算符和所有與 {{L}} ^2 運算符進行交換。
begin{align}&L_n = n_x L_x + n_y L_y + n_z L_z qquad (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1)&(4)\end{align}
交換關系
對于角動量分量，理想的情況是如果特征方程可以解
begin{align}&{{L}} psi = {{l}} psi&(5)\end{align}
我們可以得到向量特征值{{l}}，那么測量{{L}}特征態的結果一定是{{l}}。 但事實上，{{L}}幾乎從來不會單獨使用，因為上面的公式無解。 為什么呢？求解上式，充要條件是psi存在，使得三個分量同時有解。
begin{align}&L_x psi = l_x psi qquad L_y psi = l_y psi qquad L_z psi = l_z psi&(6)\end{align}
不幸的是，L_x、L_y和L_z中的任意兩個都不可交換，因此不存在公共特征函數（參見“算子交換和公共特征向量函數”）。可以證明，三個算子之間的交換關系為
begin{align}&[L_x, L_y] = {i} L_z qquad [L_y, L_z] = {i} L_x qquad [L_z, L_x] = {i} L_y&(7)\end {對齊}
事實上，我們只能同時知道三個分量之一（不確定性原理，通常我們選擇求解 L_z L_z psi = l_zpsi 的特征方程。
幸運的是，L^2 與 L_x、L_y、L_z（或任何 L_n）可交換，因此必須存在一組特征函數，它們同時是 L_x、L_y、L_z 和 L^2 之一的特征函數。 我們習慣計算L^2和L_z的共同特征向量。
升高和降低算子和特征值
如果要求解L^2和L_z的共同特征函數，通常的方法是先將算子的表達式轉換為球坐標，然后求解方程。 但是我們現在將使用一種更簡單（但非常重要）的方法，即提升算子（已經在簡單諧振子問題中看到）來繞過本征函數，直接求出公共波函數的簡并性以及兩個操作員。
由于沒有辦法找出升、降算子什么叫角動量，這里我們直接給出并證明L_z的升、降算子分別為
begin{align}&L_pm = L_x pm {i} L_y&(8)\end{align}
根據提升算子的一種定義，要證明它們是提升算子，只需證明 [L_z, L_pm] L_pm 即可。 結論是（證明見常用算子交換表）
begin{align}&[L_z, L_pm] = pm hbar L_ pm&(9)\end{align}
與簡諧振子的提升算子類似，我們也需要一個歸一化系數，使得 hat{{{L}}} _pm leftlvert l,m right = A_ pm left lvert l,m pm 1 right 成立（參見軌道角動量升落算子歸一化）。結論是
begin{align}&hat{L} _pm leftlvert l, m right = hbar sqrt{l(l + 1) - m(m pm 1)} leftlvert l , m pm 1 right&(10)\end{align}
由于 leftlvert l,m right 也是
（已撤消）
