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有很多以偉大數(shù)學家歐拉命名的公式，其中一些公式以前已經(jīng)討論過。 今天介紹一個初等幾何中的歐拉公式，將三角形內(nèi)心與外心的距離表示為三角形的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑。 現(xiàn)在：
其中，R為三角形ABC的外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外接圓圓心O（外心）與內(nèi)切圓圓心I（圓心）之間的距離。 如下所示。
證明：
(1)連接AI，延長它，與外接圓相交于E點。然后將連接內(nèi)、外圓心的線段OI向兩端延長，分別與外接圓相交于G、H點。 如下圖所示。因此，根據(jù)相交弦定理等腰三角形公式，我們有
請注意，我們這樣做是因為對要證明的歐拉公式進行簡單修改會產(chǎn)生 R+d 和 Rd 的乘積：
其中，(R+d)(Rd)正是兩條線段IG和HI的乘積，其中直徑GH除以內(nèi)核I：HI·IG。 因此，我們只需證明線段AI和IE的乘積等于2Rr，即：
(2)如下圖所示。 連接外接圓上的E點和外接圓圓心O，得到線段EO，延長該線段并與外接圓交于F點。因此，EF為外接圓的直徑，長度為2R。 連接FC，連接EC，得到三角形CEF（圖中內(nèi)部為紅色）。 再次注意三角形AID。
顯然，三角形CEF和三角形AID都是直角三角形。 和，
∠DAI=∠CAE（AI??是∠BAC的平分線）
∠CAE=∠CFE（同一弦上的圓周角相等）
所以
∠DAI=∠CFE
因此等腰三角形公式，三角形CEF與三角形AID相似，從而有
且EF=2R，DI=r。 因此，上式就變?yōu)椋?span style="display:none">hn2物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
前面說過，只要證明下面的公式就可以證明歐拉公式成立。
對比上面兩個方程，我們只需證明CE = IE即可。
(3) 如上圖所示，CE和IE均位于三角形ICE內(nèi)。 因此，我們只需證明三角形ICE是等腰三角形即可。 為此，我們要證明兩個底角相等，即
∠EIC=∠ECI
這不難看出，因為
∠EIC=∠EAC+∠ACI（三角形的外角等于兩個不相鄰內(nèi)角之和）
∠ECI=∠ECB+∠BCI
上述兩個方程中藍色標記的兩個角相等。 紅色標記的兩個角都等于∠EAB。 因此，上述兩個方程的左邊也相等。 因此，三角形ICE是等腰三角形，等腰等于等腰物理資源網(wǎng)，所以，
CE = IE
上面使用的方法是逆向推理。 最后我們證明了歐拉公式：