其實在看拓撲領域的文章中,常常提及載流子軌道耦合是很重要的,但是也常常遇見和這兩種不同的載流子軌道耦合,但也始終沒有仔細去看過它們之間究竟有哪些區別與聯系,在這兒就從推論載流子軌道耦合的具體表達式開始,之后再詳盡的討論一下這兩種不同的載流子軌道耦合究竟有哪些不同與聯系.
載流子軌道耦合推論
電子帶電荷$-e$繞原子核以速率$bf{v}$運動的時侯,會存在載流子磁矩.電場對靜止的磁矩是不存在互相作用的,而對運動的磁矩,電場將會與其發生互相作用,所以載流子磁矩和由原子實在該處形成的電場將形成互相作用,這就是載流子軌道互相作用的起源.
由于運動是相對的,里面的剖析是將座標系置于了原子實里面,這么接出來將座標系置于電子里面,這么就是原子核繞著電子運動.這時侯載流子軌道耦合效應可以理解為,電場$bf{E}$以速率$-bf{v}$運動形成一個磁場$bf{B}$,這個磁場對載流子存在扭矩的作用.磁場可以按照畢奧薩法爾定理估算
[{B}=frac{mu_{0}{j}times{r}}{r^{3}}=mu_{0}{0}({v}times{E})]
這兒$bf{v}$是電子的速率,$bf{E}$是原子核在電場處形成的電場.借助電場分布的徑向分布方式即
[E=frac{1}{e}frac{V}{r}frac{r}{r}]
上式中V是原子核實電子的庫倫勢,借助軌道角動量關系$bf{L}=rtimesp$,及${p}=m{v}$,可將磁感應硬度寫作
[{B}=frac{1}{emc^{2}}frac{1}{r}frac{V}{r}{L}label{eq2}]
上式即表示在電子座標系中原子實在電子處形成的磁場.考慮載流子以后,自由電子的伊寧頓量為
[H=frac{({sigma}cdotp)^{2}}{2m}]
假如再考慮磁場${B}=nablatimes{A}$的存在后,動量要弄成正則動量的方式$pp+frac{e}{c}{A}$,則伊寧頓量變為
[H=frac{left({sigma}cdotleft({p}+frac{e}{c}{A}right)right)^{2}}{2m}label{eq1}]
借助泡里算符關系式
[({sigma}cdot{A})({sigma}cdot{B})={A}cdot{B}+{i}{sigma}cdot({A}times{B})]
將(ref{eq1})通分為
[H=frac{left(p+frac{e}{c}Aright)^{2}}{2m}+frac{{i}}{2m}{sigma}cdotleft(p+frac{e}{c}{A}right)timesleft(p+frac{e}{c}{A}right)]
第一項是電子軌道磁矩和外磁場的互相作用,這兒主要關注第二項,借助矢量代數工具可將第二項通分
(frac{{i}e}{2mc}{sigma}cdot[({p}times{A})+({A}times{p})]=frac{{i}e}{2mc}{sigma}cdot(-{i}hbarnablatimes{A})=frac{eh}{2mc}{sigma}cdot{B}=-{mu}_{s}cdot{B}label{eq3})${mu_s}$是載流子$bf{S}$相對應的磁矩,依據原子化學的可以曉得電子的載流子磁矩${mu_s}=-g_smu_B{S}$,這兒$g_s$是載流子朗德g因子,玻爾磁子$mu_B=frac{ehbar}{2mc}$,$bf{S}$是載流子角動量.
將(ref{eq2})代入(ref{eq3})后,再借助$Acdot(BtimesC)=Bcdot(CtimesA)=Ccdot(AtimesB)$可以得到載流子軌道互相作用為
[U=frac{1}{m^{2}c^{2}}frac{1}{r}frac{V}{r}{L}cdot{S}=-frac{1}{m^{2}c^{2}}nablaVcdot({S}times{p})]
到這兒就推導入了載流子軌道耦合的通常表達式,在考慮電子參考系的非慣性系后真空中的載流子軌道耦合伊寧頓量為(哪些非慣性系這個我也不懂)
[H_{s0}=-frac{1}{4m^{2}c^{2}}({sigma}cdot{p})timesnablaV]
這就是常常在文章中見到的載流子軌道耦合通用方式.
載流子軌道耦合
就是在二維平面的垂直方向破壞反演對稱后的結果,倘若在$z$方向加上一個電場,因而在這個方向上的反演對稱都會被破壞
[H_{E}=-E_{0}z]
帶電的電子以速率$v$在電場中運動時將會感遭到一個有效的磁場
[{B}=-({v}times{E})/c^{2}]
這么此時的載流子軌道互相作用為
[H_{{SO}}=frac{gmu_{{B}}}{2c^{2}}({v}times{E})cdot{sigma}]
所以此時的載流子軌道耦合可表示為
[H_{{R}}=-{{R}}({sigma}times{p})cdothat{z}=-({x}p_{y}-{y}p_{x})]
這一項后面的系數一般可以通過實驗進行檢測.這一項的存在就類似于此時存在一個磁場$(p_y,-p_x,0)$,這個磁場的方向和大小與動量有關,其向量圖表示如下
VectorPlot[{y, -x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, StreamPoints -> Coarse, PlotTheme -> "Scientific", ImageSize -> Large, PlotRange -> All]
載流子軌道耦合
這些方式的載流子軌道耦合推論的過程比較復雜,我也沒有找到合適的資料,這兒只是簡單的從把知乎和維基上的內容進行一下整理.這些方式的載流子軌道耦合伊寧頓量一般表示為
[H_{{D}}p_{x}left(p_{y}^{2}-p_{z}^{2}right){x}+p_{y}left(p_{z}^{2}-p_{x}^{2}right){y}+p_{z}left(p_{x}^{2}-p_{y}^{2}right){z}]
在一個2D的納米結構中,也就是$z$方向上是有限的時侯,這個伊寧頓量可以拆分成線性項和三次方項(H_{{D}}^{(1)}=frac{beta}{hbar}left({x}p_{x}-{y}p_{y}right)\H_{{D}}^{(3)}=-frac{beta}{hbar^{3}}left(fractxrzbvzd{pi}right)^{2}p_{x}p_{y}left(p_{y}{x}-p_{x}{y}right))
這兒$beta$是耦合常數,$d$則是材料的長度.假如在這兒只關注線性項,這么此時也有一個等效的磁場$(p_x,-p_y,0)$,其向量圖如下
VectorPlot[{x, -y}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, StreamPoints -> Coarse,PlotTheme -> "Scientific", ImageSize -> Large, PlotRange -> All]
將這兩不同方式的載流子軌道耦合對應的等效磁場置于一起進行比較,如右圖所示
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