第十部份磁場
第一講基本知識介紹
《磁場》部分在奧賽考剛中的考點極少，和中考要求的區別不是很大，只是在兩處有推進：a、電流的磁場引進定量估算；b、對帶電粒子在復合場中的運動進行了更深入的剖析。
一、磁場與安培力
1、磁場
a、永磁體、電流磁場→磁現象的電本質
b、磁感硬度、磁通量
c、穩恒電壓的磁場
*畢奧-薩伐爾定理（Biot-law）：對于電壓硬度為I、長度為dI的導體元段，在距離為r的點迸發的“元磁感應硬度”為dB。矢量式d
=k
，（d
表示導體元段的方向沿電壓的方向、
為導體元段到考查點的方向矢量）；或用大小關系式dB=k
結合安培定則尋求方向亦可。其中k=1.0×10?7N/A2。應用畢薩定理再結合矢量疊加原理，可以求解任何形狀導線在任何位置迸發的磁感硬度。
畢薩定理應用在“無限長”直導線的推論：B=2k
；
*畢薩定理應用在環型電壓垂直中心軸線上的推論：B=2πkI
；
*畢薩定理應用在“無限長”螺線管內部的推論：B=2πknI。其中n為單位寬度螺線管的阻值。
2、安培力
a、對直導體，矢量式為
=I
；或抒發為大小關系式F=θ再結合“左手定則”解決方向問題（θ為B與L的傾角）。
b、彎曲導體的安培力
⑴整體合力
折線導體所受安培力的合力等于聯接始末端連線導體（電壓不變）的的安培力。
證明：參照圖9-1，令MN段導體的安培力F1與NO段導體的安培力F2的合力為F，則F的大小為
F=
=BI
=BI
關于F的方向，因為ΔFF2P∽ΔMNO，可以證明圖9-1中的兩個白色三角形相像，這也就證明了F是垂直MO的，再因為ΔPMO是等邊三角形（這個證明很容易），故F在MO上的垂足就是MO的中點了。
證畢。
因為連續彎曲的導體可以看成是無窮多元段直線導體的折合，所以，關于折線導體整體合力的推論也適用于彎曲導體。（說明：這個推論只適用于勻強磁場。）
⑵導體的內張力
彎曲導體在平衡或加速的情形下，均會出現內張力，具體剖析時，可將導體在被考查點切斷，再將被切斷的某一部份隔離，列平衡多項式或動力學多項式求解。
c、勻強磁場對線圈的扭矩
如圖9-2所示，當一個圓形線圈（線圈面積為S、通以恒定電壓I）倒入勻強磁場中，且磁場B的方向平行線圈平面時，線圈受安培力將轉動（并手動選擇垂直B的中心軸OO′，由于剛體無加速度），此瞬時的轉矩為
M=BIS
幾種情形的討論——
⑴增加阻值至N，則M=NBIS；
⑵轉軸平移，推論不變（證明從略）；
⑶線圈形狀改變，推論不變（證明從略）；
*⑷磁場平行線圈平面相對原磁場方向旋轉α角，則M=α，如圖9-3；
證明：當α=90°時，即便M=0，而磁場是可以分解的，只有垂直轉軸的的份量Bcosα能夠形成轉矩…
⑸磁場B垂直OO′軸相對線圈平面旋轉β角，則M=β，如圖9-4。
證明：當β=90°時，即便M=0，而磁場是可以分解的，只有平行線圈平面的的份量Bcosβ能夠形成轉矩…
說明：在默認的情況下，討論線圈的力矩時，覺得線圈的轉軸垂直磁場。若果沒有人為設定，而是讓安培力自行選取轉軸，這時的扭矩稱為質心矩。
二、洛侖茲力
1、概念與規律
a、
=q
，或展開為f=θ再結合左、右手定則確定方向（其中θ為
與
的傾角）。安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀彰顯。
b、能量性質
因為
總垂直
與
確定的平面，故
總垂直
，只能起到改變速率方向的作用。推論：洛侖茲力可對帶電粒子產生沖量，卻不可能做功。或：洛侖茲力可使帶電粒子的動量發生改變卻不能使其動能發生改變。
問題：安培力可以做功，為何洛侖茲力不能做功？
解說：應當注意“安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀彰顯”這句話的準確涵義——“宏觀彰顯”和“完全相等”是有區別的。我們可以分兩種情形看這個問題：（1）導體靜止時，所有粒子的洛侖茲力的合力等于安培力（這個證明從略）；（2）導體運動時，粒子參與的是沿導體棒的運動v1和導體運動v2的合運動，其合速率為v，這時的洛侖茲力f垂直v而安培力垂直導體棒，它們是不可能相等的，只能說安培力是洛侖茲力的分力f1=qv1B的合力（見圖9-5）。
很其實，f1的合力（安培力）做正功，而f不做功（或則說f1的正功和f2的負功的代數和為零）。（事實上，因為電子定向聯通速度v1在10?5m/s數目級，而v2通常都在10?2m/s數目級以上，使得f1只是f的一個極小份量。）
☆如果從能量的角度看這個問題，當導體棒置于光滑的滑軌上時（參看圖9-6），導體棒必獲得動能，這個動能是如何轉化來的呢？
若先將導體棒卡住，回路中產生穩恒的電壓，電壓的功轉化為回路的焦耳熱。而將導體棒釋放后，導體棒受安培力加速，將產生感應電動勢（反電動勢）。動力學剖析可知，導體棒的最后穩定狀態是勻速運動（感應電動勢等于電源電動勢，回路電壓為零）。因為達到穩定速率前的回路電壓是逐步減少的，故在相同時間內發的焦耳熱將比導體棒被卡住時少。所以，導體棒動能的降低是以回路焦耳熱的降低為代價的。
2、僅受洛侖茲力的帶電粒子運動
a、
⊥
時，勻速圓周運動，直徑r=
，周期T=
b、
與
成通常傾角θ時，做等錐度螺旋運動，直徑r=
，缸徑d=
這個推論的證明通常是將
分解…（過程從略）。
☆但也有一個問題，假若將
分解（成垂直速率份量B2和平行速率份量B1，如圖9-7所示），粒子的運動情酷似乎就不一樣了——在垂直B2的平面內做圓周運動？
雖然，在圖9-7中，B1平行v只是一種暫時的現象，一旦受B2的洛侖茲力作用，v改變方向后就不再平行B1了。當B1施加了洛侖茲力后，粒子的“圓周運動”就難以達成了。（而在分解v的處理中，這些局面是不會出現的。）
3、磁聚焦
a、結構：見圖9-8，K和G分別為陰極和控制極，A為陽極加共軸限制膜片，螺線管提供勻強磁場。
b、原理：因為控制極和共軸膜片的存在，電子進磁場的發散角極小，即速率和磁場的傾角θ極小，各粒子做螺旋運動時可以覺得斜度彼此相等（直徑可以不等），故所有粒子會“聚焦”在螢光屏上的P點。
4、回旋加速器
a、結構&原理（注意加速時間應忽視）
b、磁場與交變電場頻度的關系
因回旋周期T和交變電場周期T′必相等，故
c、最大速率vmax=
=2πRf
5、質譜儀
速率選擇器&粒子圓周運動，和中考要求相同。
第二講典型例題解析
一、磁場與安培力的估算
【例題1】兩根無限長的平行直導線a、b相距40cm，通過電壓的大小都是3.0A磁力矩做功，方向相反。試求坐落兩根導線之間且在兩導線所在平面內的、與a導線相距10cm的P點的磁感硬度。
【解說】這是一個關于畢薩定理的簡單應用。解題過程從略。
【答案】大小為8.0×10?6T，方向在圖9-9中垂直紙面向外。
【例題2】半徑為R，通有電壓I的方形線圈磁力矩做功，置于磁感硬度大小為B、方向垂直線圈平面的勻強磁場中，求因為安培力而導致的線圈內張力。
【解說】本題有兩種解法。
方式一：隔離一小段弧，對應圓心角θ，則弦長L=θR。由于θ→