第六章 圓周運(yùn)動(dòng) 3 向心加速度 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解向心加速度的概念。 2.知道向心加速度與線速度、角速度的關(guān)系。 3.能運(yùn)用向心加速度公式解決相關(guān)問題。 內(nèi)容索引 整理課本，鞏固基礎(chǔ) 探究重點(diǎn)，提高素養(yǎng) 課內(nèi)練習(xí) 逐點(diǎn)實(shí)施 整理課本，鞏固基礎(chǔ) 01 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向 一 1.定義：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度的總方向叫向心加速度。 2.向心加速度的作用： 向心加速度的方向始終與速度方向相同，所以向心加速度只改變速度，而不改變速度。勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的大小垂直于圓心方向 II 1.向心加速度公式an= 或an= .2. 向心加速度公式既適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)。ω2r 即學(xué)即用 1.判斷下列說法正確還是錯(cuò)誤。 （1）物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度一定不為0。（） （2）勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度恒定不變。（） （3）勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻速加速運(yùn)動(dòng)。（） （4）勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度方向始終指向圓心向心加速度課件，其大小保持不變。（） （5）由an= 可知，向心加速度an與半徑r成反比。（） （6）由an=ω2r可知，向心加速度an與半徑r成正比。（） √××√×× 2.一根長(zhǎng)0.2米的細(xì)繩一端系著一個(gè)小球，繩子的另一端固定在水平桌子上。 讓小球在桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度為0.6米/秒，小球的角速度為，向心加速度的大小為.3弧度/秒1.8米/秒2 探究提高素養(yǎng)的重點(diǎn) 02 向心加速度及其方向 1.入門探究 如圖1A所示，地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（近似值）；如圖B所示，光滑桌面上一個(gè)小球在一條細(xì)線的牽引下，繞桌面上的一個(gè)圖釘做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 （1）分析地球和小球所受的力，說明地球和小球的加速度方向； 答：地球只受到太陽引力的作用，指向圓心，加速度方向指向圓心。 小球受到重力、支撐力、拉力的作用，合力指向圓心，所以加速度方向指向圓心。圖1 （2）地球和小球的加速度起什么作用？ 答：由于加速度方向指向圓心，所以加速度只改變速度方向，而不改變速度大小。 （3）地球和小球的加速度方向會(huì)改變嗎？什么樣的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)？ 答：由于地球和小球的加速度沿半徑始終指向圓心，所以加速度的方向是變化的，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變加速度的曲線運(yùn)動(dòng)。 知識(shí)加深對(duì)向心加速度及其方向的理解 1、向心加速度的方向：始終指向圓心并且其方向時(shí)刻在變。 2、向心加速度的影響：向心加速度的方向永遠(yuǎn)垂直于速度方向，所以向心加速度只改變速度方向，而不改變速度大小。 3、圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)： 不管向心加速度的大小是否變化，它的方向一直在變化，所以圓周運(yùn)動(dòng)的加速度也一直在變化。圓周運(yùn)動(dòng)是變加速度曲線運(yùn)動(dòng)。 4、變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度不指向圓心。加速度有兩個(gè)分量，一個(gè)是向心加速度，一個(gè)是切向加速度。向心加速度描述的是速度方向變化的快慢，切向加速度描述的是速度大小變化的快慢。所以在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的方向永遠(yuǎn)指向圓心。 例1 下列關(guān)于向心加速度的說法中，哪一個(gè)是正確的？ A.向心加速度表示做圓周運(yùn)動(dòng)的物體速度變化的快慢。 B.向心加速度的方向不一定指向圓心。 C.向心加速度描述的是線速度方向變化的快慢。 D.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度是恒定的√解析：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體速度是恒定的，向心加速度只改變速度的方向。A錯(cuò)誤；向心加速度的方向沿著圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑永遠(yuǎn)指向圓心，所以B錯(cuò)誤；向心加速度描述的是線速度方向變化的快慢，所以C正確；向心加速度的方向會(huì)改變，所以D錯(cuò)誤。 向心加速度的大小 2.向心加速度公式 2.向心加速度公式的適用范圍 向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 v 為該位置的線速度，無論物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心加速度方向都是指向圓心的。 三、向心加速度與半徑的關(guān)系（如圖2所示） 圖2 例2 如圖3所示，一球面以角速度ω作勻速旋轉(zhuǎn)，球面表面兩點(diǎn)A、B。 下列說法正確的是：AA點(diǎn)與B點(diǎn)的角速度相等，BA點(diǎn)與B點(diǎn)的線速度相等，CA點(diǎn)與B點(diǎn)的向心加速度方向均指向球心，DA點(diǎn)與B點(diǎn)的向心加速度之比為2:1√。 圖3 分析 A、B是球面兩點(diǎn)。 因此，A和A點(diǎn)與B點(diǎn)的角速度與球體繞軸線O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，所以A正確；如圖所示，A以P為中心做圓周運(yùn)動(dòng)，B以Q為中心做圓周運(yùn)動(dòng)，因此A、B點(diǎn)的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯(cuò)誤；例三（2019年大同大學(xué)期中考試）如圖4所示的帶傳動(dòng)裝置中，車輪A的軸線與車輪B、C的軸線均為水平軸線，其中車輪A、C半徑相等，車輪B的半徑為車輪C半徑的一半。點(diǎn)A、B、C分別為車輪A、B、C邊緣上的點(diǎn)。若皮帶在傳動(dòng)過程中不打滑，則點(diǎn)AA與B的線速度比為2∶1B。點(diǎn)B與C的角速度比為1∶2C。 A、B點(diǎn)的向心加速度比為2∶1D。A、C點(diǎn)的向心加速度比為1∶4√圖4 分析 如果皮帶在傳動(dòng)過程中不打滑，則A、B點(diǎn)的線速度相等，故vA＝vB，則vA∶vB＝1∶1，A錯(cuò)誤；B、C點(diǎn)繞同一軸旋轉(zhuǎn)，所以B、C點(diǎn)的角速度相等，ωB＝ωC，則ωB∶ωC＝1∶1，所以B錯(cuò)誤；由于B、C點(diǎn)的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C點(diǎn)的角速度為 向心加速度之比為aB∶aC=RB∶RC=1∶2，且aA∶aB=1∶2，所以aA∶aC=1∶4，所以D正確。 向心加速度公式應(yīng)用技巧 向心加速度的每一個(gè)公式都涉及三個(gè)物理量的變化關(guān)系。 需要分析在一個(gè)物理量不變的情況下，另外兩個(gè)物理量之間的關(guān)系。 （1）先判斷各點(diǎn)的線速度是否相等，還是角速度相同。 （2）線速度相等時(shí)，向心加速度與半徑成反比，角速度相同時(shí)，向心加速度與半徑成正比。 訓(xùn)練方法總結(jié)（2019·深圳中學(xué)期中考試）如圖5所示，自行車小齒輪A、大齒輪B、后輪C為三個(gè)相互聯(lián)系的旋轉(zhuǎn)部件，半徑RB＝4RA，RC＝8RA。 當(dāng)自行車懸浮在空中，大齒輪 B 帶動(dòng)后輪勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，A、B、C 三個(gè)車輪邊沿的向心加速度之比為 aA∶aB∶aC 等于 A.1∶1∶8B.4∶1∶4C.4∶1∶32D.1∶2∶4√圖5 課內(nèi)練習(xí)，逐點(diǎn)落實(shí) 031.（向心加速度公式的理解）關(guān)于質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是 A.根據(jù) an＝可知 an 與 r 成反比B。由 an＝ω2r 可知 an 與 rC 成正比。由 v＝ωr 可知 ω 與 r 成反比D。由 ω＝2πf 可知 ω 與 f 成正比√12342。 （向心加速度公式的理解）（多選題）（2019年·長(zhǎng)峰二中下學(xué)期期末考試）物體A、B均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列情況下，關(guān)于向心加速度的說法正確的是A.當(dāng)它們的角速度相等時(shí)，若B的線速度小，則B的向心加速度小B.當(dāng)它們的周期相等時(shí)，A.當(dāng)它們的線速度相等時(shí)，若B的半徑較小，則B的向心加速度較小D.當(dāng)它們的線速度相等時(shí)，在同樣的時(shí)間內(nèi)，A與圓心連線轉(zhuǎn)過的角度比B的大，則A的向心加速度比B的小。√√1234解析：角速度相等，B的線速度較小。 根據(jù)公式an＝vω可知，A的向心加速度大于B的向心加速度，所以A正確；兩者線速度相等，在相同的時(shí)間內(nèi)，A與圓心連線轉(zhuǎn)過的角度比B的大，即A的角速度大 根據(jù)公式an＝ωv可知，A的向心加速度大于B的向心加速度，所以D錯(cuò)誤。 12343.（向心加速度計(jì)算）（2019年·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中考試） 某變速箱內(nèi)有A、B、C三個(gè)齒輪，如圖6所示，其半徑分別為r1、r2、r3。 設(shè)車輪A的角速度為ω勻速旋轉(zhuǎn)，三輪之間不發(fā)生滑移，則車輪C邊上各點(diǎn)的向心加速度為√圖。（向心加速度計(jì)算）（多選題）（2019年·遂寧市中學(xué)第二學(xué)期期末考試）如圖所示如圖7所示，小球A用一條細(xì)線拴住，在水平面內(nèi)以半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球A向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球A正上方高度為R的B球以速度為水平方向飛出。忽略空氣阻力和重力加速度，為了使小球A在運(yùn)動(dòng)一周內(nèi)與小球B相撞，小球A的向心加速度可能是√√圖向心加速度核心能力目標(biāo)物理概念向心加速度及其方向，向心加速度與線速度的關(guān)系，向心加速度與角速度的關(guān)系。
科學(xué)思維可以在實(shí)際情境中運(yùn)用向心加速度的表現(xiàn)形式來分析處理相關(guān)問題。 知識(shí)點(diǎn)一：勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的方向 【看圖助學(xué)習(xí)】 通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道物體做曲線運(yùn)動(dòng)，速度是要改變的，也就是要有加速度。 如圖所示，在雙人花樣滑冰比賽中，女運(yùn)動(dòng)員繞著男運(yùn)動(dòng)員做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。加速度的方向是什么？ 1、物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的總加速度方向叫向心加速度。 2、向心加速度的方向指向半徑方向，和線速度方向相同。 【思考與判斷】 （1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度方向不變。（）（2）勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻速加速運(yùn)動(dòng)。（）（3）勻速圓周運(yùn)動(dòng)是加速度恒定的運(yùn)動(dòng)。（ ）圓心垂直于圓心。 對(duì)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體來說，合力提供的是向心力，即合力指向圓心，所以加速度的方向也指向圓心。向心加速度的方向是時(shí)刻在變化的。 知識(shí)點(diǎn)2 勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的大小 向心加速度表達(dá) √××× 重點(diǎn)1 對(duì)向心加速度的理解 【問題探索】如圖所示，地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（動(dòng)畫片），小球在水平面內(nèi)繞著繩子的另一端做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)思考： （1）在勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程中，地球和小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是否發(fā)生了變化？如果發(fā)生了變化，變化的原因是什么？ （2）向心加速度會(huì)改變物體速度的大小嗎？ 答案（1）改變。
向心加速度的作用。 （2）向心加速度只改變線速度的方向，而不改變速度大小。 【探索與總結(jié)】1、物理意義描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度方向變化有多快，但不表示速度大小變化有多快。 2、方向沿圓周運(yùn)動(dòng)的半徑總是指向圓心，即方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)方向，且時(shí)刻在變化。 3、圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì) 不管向心加速度an的大小是否變化，an的方向總是在變化，所以圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度總是在變化，圓周運(yùn)動(dòng)必定是非勻速加速的曲線運(yùn)動(dòng)。 4、變速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度 對(duì)于作變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度一般不指向圓心，加速度有兩個(gè)分量：一個(gè)是向心加速度，另一個(gè)是切向加速度。 向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢。所以，在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的方向始終指向圓心。 【測(cè)試用例】【例1】（多選）關(guān)于向心加速度，下列說法正確的是（） A.向心加速度的方向始終垂直于線速度方向 B.向心加速度只改變線速度方向，不改變線速度的大小 C.做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度方向始終指向圓心 D.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度方向始終指向圓心 分析：向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向沿圓的切線方向，所以向心加速度的方向始終垂直于線速度方向，故A正確； 物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有向心加速度，加速度的方向始終指向圓心。向心加速度只改變線速度的方向，而不改變線速度的大小，故B、D正確；正常情況下，圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與切向加速度的合成加速度的方向并不總是指向圓心，故C錯(cuò)誤。
答案 ABD 【針對(duì)性訓(xùn)練1】物體在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度是（） A.大小和方向保持不變 B.大小和方向不斷變化 C.大小和方向不斷變化 D.大小和方向保持不變 不斷變化 答案 D 重點(diǎn)2 向心加速度公式的理解與應(yīng)用 【問題探索】如圖所示，有兩個(gè)嚙合的齒輪，其中A點(diǎn)為小齒輪邊上一點(diǎn)，B點(diǎn)為大齒輪邊上一點(diǎn)，C點(diǎn)為大齒輪中間一點(diǎn)。 （1）哪兩點(diǎn)的向心加速度與半徑成正比？ （2）哪兩點(diǎn)的向心加速度與半徑成反比？ 答案 （1）B、C點(diǎn)的角速度相同，由an=ω2r可知，向心加速度與半徑成正比。 【探索與總結(jié)】 1.從向心加速度方向理解圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì) 向心加速度的方向沿著圓周運(yùn)動(dòng)的半徑永遠(yuǎn)指向圓心。不管向心加速度an的大小是否變化，an的方向都在不斷變化，所以圓周運(yùn)動(dòng)必定是變加速度運(yùn)動(dòng)。 2.向心加速度的幾種表達(dá)式 3.理解向心加速度的大小與各種量的關(guān)系 【測(cè)試用例】 【例2】（多選） 如圖所示，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω，則（）意味著：小球上各點(diǎn)的角速度相等。小球繞中心軸OO′旋轉(zhuǎn)。 答案BCD 【針對(duì)性訓(xùn)練2】（多選） 如圖所示，小球A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心加速度隨半徑的變化而變化。 從圖中我們可以知道（） A.小球A運(yùn)動(dòng)時(shí)，其線速度大小不變 B.小球A運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角速度大小不變 C.小球B運(yùn)動(dòng)時(shí)，其線速度大小不變 D.小球B運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角速度大小不變 答案 AD 分析 角速度ω＝＝ rad/s＝3 rad/s，小球的向心加速度大小為an＝＝ m/s2＝1.8 m/s2。 （1）基本公式： ①an＝； ②an＝ω2r。 （2）擴(kuò)展公式： ①an＝r； ②an＝4π2n2r＝4π2f?2r； ③an＝ωv.＝＝， D錯(cuò)誤。 設(shè)小球的半徑為R，則A運(yùn)動(dòng)的半徑rA＝Rsin 60°，B運(yùn)動(dòng)的半徑rB＝°， ＝＝＝， B錯(cuò)誤； 由于A、B點(diǎn)的線速度相等，半徑比為2∶1，由an＝可知A、B點(diǎn)的向心加速度比為aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，C錯(cuò)誤；分析：小齒輪A與齒輪B由鏈條連接，邊緣線速度相等，即vA＝vB。小齒輪A與后輪C同軸旋轉(zhuǎn)，角速度相等，故ωA＝ωC。由向心加速度an＝可知aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1；由向心加速度an＝ω2R可知aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，故aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，選項(xiàng)C正確。線速度相等，B點(diǎn)的半徑較小。 根據(jù)公式an＝可知A的向心加速度小于B的向心加速度，所以C錯(cuò)誤；周期相等，且A的半徑較大。根據(jù)公式an＝()2r可知A的向心加速度大于B的向心加速度，所以B正確；分析：三輪相互不打滑，所以A、C兩邊的線速度相等。根據(jù)an＝及an＝ω2r可得aC＝＝向心加速度課件，所以A正確。分析：B做水平拋射運(yùn)動(dòng)。在垂直方向，R＝gt2，所以t＝，則水平位移為x＝v0t＝·＝R。 設(shè)小球A在一次運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，要與小球B發(fā)生碰撞，根據(jù)幾何關(guān)系，當(dāng)小球A移動(dòng)或剛好能與小球B發(fā)生碰撞時(shí)，則t＝＝或t＝＝，且an＝R，則合并解為：an＝或an＝，因此A、D正確。
