工程震動(dòng)的基礎(chǔ)草稿，歡迎批評(píng)，意見返回陳奎孚29圖2-27單自由度系統(tǒng)示意將上式代入(2.21)有12222ddd12dddiiiiixyzTqmqqq????????=++??????????????????∑?(2.23)2按照單自由度假設(shè)和式(2.22),我們曉得ddd,,dddiiixyzqqq也都是q的單變量函數(shù),3為此(2.23)方括弧也是q的單變量函數(shù),求和以后一直為q單變量函數(shù)。記這個(gè)函4數(shù)為eq()mq，這樣(2.23)式縮寫為52eq1()2Tmqq=?(2.24)6與2.1節(jié)的動(dòng)能212mx?相平行,q?就是廣義速率,而eq()mq就是對(duì)廣義座標(biāo)q7的等效質(zhì)量。82.等效撓度9勢(shì)能是位置函數(shù),10(,,)((),(),())iiiiiiiiiiUUxyzUxqyqzq==∑∑(2.25)11因而勢(shì)能最終是廣義座標(biāo)q的單變量函數(shù)()Uq。
12依據(jù)機(jī)械能守恒有132eq1()()2UqmqqE+=?14兩側(cè)對(duì)時(shí)間t導(dǎo)數(shù)可以得到15eq3eqdd1()0d2dmUqmqq++=?????16約去q?就得到運(yùn)動(dòng)微分等式17eq2eqd1d()02ddmUmqqq++=???(2.26)18靜平衡位置的定義為:系統(tǒng)可以處于在該位置仍然不動(dòng)，也就是能使19工程震動(dòng)的基礎(chǔ)草稿，歡迎批評(píng)，意見返回陳奎孚300,0qq≡≡???的位置bq。也就是在該處1d()0dbbqqUU=′==(2.27)2ddUq就是廣義力。上式的要求就是在靜平衡位置處,廣義力(或則回復(fù)力)等于0。3微幅震動(dòng)是圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng),因而在平衡位置附近將勢(shì)能()Uq對(duì)微幅4震動(dòng)bqq?作泰勒展開有5231()()()()()()()2bbbbbbUqUqUqqqUqqqOqq′′′=+?+?+?(2.28)6依據(jù)(2.27)式,上式右端第二項(xiàng)為0。
第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)零勢(shì)能點(diǎn),它是可以任意選定的7(對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)以后，這個(gè)零勢(shì)能點(diǎn)不會(huì)在(2.26)等式中出現(xiàn))，因而就好似上述例題8可刻意地選定()0bUq=。第四項(xiàng)因是高階小量而略去(在線性震動(dòng)理論框架下也9必須略去),這樣102211()()()()22bbbUqUqqqUqq′′′′≈?=?(2.29)11其中bqqq=??。12式(2.29)與彈簧勢(shì)能212kx相平行，所以稱eq()()bbkqUq′′=為等效撓度。使用q?13符號(hào)和(2.29)的關(guān)系,式(2.26)變?yōu)?42eqeqeq1()()()02bbbmqqmqqkqq′++=??????(2.30)15對(duì)于微幅線性震動(dòng)，上式第二項(xiàng)可略去。這是由于：q?為微幅,所以q??也為16微幅，因而2q??為高階小量。實(shí)際上,有時(shí)更簡(jiǎn)單一些,例如有些系統(tǒng)的動(dòng)能根17本與q無關(guān),另外系統(tǒng)質(zhì)量分布bq呈偶對(duì)稱，這兩種情況都有=,此時(shí)第18二項(xiàng)精確地等于零。
19略去(2.30)式的第二項(xiàng)(在線性震動(dòng)理論框架下也必須略去),這樣就得到20eqeq()()0bbmqqkqq+=????(2.31)21它與式(2.3)完全平行，因而固有頻度為22eqeqeq()()()()bbbbkqUqpmqmq′′==(2.32)23在好多情形下,eqm不隨位置變化，相對(duì)困難的是eqk，它對(duì)應(yīng)的是勢(shì)能。但(2.32)24工程震動(dòng)的基礎(chǔ)草稿，歡迎批評(píng)，意見返回陳奎孚·圖2-28薄壁半圓桶作微幅震動(dòng)式表明對(duì)單自由度線性震動(dòng)系統(tǒng)的固有頻度，勢(shì)能函數(shù)中有貢獻(xiàn)的是在平衡位置1的二階行列式，也就是在勢(shì)能對(duì)平衡位置泰勒展開以后，最重要的是二次項(xiàng)。所以2假如平衡位置早已曉得,這么用泰勒展開系統(tǒng)各勢(shì)能項(xiàng)時(shí),只須要保留二次項(xiàng)即3可,而其他可不寫出。4對(duì)圖2-27施加了單自由度假定,而式(2.31)只用到了微幅假定，因而式(2.32)5具有廣泛的適用性。6正如上面的事例,物理上eq()bkq有可能大于零，此時(shí)bq已不是一個(gè)穩(wěn)定的平7衡點(diǎn)，不會(huì)出現(xiàn)震動(dòng)，因而固有頻度的概念失效。
8例題2-15.一薄半圓桶,平均直徑為R。在一粗糙面上作微擺動(dòng),如所示。試9求其微幅震動(dòng)的固有頻度。10解:與后面的事例不同,本例的等效質(zhì)量不是常數(shù)。11按照正弦定律有122222cosACOCROCACθ=+?×(a)13而剛體速率為14CvACθ=?(b)15由理論熱學(xué)的平行軸定律有1622CJmRmOC=?(c)17動(dòng)能包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)部份,即18221122CCTTTmvJθ=+=+?平轉(zhuǎn)19將式(a),(b)和(c)代入上式有202(cos)TmROCRθ=?×21依據(jù)理論熱學(xué)偏心矩2πOCR=,這樣上式變?yōu)?222()1cosπTmRθθ??=?????(d)23其實(shí)平衡位置為b0θ=,選擇該狀態(tài)為零勢(shì)能位置,這樣任意位置的勢(shì)能為24工程震動(dòng)的基礎(chǔ)草稿，歡迎批評(píng)彈簧剛度串聯(lián)和并聯(lián)的公式，意見返回陳奎孚322()g(1cos)πUmRθθ=?(e)1由(d)和(e)可得22eqbeqb22()21,()gππmmRkmRθθ??=?=????3代入(2.32)可得4g(π2)pR=?5其實(shí)倘若從一開始彈簧剛度串聯(lián)和并聯(lián)的公式，僅估算62222222222211()(0)()2211()()22()bTTmACmROCmROCmROCmRROCθθθθθθ==+?=?+?=??????7則剖析過程稍為簡(jiǎn)單一些。
82.4.2.撓度估算9上述例題的動(dòng)能(也就是等效質(zhì)量)比較容易寫下來,而勢(shì)能則較為困難，這10表明等效撓度的估算比較麻煩。等效撓度其實(shí)可以從頭開始根據(jù)2.4.1節(jié)的方式11來估算，然而工程上有些精典器件或器件組合(如彈簧的串聯(lián)和并聯(lián))早已構(gòu)建了12更直接的方式。下邊對(duì)這種方式進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。131.撓度各類方式14圖2-1使用的彈簧撓度,嚴(yán)格地說應(yīng)當(dāng)為拉壓撓度，是對(duì)應(yīng)于彈簧拉伸和壓15縮的位移的概念，而等效撓度的定義是使系統(tǒng)發(fā)生單位廣義位移所須要施加的廣16義力。廣義位移可以是某點(diǎn)沿指定方向形成單位位移,也可以是繞某點(diǎn)的角位移,17甚至兩者的組合。相應(yīng)的廣義力可能是力、力偶,或則某種具象的物理量。18除了這么,同一預(yù)制構(gòu)件也可因變型方式不同，可以定義不同的撓度。對(duì)于圖192-29所示一端固定的等直圓桿的預(yù)制構(gòu)件,可能發(fā)生的基本變型有拉伸、扭轉(zhuǎn)和彎曲,20對(duì)這三種變型有三種不同的撓度:拉壓撓度,扭轉(zhuǎn)撓度和彎曲撓度。21設(shè)圖中桿長(zhǎng)為l，截面積為S，截面慣性矩為I，截面極慣性矩為pI。材料22彈性撓度為E，切變彈性撓度為G。設(shè)置如圖xOw座標(biāo)。23沿桿軸x方向加力時(shí),按照材料熱學(xué)中等直桿簡(jiǎn)單拉伸的變型公式24BlxFES=25為此在B點(diǎn)的拉壓撓度為=(2.33)27若在B端施加繞x軸的力矩tM,則依照等直圓桿的扭轉(zhuǎn)角公式得到B端扭轉(zhuǎn)28角為29