Part1公式
打點(diǎn)紙帶如圖所示瞬時(shí)速度公式，若要求打下點(diǎn)3時(shí)紙帶的瞬時(shí)速率，可以用下邊公式來估算：
Part2疑惑
問題1(1)式等號有段實(shí)際上是求打下點(diǎn)2到打下點(diǎn)4過程中，紙帶的平均速率，而不是打下點(diǎn)3時(shí)的瞬時(shí)速率，為什么可以用平均速率來表示瞬時(shí)速率呢？
面對剛步入中學(xué)的中學(xué)生，我們可以這樣解釋：
所謂瞬時(shí)速率，就是在求平均速率的時(shí)侯，取無限短時(shí)間；而在實(shí)際操作中，無限短是做不到的，所以我們通常取足夠短時(shí)間來取代無限短時(shí)間。所以，在估算瞬時(shí)速率的時(shí)侯，我們用平均速率來表示。
問題2既然是取足夠短時(shí)間，為什么不用或來求呢？這個(gè)時(shí)侯，老師常常這樣解釋：
紙帶可能做的是加速運(yùn)動，也可能是減速運(yùn)動，假若用上面段或旁邊段0.02s的平均速率來表示瞬時(shí)速率，可能會比實(shí)際值偏大或偏小，假如三者加上去乘以二，還會愈加接近真實(shí)值了，即
問題3對于學(xué)過了勻變速直線運(yùn)動規(guī)律的中學(xué)生來說，會把這個(gè)(1)式和中間時(shí)刻速率公式聯(lián)系上去，由于打下點(diǎn)3時(shí)刻恰好是打下點(diǎn)2和打下點(diǎn)4的中間時(shí)刻。
不過，中間時(shí)刻速率公式僅對勻變速直線運(yùn)動有效，我們做實(shí)驗(yàn)的時(shí)侯，如何可以肯定紙帶的運(yùn)動就是勻變速直線運(yùn)動呢？
面對種種指責(zé)，有沒有更有勸說力的辦法，去說明(1)式是有效的估算方式呢？
Part3麥克勞林公式
物理上有一條神奇的公式——麥克勞林公式，如下
其中表示的階求導(dǎo)，表示的階乘，并規(guī)定。麥克勞林公式其實(shí)泰勒公式的特例。
在數(shù)學(xué)上，常常用它來求近似值，即：在時(shí)，的高次項(xiàng)會顯得很小而可以被忽視，故公式的前幾項(xiàng)可以作為的近似值。我們做以下約定
一階近似：
二階近似：
階近似：
Part4運(yùn)動多項(xiàng)式
物體做直線運(yùn)動時(shí)，其運(yùn)動多項(xiàng)式的階近似可以表示為：
速率多項(xiàng)式是運(yùn)動等式的一階求導(dǎo)，故速率多項(xiàng)式的階近似可以表示為：
對運(yùn)動的近似描述，可以這樣理解：
一階近似：勻速運(yùn)動
二階近似：勻變速運(yùn)動
三階近似：勻變加速運(yùn)動
……
其中的，表示物體的初始位置；，表示物體的初速率；，表示物體的初加速度；……。“勻變加速運(yùn)動”是我自己起的名子，意思是加速度均勻變化的運(yùn)動。加速度的變化率稱為急動度，用符號表示，即。急動度在生物上的意義，彰顯在對運(yùn)動的舒適感方面，比如，車輛加速度在變化的時(shí)候，人會倍感不適，而加速度恒定的時(shí)侯，人并沒有非常顯著的不適。
Part5近似偏差
對于通常情況的直線運(yùn)動，用平均速率來近似瞬時(shí)速率，或則說用平均速率來近似中間時(shí)刻速率，是有可能存在偏差的。平均速率的階近似用表示，中間時(shí)刻速率的階近似用表示，它們的偏差用表示，其中表示近似的階數(shù)。
由此可知，偏差的各階近似如下：
一階近似：
二階近似：
三階近似：
四階近似：
五階近似：
……
Part6結(jié)果剖析
對于通常的直線運(yùn)動，假若僅考慮其三階近似，則平均速率與中間時(shí)刻速率是相等的。假如考慮三階以上近似，也可以發(fā)覺偏差除了隨著指數(shù)級減少（為小量），但是各項(xiàng)系數(shù)也在快速減弱。綜上考慮，取二階近似早已是十分理想的結(jié)果了。這也就是為何可以用平均速率來近似中間時(shí)刻速率的誘因。
有興趣的話瞬時(shí)速度公式，還可以繼續(xù)估算用前一段位移或后一段位移的平均速率來近似瞬時(shí)速率，其偏差的表達(dá)式是多少，具體估算我就不寫在這兒了。可以發(fā)覺，借助前后兩段來近似瞬時(shí)速率，是更合理的估算方式。
Part7一個(gè)補(bǔ)充
一個(gè)方式比其它方式合理，不等于任何情況它的結(jié)果都比其它方式的結(jié)果接近真值。