本文為2021年10月22日丘成桐院士在東南大學(xué)劍雄學(xué)院揭牌暨數(shù)學(xué)學(xué)科創(chuàng)建百年慶典上的講話(huà)實(shí)錄，發(fā)表于《數(shù)學(xué)人文》（訂閱號(hào)：）未經(jīng)許可不得轉(zhuǎn)載。
今天我很榮幸能在東南大學(xué)吳健雄學(xué)院講幾句話(huà)。 一方面也紀(jì)念東南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科創(chuàng)建的百年歷史。 東南大學(xué)在中國(guó)學(xué)術(shù)界一直具有舉足輕重的地位。
1933年，曾向我的老師陳省身先生（1911-2004）傳授射影微分幾何的孫光遠(yuǎn)教授（1900-1979）離開(kāi)清華大學(xué)，到東南大學(xué)任教授。 我的兩個(gè)朋友程重慶教授和沉向陽(yáng)教授都是東南大學(xué)本科生。 這表明東南大學(xué)在人才培養(yǎng)方面做出了重要貢獻(xiàn)。 但毫無(wú)疑問(wèn)，在東南大學(xué)的校友中，吳健雄先生（1912-1997）是被永遠(yuǎn)銘記的一位。
吳健雄
二十多年前，我在臺(tái)灣中央研究院開(kāi)會(huì)時(shí)，總會(huì)見(jiàn)到吳健雄先生和她的丈夫袁家騮先生（1912-2003）。 在與她夫婦聊天時(shí)，我欽佩她的知識(shí)，尤其是她在實(shí)驗(yàn)物理方面的工作。
袁家騮和吳健雄夫婦
1936年，她赴加州大學(xué)伯克利分校，師從物理學(xué)大師勞倫斯（1901-1958）。 我本人也在伯克利師從數(shù)學(xué)大師陳省身。 雖然那件事已經(jīng)過(guò)去了33年，但我們的交流仍然很有趣。
她一生在β衰變物理學(xué)方面做了許多重要的工作。 最杰出的工作是1956年，她帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)在極低的溫度下利用強(qiáng)磁場(chǎng)極化鈷60原子核的自旋方向來(lái)觀察鈷60。 原子核β衰變所發(fā)射電子的發(fā)射方向。 她的團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)大多數(shù)電子以與鈷 60 原子核自旋相反的方向離開(kāi)。 這證實(shí)了弱相互作用中宇稱(chēng)不守恒，也驗(yàn)證了李正道和楊振寧同年提出的假設(shè)。
這個(gè)實(shí)驗(yàn)震驚了物理學(xué)界，李和楊獲得了諾貝爾獎(jiǎng)。 但令人驚訝的是，她并沒(méi)有獲得諾貝爾獎(jiǎng)。 對(duì)于此事，學(xué)界不少人都為她感到委屈。 不過(guò)，她擁有了當(dāng)時(shí)物理學(xué)界給予學(xué)者的一切榮譽(yù)，此生應(yīng)該無(wú)悔。
吳建雄先生的工作主要集中在對(duì)自然的實(shí)驗(yàn)觀察，特別是β衰變引起的各種現(xiàn)象。 這是西方文藝復(fù)興時(shí)期和古希臘時(shí)期重要的科學(xué)方法。 愛(ài)因斯坦（1879-1955）曾在給斯維策（JE）（1953，收錄于《愛(ài)因斯坦文集》（第一卷））的回信中說(shuō)過(guò)：
“西方科學(xué)的發(fā)展基于兩項(xiàng)偉大成就：希臘哲學(xué)家發(fā)明了形式邏輯系統(tǒng)（歐幾里得幾何學(xué)），以及通過(guò)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)因果關(guān)系的可能性（文藝復(fù)興時(shí)期）。 在我看來(lái)，中國(guó)圣賢沒(méi)有采取這些步驟并不奇怪。 但令人驚訝的是這些發(fā)現(xiàn)竟然存在。”
愛(ài)因斯坦的意思是，數(shù)學(xué)推理方法加上上述實(shí)驗(yàn)觀察是現(xiàn)代科學(xué)方法的基礎(chǔ)。 世人驚奇的是，宇宙是美麗而有序的，并且可以通過(guò)這些方法來(lái)理解。
觀察天象并利用可控實(shí)驗(yàn)尋找展現(xiàn)自然真實(shí)本質(zhì)的數(shù)據(jù)，確實(shí)是現(xiàn)代科學(xué)的第一步。 但如何在大量的觀察和數(shù)據(jù)中找到關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)解釋我們所看到的現(xiàn)象，是現(xiàn)象學(xué)物理學(xué)家的重點(diǎn)工作。 一般來(lái)說(shuō)，一種新現(xiàn)象出現(xiàn)后，大量學(xué)者開(kāi)始建立各種模型來(lái)模擬我們所看到的現(xiàn)象。
模型當(dāng)然可以建立，但往往太多，而且大多數(shù)都經(jīng)不起時(shí)間的考驗(yàn)。 如何判斷模型是否正確？ 一般來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)時(shí)間檢驗(yàn)的理論將會(huì)發(fā)揮重要作用。 因?yàn)檫@些理論在不同的地方都被證明是有效的，所以是可以信賴(lài)的。 如果新模型在這些理論面前站不住腳，那么一般來(lái)說(shuō)這個(gè)模型就有問(wèn)題了！
然而，一種理論——無(wú)論它多么美麗，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)必須是一致的，不能產(chǎn)生矛盾，否則就無(wú)法解釋自然現(xiàn)象。 物理和工程的理論都是用數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)的，但物理學(xué)家和工程師經(jīng)常直觀地使用數(shù)學(xué)工具。 在很多細(xì)節(jié)上，他們沒(méi)有注意到數(shù)學(xué)上的微妙變化比他們想象的還要復(fù)雜。 。 他們一開(kāi)始認(rèn)為是完美的理論，當(dāng)他們深入研究時(shí)可能會(huì)充滿(mǎn)缺陷。
一般來(lái)說(shuō)，物理學(xué)家和工程師希望看到他們的理論迅速得到應(yīng)用，就會(huì)突飛猛進(jìn)，而不注意他們推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。 數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度對(duì)科學(xué)理論和模型有很大幫助。 在眾多可能的模型中，只有數(shù)學(xué)上兼容的模型才能生存。 當(dāng)經(jīng)典力學(xué)推向量子力學(xué)時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)上的不相容性，物理學(xué)家稱(chēng)之為異常現(xiàn)象（）。 這種異常幫助我們選擇模型的正確性，在弦理論中，幫助我們選擇規(guī)范群和時(shí)空維度。
無(wú)論如何，物理學(xué)家堅(jiān)持認(rèn)為正確的物理理論必須經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證才能被認(rèn)為是成功的。 這是一個(gè)非常正確的觀點(diǎn)。 自然界的現(xiàn)象太復(fù)雜了，所以理論漸近地模擬了這些復(fù)雜的現(xiàn)象，所以重復(fù)的實(shí)驗(yàn)是驗(yàn)證理論的必要過(guò)程。
物理理論常常會(huì)推導(dǎo)出一些有趣的數(shù)學(xué)公式，甚至為數(shù)學(xué)家找到一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案。 然而，物理學(xué)家使用的工具從數(shù)學(xué)角度來(lái)看往往并不嚴(yán)格，例如量子場(chǎng)論，其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)本身仍然是一個(gè)謎。 然而，從量子場(chǎng)論中得到的數(shù)學(xué)結(jié)論可能只是數(shù)學(xué)家的夢(mèng)想。
在弦理論中，大約三十年前，我的一位博士后布萊恩·格林（Brian）和我的朋友坎德拉斯（）等人在所謂的丘流形（-Yau流形）中引入了鏡像對(duì)稱(chēng)性。 ( )的概念震驚了我們的幾何數(shù)學(xué)家！ 當(dāng)他們與我討論這個(gè)想法時(shí)，我認(rèn)為這種鏡像對(duì)稱(chēng)不太可能存在。 但當(dāng)他們用這個(gè)概念解決數(shù)學(xué)上的一個(gè)世紀(jì)難題時(shí)，我不禁對(duì)他們表示敬佩。
這個(gè)問(wèn)題可以解釋如下。考慮一個(gè)方程
我們正在尋找有理函數(shù)
滿(mǎn)足上式。 該解稱(chēng)為有理曲線(xiàn)。 每條有理曲線(xiàn)都有一個(gè)度 ()。當(dāng)度
當(dāng)時(shí)，一百多年前，德國(guó)數(shù)學(xué)家舒伯特（1848-1911）計(jì)算出了2875條滿(mǎn)足上述五階多項(xiàng)式方程的有理曲線(xiàn)。
我的朋友卡茨大約四十年前就得到了答案。 度數(shù)越大，計(jì)算就越困難。 沒(méi)有找到通用答案的好方法。 但通過(guò)鏡像對(duì)稱(chēng)的方法，可以找到一個(gè)美麗的公式，它可以解答所有程度的問(wèn)題。
1990 年，我在伯克利主持了一次匯聚了數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的會(huì)議。 數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家為了這個(gè)公式發(fā)生了爭(zhēng)吵！ 為什么？ 當(dāng)時(shí)，兩位挪威數(shù)學(xué)家通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證得出結(jié)論，次數(shù)等于3的有理曲線(xiàn)有條形，但上述物理學(xué)家得到的答案是條形。
這個(gè)矛盾引起了激烈的爭(zhēng)論，數(shù)學(xué)家們很不服氣，因?yàn)槲锢韺W(xué)家的推論并不嚴(yán)格，但物理學(xué)家卻找不到他們推論中的錯(cuò)誤。 三個(gè)月后，事情終于得到解決：兩名挪威學(xué)者在計(jì)算時(shí)使用了計(jì)算機(jī)程序，過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤。 錯(cuò)誤被糾正后，結(jié)果與物理學(xué)家的答案一致，大家都松了口氣。 語(yǔ)氣。 從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們對(duì)弦理論有了新的認(rèn)識(shí)！ 一大批杰出的數(shù)學(xué)家加入了這一領(lǐng)域的研究，為物理學(xué)家在弦理論方面做出了深入的貢獻(xiàn)。
從這個(gè)時(shí)候開(kāi)始。 理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的合作進(jìn)入了一個(gè)新時(shí)代。 數(shù)學(xué)家利用幾十年來(lái)發(fā)展的知識(shí)來(lái)推廣物理學(xué)家的方法并獲得許多重要的結(jié)果。
然而，對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，量子場(chǎng)論產(chǎn)生的理論總是如霧里看花，不敢太相信。 有很多事情物理學(xué)家認(rèn)為是顯而易見(jiàn)的，但數(shù)學(xué)家需要重新定義它們才能理解其內(nèi)容。 。 從弦理論中獲得的物理直覺(jué)可以通過(guò)量子場(chǎng)論推導(dǎo)出許多重要的數(shù)學(xué)公式。 數(shù)學(xué)家們很羨慕，因?yàn)檫@些公式解決了他們幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)的問(wèn)題。 但包括物理學(xué)家在內(nèi)，沒(méi)有人認(rèn)為這些公式已經(jīng)被證明。 我們有一種非常奇怪的感覺(jué)，我們正在由弦理論家領(lǐng)導(dǎo)來(lái)解決一些重要的核心數(shù)學(xué)問(wèn)題！ 即使現(xiàn)在，我們?nèi)匀挥羞@樣的感覺(jué)。
1995年至1996年間，伯克利的（）和連文浩-劉克峰-I三人小組用純數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證了坎德拉斯公式，我們松了口氣。
我們終于有了一個(gè)經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明的數(shù)學(xué)定理，而且證明過(guò)程并沒(méi)有使用物理學(xué)中的量子場(chǎng)論。 這是一件值得慶祝的事情，為什么呢？ 除了用數(shù)學(xué)方法嚴(yán)格解決一個(gè)百年難題之外，我們還證明了從弦理論直觀得到的結(jié)果是正確的。
我們知道，到目前為止，弦理論還沒(méi)有實(shí)驗(yàn)證明其正確性，但由它推導(dǎo)出來(lái)的數(shù)學(xué)公式已經(jīng)被嚴(yán)格證明。 事實(shí)上，弦理論不僅引出了重要的數(shù)學(xué)公式，而且創(chuàng)造了許多深入的數(shù)學(xué)方向，整合了不同的數(shù)學(xué)分支。 而這些新的數(shù)學(xué)已經(jīng)成為研究物理的重要工具！
當(dāng)然，要充分證明弦理論是自然基礎(chǔ)理論的一部分，仍然極其需要實(shí)驗(yàn)和觀察。 但我們堅(jiān)信，優(yōu)美、簡(jiǎn)潔、深刻的數(shù)學(xué)理論一定是大自然的一部分。
我自己的看法是：
簡(jiǎn)單而美麗的數(shù)學(xué)，是大自然展現(xiàn)給人類(lèi)最美的部分！ 素?cái)?shù)、虛數(shù)、幾何圖形、基波、美麗的組合，誰(shuí)說(shuō)這些不是大自然的一部分？
我們?cè)絹?lái)越意識(shí)到這些聽(tīng)起來(lái)抽象的概念，也越來(lái)越意識(shí)到它們無(wú)處不在！
我們來(lái)談?wù)剬?duì)稱(chēng)的概念。 最簡(jiǎn)單的一種是鏡像對(duì)稱(chēng)。 每個(gè)人照鏡子的時(shí)候都會(huì)有這樣的感覺(jué)。 任何有文化的國(guó)家都知道這種對(duì)稱(chēng)性。 古代中國(guó)有，古埃及有，古巴比倫有，古印度有，古希臘有物理學(xué)家修真，古波斯有。 這種對(duì)稱(chēng)性是如此明顯，以至于當(dāng)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)它并沒(méi)有表現(xiàn)在弱力的β衰變過(guò)程中時(shí)，他們感到非常驚訝！
對(duì)稱(chēng)思想一直是貫徹?cái)?shù)學(xué)中心思想的重要概念。 這似乎是顯而易見(jiàn)的，但它真正發(fā)展成為數(shù)學(xué)中的重要工具始于 19 世紀(jì)初期的伽羅瓦理論。 伽羅瓦（é，1811-1832）使用置換群解釋了用根式求解一個(gè)變量的多項(xiàng)式方程的充要條件。
伽羅瓦
事實(shí)上，自從意大利人塔爾塔利亞（ò，1500-1557）發(fā)現(xiàn)三次方程的根式解公式（又稱(chēng)卡爾達(dá)諾公式）以來(lái)，大家都認(rèn)為所有方程都有根式解。 伽羅瓦為每個(gè)多項(xiàng)式引入了一個(gè)群（伽羅瓦群），他證明了多項(xiàng)式方程有根式解的充要條件是該群可解（）。 對(duì)于一般大于五次的多項(xiàng)式方程，該群是不可解的。 因此伽羅瓦得出結(jié)論，當(dāng)次數(shù)大于五時(shí)，一般多項(xiàng)式方程沒(méi)有根式解。
將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為群?jiǎn)栴}是現(xiàn)代物理學(xué)家常用的方法。 1854 年凱萊（，1821-1895）和 1856 年戴德金（，1831-1916）定義了抽象有限群。 從那時(shí)起，我們就看到了各種各樣的對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象。
經(jīng)過(guò)150多年的努力，數(shù)學(xué)家終于得到了有限群的分類(lèi)結(jié)果，基本了解了有限群的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。 最基本的組是簡(jiǎn)單組。 除了少數(shù)“經(jīng)典簡(jiǎn)單群”外，簡(jiǎn)單群的數(shù)量有限。 它們極其復(fù)雜，但又極其美麗。 有很多群理論家參與這項(xiàng)工作，其中之一是密歇根大學(xué)的格蕾絲（路易斯），她是我的朋友。 1980年，當(dāng)他宣布第一個(gè)重要成果時(shí)，他正在普林斯頓高等研究院。當(dāng)時(shí)我也在普林斯頓高等研究院，這令人興奮！
這個(gè)群最初被稱(chēng)為“群”，但是當(dāng)1982年論文發(fā)表時(shí)，它被更名為“巨人”。這個(gè)群的元素?cái)?shù)量大約是
，太陽(yáng)系中的原子數(shù)量約為
。 如果使用矩陣變換來(lái)表示，則需要一維空間。
后來(lái)，博爾切茲（）發(fā)現(xiàn)了幻群、模函數(shù)和弦論之間的關(guān)系。 對(duì)稱(chēng)的概念不再只是一種普遍的感覺(jué)。 其背后有深刻的數(shù)學(xué)理論。
這些抽象的有限群如何在具體的物理現(xiàn)象中表現(xiàn)出來(lái)，稱(chēng)為群表示論。 我們還沒(méi)有理解有限群的所有表示論，但是獲得的結(jié)果是豐富的。 有限群在數(shù)論、幾何、經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中發(fā)揮著重要作用。 我們看到的對(duì)稱(chēng)性不再是簡(jiǎn)單的交換對(duì)稱(chēng)性，它比鏡像對(duì)稱(chēng)的概念要復(fù)雜得多。
事實(shí)上，中國(guó)人引以為傲的《易經(jīng)》使用了大量對(duì)稱(chēng)概念，但與普通有限群的結(jié)構(gòu)相比，卻簡(jiǎn)單得多。 再加上深入的群表示理論，我們可以梳理復(fù)雜的自然和數(shù)學(xué)現(xiàn)象，得到許多令人驚奇而美麗的定理。
19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家引入了另一個(gè)劃時(shí)代的工具——連續(xù)群。 為了紀(jì)念它的創(chuàng)始人挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李（Lie，1842-1899），我們將其稱(chēng)為李群。 李是一位幾何學(xué)家，而李群本身就是一個(gè)微分流形。 它被提出后，很快被數(shù)學(xué)家們發(fā)展起來(lái)。 同時(shí)期的重要學(xué)者還有基林（1847-1923）、菲利克斯·克萊因（1849-1925）等人。 與有限群相比，連續(xù)對(duì)稱(chēng)群對(duì)于幾何和物理現(xiàn)象更為重要。 因?yàn)樵谘芯窟B續(xù)對(duì)稱(chēng)時(shí)，可以引入大量的微積分工具！
1872年，克萊因在德國(guó)（）公布了“埃爾蘭根綱領(lǐng)”，利用連續(xù)群的對(duì)稱(chēng)性對(duì)幾何進(jìn)行分類(lèi)，影響了二十世紀(jì)幾何學(xué)的發(fā)展。 克萊因還引入了離散群的概念。 在龐加萊（Jules Henrié，1854-1912）的幫助下，離散群成為幾何學(xué)中描述幾何結(jié)構(gòu)內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性的又一工具，也為數(shù)論學(xué)家提供了重要的方法。
緊連續(xù)群的結(jié)構(gòu)理論最終由嘉當(dāng)（élie，1869-1951）領(lǐng)導(dǎo)的一批數(shù)學(xué)家在二十世紀(jì)初完成，其表示論則由偉大的數(shù)學(xué)家韋爾（Weyl，1885-1955）完成。 ，從而成為二十世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)工具——數(shù)論、幾何和物理學(xué)都以這些知識(shí)為主要研究工具。
與克萊因的埃爾蘭根綱領(lǐng)類(lèi)似，現(xiàn)代理論物理學(xué)是按李群分類(lèi)的。 連續(xù)群很早就起源于物理學(xué)，由德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家諾特完成（艾美獎(jiǎng)，1882-1935）。 物理學(xué)家常說(shuō)，對(duì)稱(chēng)性的概念是愛(ài)因斯坦在研究廣義相對(duì)論時(shí)引入的。 這種說(shuō)法與事實(shí)相去甚遠(yuǎn)！ 廣義相對(duì)論（）的工作原理完全是由希爾伯特（大衛(wèi)，1862-1943）引入的，與愛(ài)因斯坦無(wú)關(guān)！ 但希爾伯特卻受到了諾特的影響！ 1915 年，她正在考慮連續(xù)對(duì)稱(chēng)性如何生成物理運(yùn)動(dòng)方程。 諾特的文章發(fā)表于1918年，成為一百年來(lái)理論物理學(xué)家研究場(chǎng)方程的主要工具。
諾特
自從諾特的工作以來(lái)，物理學(xué)家迷信地認(rèn)為所有自然現(xiàn)象都必須具有基本對(duì)稱(chēng)性。 事實(shí)上，諾特的理論需要連續(xù)對(duì)稱(chēng)群的作用，但沒(méi)有考慮離散群的作用。 所以從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，弱力沒(méi)有必要遵守宇稱(chēng)守恒定律。 一個(gè)有趣的問(wèn)題是，為什么強(qiáng)力遵守宇稱(chēng)守恒定律？
事實(shí)上，直到20世紀(jì)60年代末，高能物理所使用的數(shù)學(xué)工具仍然是微擾法：改變某些已知解附近的某些參數(shù)，看看解如何變化。 這種精神起源于數(shù)學(xué)的變分法，以歐拉（Euler，1707-1783）和拉格朗日（，1736-1813）為主要?jiǎng)?chuàng)始人。 拉格朗日分析方法至今仍在使用。 當(dāng)物理宏觀環(huán)境尚不明確時(shí)，攝動(dòng)方法仍是主要工具。 一般來(lái)說(shuō)，擾動(dòng)中使用的物理對(duì)稱(chēng)群是連續(xù)群。 20世紀(jì)50年代之前的物理學(xué)，主要工具是微擾法，主要是諾特流（ flow）。 在這個(gè)框架中，有限對(duì)稱(chēng)群的出現(xiàn)不一定是自然的。
另一方面，更大的對(duì)稱(chēng)性思想源自經(jīng)典力學(xué)和電磁學(xué)。 拉格朗日在研究力學(xué)時(shí)引入了極其重要的勢(shì)（勢(shì)）概念，而拉普拉斯（-西蒙，1749-1827）則利用引力場(chǎng)的勢(shì)寫(xiě)下了牛頓引力方程。 拉普拉斯方程影響了數(shù)學(xué)近三百年。 例如，廣義相對(duì)論中的愛(ài)因斯坦方程就是在牛頓方程的基礎(chǔ)上構(gòu)建的，并添加了狹義相對(duì)論和等效原理。 但潛力并不是唯一的，并且可以相差一個(gè)常數(shù)。
19世紀(jì)，電磁學(xué)成為物理學(xué)的一個(gè)重大問(wèn)題。 麥克斯韋（詹姆斯·克拉克，1831-1879）通過(guò)法拉第（1791-1867）等人的著名實(shí)驗(yàn)，完善了高斯和黎曼的概念，得到了麥克斯韋方程組。 。 電和磁都有勢(shì)，相位差是函數(shù)。 這就是規(guī)范概念的雛形。
同一時(shí)期，黎曼（1826-1866）開(kāi)始提出黎曼幾何的概念。 該幾何圖形背后的對(duì)稱(chēng)群是通過(guò)所有坐標(biāo)變換獲得的。 這種觀點(diǎn)可視為物理學(xué)的等效原理。 這一事實(shí)成為愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)。
愛(ài)因斯坦方程 1915年愛(ài)因斯坦成功完成廣義相對(duì)論方程之后，他希望將所有物質(zhì)置于廣義相對(duì)論的框架內(nèi)。 許多幾何學(xué)家參與了這項(xiàng)工作，其中列維-奇維塔（Levi-，1873-1941）是其中重要的一位。 他推廣了黎曼幾何中平行運(yùn)動(dòng)的概念，并允許扭轉(zhuǎn)（）。
基本上，從幾何角度來(lái)看，他已經(jīng)向通用規(guī)范場(chǎng)邁出了一步。 1918年，外爾在其著作《空間、時(shí)間、物質(zhì)》（Raum，Zeit，）中正式引入了規(guī)范場(chǎng)的概念，但他的規(guī)范群是正實(shí)數(shù)群。 愛(ài)因斯坦非常喜歡他的建議，但他也指出，這個(gè)群使得平行移動(dòng)時(shí)長(zhǎng)度無(wú)法保證，不符合物理學(xué)的要求。
量子力學(xué)誕生后，倫敦（Fritz，1900-1954）等人于1926年將規(guī)范群改為圓形。長(zhǎng)度得到了保證，韋爾由此推導(dǎo)出麥克斯韋方程組。 韋爾聲稱(chēng)規(guī)范場(chǎng)與重力沒(méi)有直接關(guān)系，但卻是物質(zhì)世界的主宰。 具有物理意義的量必須是規(guī)范不變量。 因此，他建立了管理各種物理力的規(guī)范理論。 由于當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)的粒子不多，因此沒(méi)有必要將規(guī)范群推廣到非交換的情況。
從幾何的角度來(lái)看，嘉當(dāng)早在1926年就開(kāi)始了非交換群規(guī)范場(chǎng)論的研究，他的學(xué)生查爾斯·埃雷斯曼（ ，1905-1979）和陳省身將這些理論發(fā)揚(yáng)光大。 當(dāng)規(guī)范群是酉群時(shí)，陳省身定義了影響現(xiàn)代幾何和物理學(xué)的聲明類(lèi)（Chern，1946）。
埃雷斯曼·外爾-嘉當(dāng)( Weyl-)的規(guī)范場(chǎng)理論被用于所謂的同位旋( )理論上。 然而，直到十幾年后，經(jīng)過(guò)一群物理學(xué)家提出了對(duì)稱(chēng)破缺（）、重正化（）等幾個(gè)重要理論后，這些經(jīng)典理論才成為我們現(xiàn)在看到的標(biāo)準(zhǔn)模型。
泡利和吳健雄
標(biāo)準(zhǔn)模型凝聚了一大群物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家數(shù)百年的智慧，可以說(shuō)是人類(lèi)的瑰寶。
標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)群就是規(guī)范群，它像廣義相對(duì)論一樣是無(wú)限維的，但與李群密切相關(guān)。 直到 20 世紀(jì) 90 年代，物理學(xué)家還假設(shè)李群是相連的物理學(xué)家修真，并沒(méi)有考慮李群的離散部分。
當(dāng)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)非微擾宏觀物理時(shí)，他們很快就發(fā)現(xiàn)了規(guī)范群離散部分的重要性。 當(dāng)然，宏觀幾何和拓?fù)溟_(kāi)始大規(guī)模進(jìn)入非微擾物理學(xué)。 物理學(xué)中存在三種重要的離散對(duì)稱(chēng)性（不是從連續(xù)群導(dǎo)出的）：
電荷共軛對(duì)稱(chēng)性或C對(duì)稱(chēng)性（ ），與物質(zhì)和反物質(zhì)的對(duì)稱(chēng)性有關(guān)；
宇稱(chēng)或 P 對(duì)稱(chēng)性 ( )，空間離散對(duì)稱(chēng)性；
時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性或T對(duì)稱(chēng)性（時(shí)間），時(shí)間離散對(duì)稱(chēng)性。
當(dāng)它們放在一起時(shí)，可以證明一般量子場(chǎng)論中的守恒性 - 稱(chēng)為 CPT 定理。
李、楊的著名著作指出，宇稱(chēng)不守恒可能會(huì)產(chǎn)生某種物理現(xiàn)象。 他們建議的實(shí)驗(yàn)是由吳健雄領(lǐng)導(dǎo)的一個(gè)小組完成的。 但直到今天，物理學(xué)家仍然無(wú)法解釋為什么宇稱(chēng)在弱相互作用中不守恒，而在強(qiáng)相互作用中卻守恒。
近年來(lái)，物理學(xué)家考慮了另外兩種重要的離散對(duì)稱(chēng)性：
費(fèi)米性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性 (
), 區(qū)分玻色子 ((+1)) 和費(fèi)米子 ((-1))
-結(jié)構(gòu)。
BL對(duì)稱(chēng)性，重子數(shù)()減去輕子數(shù)()也可以具有離散對(duì)稱(chēng)性（從U(1)分解為
）。
這些對(duì)稱(chēng)性有不同的組合，可以形成相對(duì)較大的動(dòng)作群。 它們?cè)诜俏_量子物理中發(fā)揮著重要作用，并與宏觀幾何相結(jié)合。 預(yù)計(jì)流行了五十年的基礎(chǔ)物理標(biāo)準(zhǔn)模型將會(huì)有新的突破！ 我在哈佛大學(xué)的博士后Juven Wang正在朝這個(gè)方向進(jìn)行探索，并取得了一些成果。
標(biāo)準(zhǔn)模型方程
數(shù)學(xué)是所有學(xué)科中最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模仨氂胸S富的內(nèi)容才能成為一門(mén)有趣的學(xué)科。 它還描述了自然，所以必須要做實(shí)驗(yàn)！ 要做實(shí)驗(yàn)，你需要儀器。
如果你問(wèn)數(shù)學(xué)家做了什么實(shí)驗(yàn)，古希臘數(shù)學(xué)家喜歡用圓規(guī)和尺子來(lái)畫(huà)幾何圖形。 事實(shí)上，平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題就是研究哪些幾何圖形可以用圓規(guī)和尺子構(gòu)造出來(lái)。 這個(gè)問(wèn)題困擾了學(xué)者近兩千多年，直到十九世紀(jì)初才得到徹底解決。 在這一探索過(guò)程中，代數(shù)和群論得到了極大的發(fā)展，可以說(shuō)是儀器儀表影響理論科學(xué)的第一個(gè)重要例子。
至于古代數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的工具，大概是紙和筆，其次是黑板和粉筆。 當(dāng)然，很多人也會(huì)提到算盤(pán)。 事實(shí)上，數(shù)學(xué)家很少使用算盤(pán)。 一般來(lái)說(shuō)，能用算盤(pán)算的數(shù)學(xué)，也能用筆算。 同時(shí)，你可以通過(guò)書(shū)面計(jì)算對(duì)數(shù)字有更深入的了解。 歐拉、卡爾·高斯（1777-1855）、黎曼等偉大的數(shù)學(xué)家都是通過(guò)大量的書(shū)面計(jì)算發(fā)現(xiàn)了重要的定理。 歐拉和高斯甚至發(fā)明了各種快速算法，奠定了現(xiàn)代計(jì)算科學(xué)的基礎(chǔ)。
到了20世紀(jì)，許多復(fù)雜的自然現(xiàn)象，例如湍流、天氣預(yù)報(bào)等，已經(jīng)無(wú)法使用筆計(jì)算以期望的精度進(jìn)行計(jì)算，因此數(shù)學(xué)家開(kāi)始使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行大規(guī)模計(jì)算。 第一臺(tái)重要的大型計(jì)算機(jī)在第二次世界大戰(zhàn)期間用于原子彈的研制。 電腦很大。 據(jù)說(shuō)IBM的崛起與這款計(jì)算機(jī)有關(guān)。
80多年前的計(jì)算機(jī)的指令周期和存儲(chǔ)容量遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如我們今天擁有的智能手機(jī)。 除了解方程之外，計(jì)算機(jī)還廣泛應(yīng)用于其他學(xué)科，甚至被用來(lái)證明數(shù)學(xué)定理。 圖論中四色問(wèn)題的解決就是一個(gè)突出的例子。 這是一個(gè)著名的組合問(wèn)題，其證明依賴(lài)于機(jī)器。 直到今天，數(shù)學(xué)家們?nèi)匀粚?duì)此感到擔(dān)憂(yōu)，希望找到不依賴(lài)機(jī)器的證明。 造成這種情況的原因當(dāng)然有很多，其中之一就是計(jì)算機(jī)計(jì)算程序可能存在錯(cuò)誤。 這種現(xiàn)象在計(jì)算方程的解時(shí)尤其明顯。 畢竟機(jī)器只能存儲(chǔ)有限數(shù)量的數(shù)字，因此錯(cuò)誤是不可避免的。 經(jīng)過(guò)數(shù)十億次乘法和除法運(yùn)算后，錯(cuò)誤會(huì)累積并變得越來(lái)越大，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的答案。 也就是說(shuō)，即使計(jì)算機(jī)顯示的數(shù)字是收斂的，但得到的答案并不意味著它是正確的。 這是一個(gè)嚴(yán)重的問(wèn)題，并催生了一門(mén)稱(chēng)為數(shù)值分析的學(xué)科，該學(xué)科研究最終答案中的錯(cuò)誤。 該分析的有效性基于對(duì)方程本身的透徹理解。 無(wú)論如何，電子計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為科學(xué)家最重要的工具，尤其是在無(wú)法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的情況下。
現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的基本原理是由英國(guó)數(shù)學(xué)家艾倫·圖靈（1912-1954）發(fā)明的。 圖靈一直說(shuō)“我們想要的是一臺(tái)能夠從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)的機(jī)器”，“讓機(jī)器改變自己的指令的可能性為此提供了一種機(jī)制”。 他在1936年提出了存儲(chǔ)程序的概念（-），后來(lái)大家把這臺(tái)機(jī)器稱(chēng)為“通用圖靈機(jī)”（下）。 他還表示，希望打造一個(gè)像人腦一樣運(yùn)作的人造大腦，而不僅僅是知道如何計(jì)算； 他對(duì)生成大腦活動(dòng)模型的可能性比對(duì)計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用更感興趣。 可見(jiàn)圖靈很早就注意到了人工智能。
從1938年到1939年，英國(guó)工程師托馬斯·弗勞爾斯（ ，1905-1998）開(kāi)始使用真空管來(lái)傳輸數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)，美國(guó)人約翰·阿塔納索夫（John ，1903-1995）也開(kāi)始使用真空管做簡(jiǎn)單的事情。 計(jì)算。 戰(zhàn)后，英國(guó)人馬克斯·諾伊曼（Max，1897-1984）在曼徹斯特大學(xué)建立了英國(guó)皇家學(xué)會(huì)計(jì)算實(shí)驗(yàn)室（Royal）。 他與圖靈以及美國(guó)人約翰·馮·諾依曼（1903-1957）都有密切的交流。 美國(guó)第一臺(tái)計(jì)算機(jī)出現(xiàn)在賓夕法尼亞大學(xué)摩爾電氣工程學(xué)院，與陸軍有關(guān)。
摩爾電氣工程學(xué)院操作 ENIAC 主控制面板的程序員