粒子碰撞在某種程度上與數(shù)學中的“主題”相關
20 世紀 40 年代，理查德·費曼 ( ) 設計了費曼圖。 費曼圖中的線代表基本粒子，它們會聚在一個頂點（代表碰撞）英語作文，然后從那里分離，代表碰撞中產(chǎn)生的東西。 這些線路要么自行發(fā)射，要么再次相遇。 只要一位物理學家敢于思考，連鎖碰撞的長度就可以。
物理學家在圖中添加了代表相關粒子的質(zhì)量、動量和方向的數(shù)字。 接下來，他們開始了一個費力的計算過程——對這些數(shù)量進行積分，將該數(shù)量相加，然后對該數(shù)量進行平方。 最終結果是一個稱為費曼概率的數(shù)字，它量化了粒子碰撞如圖所示進行的概率。
加州理工學院理論物理學家和數(shù)學家謝爾蓋·古科夫 ( Gukov) 表示：“在某種程度上，費曼發(fā)明了這個原理圖，將復雜的數(shù)學編碼成一種會計方法。” ） 說。
費曼圖多年來一直為物理學家提供了良好的服務，但它們也有其局限性。 第一個限制是它需要嚴格的程序。 物理學家正在追蹤能量越來越高的粒子的碰撞，這需要更高的測量精度——隨著精度的提高，計算預測所需的費曼圖的復雜性也隨之增加。 增加。
第二個限制是費曼圖的更基本性質(zhì)。 費曼圖基于這樣的假設：包含的潛在粒子碰撞和子碰撞越多，其數(shù)值預測就越準確。 這個計算步驟稱為“微擾展開”，它非常適合電子的粒子碰撞分析。 （在這種情況下，弱力和電磁力占主導地位。）它在分析高能碰撞方面效果較差，例如強核力占主導地位的質(zhì)子之間的碰撞。 好的。 在這些情況下，通過繪制更復雜的費曼圖來包含更廣泛的碰撞實際上可能會讓物理學家誤入歧途。
“我們知道一個事實，在某個時刻，費曼圖開始偏離（與現(xiàn)實世界的物理），”牛津大學數(shù)學家弗朗西斯·布朗說。 “我們不知道的是，如何估計在哪一點應該停止計算的示意圖。”
然而，我們有理由保持樂觀。 在過去的十年中，物理學家和數(shù)學家一直在探索一種令人驚訝的交流方法，這種方法可以給古老的費曼圖帶來新的生命，在物理和數(shù)學方面產(chǎn)生深遠的見解。 。 這與一個奇怪的事實有關，即從費曼圖計算出的值似乎與代數(shù)幾何數(shù)學分支中出現(xiàn)的一些最重要的數(shù)字完全匹配。 這些值被稱為“主題周期”（ of ），并且沒有明顯的理由說明為什么相同的數(shù)字應該出現(xiàn)在兩個背景中。 事實上，這就像假設的情況一樣奇怪，每次你測量一杯米時，你都會發(fā)現(xiàn)米的數(shù)量總是一個素數(shù)。
柏林洪堡大學的物理學家德克·克萊默 (Dirk ) 表示：“從自然到代數(shù)幾何再到循環(huán)之間存在著某種聯(lián)系，事后看來這并非巧合。”
現(xiàn)在，數(shù)學家和物理學家正在共同努力揭開這一巧合的謎團。 對于數(shù)學家來說，物理學將他們的注意力吸引到了特定類型的數(shù)字上，他們想知道物理學中發(fā)生的這些循環(huán)是否具有隱藏的結構。 這些數(shù)字可能有什么特殊性質(zhì)？ 對于物理學家來說，這種數(shù)學理解的回報是一種新的遠見，有助于預測某些事件在混沌量子世界中的表現(xiàn)。
反復出現(xiàn)的主題
如今，周期是數(shù)學研究中最抽象的主題之一，但它們最初是出于更具體的興趣而誕生的。 17 世紀初，伽利略等科學家對如何計算鐘擺完成一次擺動所需的時間很感興趣。 他們意識到，計算歸結為對包含擺長度和釋放角度信息的函數(shù)進行積分（一種無限項之和）。 與此同時，約翰內(nèi)斯·開普勒使用類似的計算來確定行星繞太陽運行需要多長時間。 他們將這些測量稱為“周期”，并將其視為與運動相關的最重要的測量之一。
在 18 世紀和 19 世紀，數(shù)學家普遍對研究周期產(chǎn)生了興趣 - 不僅因為它們與鐘擺或行星有關，還因為多項式 x2+2x-6 和 3x3-4x2-2x+6 生成的一類數(shù)字集成一個函數(shù)。 一個多世紀以來，卡爾·弗里德里希·高斯和萊昂哈德·歐拉等著名數(shù)學家探索了循環(huán)領域，發(fā)現(xiàn)它包含許多指向某些潛在順序的特征。 從某種意義上說，代數(shù)幾何（研究多項式方程的幾何形式）在 20 世紀發(fā)展起來，作為追蹤隱藏結構的一種方法。
20 世紀 60 年代，這一努力獲得了迅速發(fā)展。 那時，數(shù)學家做了他們經(jīng)常做的事情：他們將方程等相對具體的對象轉換為更抽象的對象，他們希望這能讓他們識別出最初并不明顯的關系。
此步驟首先研究由多項式函數(shù)類型的解定義的幾何對象（也稱為代數(shù)簇），而不是研究函數(shù)本身。 接下來，數(shù)學家試圖理解這些幾何對象的基本屬性。 為了實現(xiàn)這一目標，他們開發(fā)了一種稱為上同調(diào)理論的工具 - 一種確定幾何對象的結構特征的方法，而無需考慮用于生成對象的特定多項式方程。
到了 20 世紀 60 年代，上同調(diào)理論已經(jīng)發(fā)展到了分支的程度——奇異上同調(diào)、Drumm 上同調(diào)、平坦上同調(diào)等等。 似乎每個人對于代數(shù)簇最重要的特性都有不同的看法。
在這個令人困惑的研究領域中，2014 年去世的尖端數(shù)學家 意識到所有上同調(diào)理論都是同一事物的不同版本。
“格洛騰迪克觀察到，就代數(shù)簇而言，無論你如何計算這些不同的上同調(diào)理論，你總是會以某種方式找到相同的答案，”弗朗西斯·布朗說。
同樣的答案是所有這些上同調(diào)理論核心的獨特之處，即格洛騰迪克所說的“”。 “在音樂中粒子物理學家，主題意味著重復出現(xiàn)的主題。對于格洛騰迪克來說，主題是以不同形式重復出現(xiàn)，但實際上是同一件事。” 格洛騰迪克的前同事、《法國高等科學研究所的數(shù)學家》一書的作者皮埃爾·卡地亞 ( ) 說道。
從某種意義上說，主題是多項式方程的基本構建塊，就像質(zhì)因數(shù)是較大數(shù)字的基本構建塊一樣。 主題也有與其相關的數(shù)據(jù)。 正如你可以將物質(zhì)分解成元素，指定每個元素的特征——原子數(shù)量、原子質(zhì)量等——數(shù)學家也將本質(zhì)的度量歸因于一個主題。 在這些措施中，最重要的是主題的周期性。 您知道，如果多項式方程組中產(chǎn)生的對象的周期等于不同系統(tǒng)中產(chǎn)生的對象的周期，則這兩個對象是相同的。
“一旦你知道了周期（這是一個特定的數(shù)字），你幾乎就知道了這個問題本身，”牛津大學數(shù)學家金說。
要查看在意外情況下發(fā)生的相同循環(huán)的一個直接方法是查看 π 的情況。 “這是購買自行車最著名的例子，”卡地亞說。 π 在幾何中以多種形式出現(xiàn)：在定義一維圓的函數(shù)積分中、在定義二維圓的函數(shù)積分中、在定義球體的函數(shù)積分中。 對于古代思想家來說，相同的值會在看起來如此不同的積分中重復出現(xiàn)，這很可能是一個謎。 布朗在一封電子郵件中寫道：“現(xiàn)代的解釋是，球體和實心圓具有相同的主題，因此必須具有基本相同的周期。”
費曼的旅程
如果很久以前好奇的人想知道為什么像 π 這樣的值會出現(xiàn)在圓和球的計算中，那么今天的數(shù)學家和物理學家想知道為什么這些值會出現(xiàn)在圓和球的計算中。 物體（費曼圖）出現(xiàn)。
費曼圖具有基本的幾何特征，由線段、射線和頂點組成。 要了解它們的構造方式以及它們?yōu)楹卧谖锢韺W中有用，請想象一個簡單的實驗裝置，其中電子與正電子碰撞，產(chǎn)生μ子和反μ子。 為了計算這種結果的概率，物理學家需要知道每個進入粒子的質(zhì)量和動量，以及粒子所經(jīng)過的路徑的一些想法。 在量子力學中，粒子所走的路徑可以被認為是它可能遵循的所有可能路徑的平均值。 計算該路徑對所有路徑的集合進行積分，該積分稱為費曼路徑積分。
粒子碰撞從開始到結束所遵循的每條可能的路徑都可以用費曼圖表示，并且每個費曼圖都有與其相關的積分。 （費曼圖相當于它的積分。）為了計算一組特定起始情況產(chǎn)生特定結果的概率，我們需要考慮所有可能描述碰撞過程的費曼圖，找到每個點的分數(shù)并將這些點相加點在一起。 這個數(shù)字就是費曼圖的振幅。 然后物理學家將這個數(shù)字平方以獲得概率。
對于電子和正電子入射并且發(fā)射μ子和反μ子的情況，該計算步驟很容易執(zhí)行。 但這是無聊的物理學。 物理學家真正關心的實驗是那些涉及帶有圓圈的費曼圖的實驗。 所謂的圓圈代表粒子被噴射然后其他粒子被重新吸收的情況。 當電子與正電子碰撞時，在最后一對μ子和反μ子出現(xiàn)之前可能會發(fā)生無數(shù)次中間碰撞。 在這些中間碰撞中，會產(chǎn)生新的粒子（例如光子），這些粒子在被觀察到之前就被湮滅了。 傳入和傳出的粒子與之前的描述相同，但事實是那些未觀察到的碰撞仍然對最終產(chǎn)品產(chǎn)生微妙的影響。
“它就像一個玩具。一旦你畫出了費曼圖，你就可以根據(jù)理論規(guī)則連接更多的線，”加州大學河濱分校教授 Flip 說。 一位物理學家說：“你可以連接更多的棍子、更多的節(jié)點，并使其變得更加復雜。”
通過考慮圓圈，物理學家提高了實驗的準確性。 （增加一個圓就像將一個值計算到相當多的位數(shù)。）但是每次添加一個圓，需要考慮的費曼圖的數(shù)量以及相應的積分難度都會急劇增加。 例如，簡單系統(tǒng)的 2 環(huán)版本可能只需要 1 個費曼圖。 同一系統(tǒng)的兩圈版本需要 7 個費曼圖。 3 環(huán)版本需要 72 個費曼圖。 將圈數(shù)增加到五圈需要計算大約 12,000 個點 - 這一計算需要幾年時間才能完成。
物理學家不想費力地研究這么多繁瑣的積分，而是希望能夠通過查看給定的費曼圖的結構來了解所得的振幅，就像數(shù)學家可以將周期與主題進行比較一樣，建立聯(lián)系。
布朗說：“這一步非常復雜，積分也非常困難，所以我們要做的就是看一下費曼圖，看看最終的答案，即最終的周期積分。”
令人驚訝的相關性
1994 年，Dilke 和英國開放大學物理學家 David 于 1995 年合作，首次將周期和振幅同時提出。當年發(fā)表了一篇論文。 這項工作使數(shù)學家推斷出所有振幅都是與泰特主題混合的循環(huán)，這是一個以哈佛大學名譽教授約翰·泰特命名的特定主題，其中所有循環(huán)都是數(shù)論中最具影響力的多值黎曼 zeta 函數(shù)。 在入射電子-正電子對和發(fā)射μ子和反μ子對的情況下，振幅結果的主要部分是黎曼zeta函數(shù)在賦值為3時計算結果的6倍。
如果所有振幅都乘以 z 值，這就為物理學家提供了一個明確定義的數(shù)字類別來進行研究。 但 2012 年，布朗和他的合作者奧利弗·施內(nèi)茨證明了事實并非如此。 雖然物理學家今天遇到的所有振幅可能都是與泰特主題混合的周期，但“陰影中潛伏著可能阻礙研究的怪物。” 布朗說，這些怪物“絕對是循環(huán)，但它們并不是人們所希望的美好而簡單的循環(huán)。”
物理學家和數(shù)學家確實知道，費曼圖中的圓數(shù)與數(shù)學中稱為“重量”的概念之間似乎存在聯(lián)系。 權重是與被積分空間的維數(shù)相關的數(shù)字：一維周期積分的權重可以為 0、1 或 2； 二維空間中的周期積分的權重最大可達 4，依此類推。 。 權重還可以用于將周期分為不同類型：權重為 0 的周期被推測為代數(shù)數(shù)，可能是多項式方程的解（這尚未得到證明）； 擺周期的權重始終為 1； π 是權重周期 2； 黎曼 zeta 函數(shù)值的權重始終是輸入值的 2 倍（因此，當指定值 3 時，zeta 函數(shù)的權重為 6）。
這種根據(jù)權重對周期進行的分類可以延續(xù)到費曼圖，其中周期的數(shù)量在某種程度上與其振幅的權重相關。 沒有環(huán)路的費曼圖的幅值權重為 0； 具有 1 個周期的費曼圖的振幅是混合泰特主題的周期，權重最多為 4。對于具有更多圓圈數(shù)的費曼圖，數(shù)學家懷疑這種關系將繼續(xù)存在，盡管他們還無法看到其中的秘密。
“我們進行了更多的周期，并且看到了更一般的周期類型，”克萊默說。 “數(shù)學家對此非常感興趣，因為他們對不屬于混合泰特主題的主題了解不多。 ”
數(shù)學家和物理學家目前正在前后研究，試圖確定問題的范圍并找到優(yōu)雅的答案。 數(shù)學家向物理學家推薦使用函數(shù)（及其積分）來描述費曼圖。 物理學家設想的粒子碰撞構型超出了數(shù)學家必須提供的方程。 “看到他們?nèi)绱搜杆俚匚占夹g性的數(shù)學思想，真是令人驚訝，”布朗說。 “我們已經(jīng)用完了經(jīng)典的數(shù)字和方程粒子物理學家，對于物理學家來說已經(jīng)沒有什么了。”
自然群體
自 17 世紀微積分誕生以來，物理世界中數(shù)字的出現(xiàn)推動了數(shù)學的進步。 今天也是如此。 事實上，源自物理學的周期“有一點上帝賦予的感覺，來自物理理論，這意味著它們有許多結構，數(shù)學家不會想到或試圖創(chuàng)造的結構，”布朗說。
克萊默補充說：“大自然似乎想要比數(shù)學家可以定義的更小的周期集，但我們無法非常清楚地定義這個子集實際上是什么。”
布朗希望證明數(shù)學群（伽羅瓦群）會影響費曼圖的周期集。 他說：“在迄今為止計算的每種情況下，這個解決方案看起來都是正確的，”但證明這種關系絕對正確仍然難以捉摸。 布朗說：“如果這是真的，并且有一個群體對物理學中的數(shù)字產(chǎn)生影響，那就意味著你正在尋找一大類對稱性。” “如果這是真的，下一步就是要問為什么存在如此大的對稱群，以及它可能具有什么潛在的物理意義。”
此外，它將加深兩個截然不同背景下的基本幾何構造之間已經(jīng)存在的刺激關系：數(shù)學家在 50 年前設計的主題，用于理解多項式方程的解； 費曼圖，它是粒子碰撞如何發(fā)生的圖形表示。 每個費曼圖都有一個附加的主題，但某個主題的結構能夠告訴我們相關費曼圖的結構什么仍然是未知的，有待大家猜測。
思語/世界科學編譯
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