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第五章動量第一單元動量、沖量動量定律
二.知識要點：
1.考點目標
動量定律和動量守恒定理的應用只限于一維的情況
概述：本章內容包括動量和沖量兩個基本概念及動量定律和動量守恒定理兩條基本規律。沖量是力對時間的累積，是過程量；動量是物體機械運動量的量度，是狀態量。動量定律表明了力對時間的累積效應使物體的動量發生改變。物體在互相作用時物體間有動量的傳遞，但在系統外力的沖量為零時，物體系統的總動量將不改變，即動量守恒。動量守恒定理比牛頓運動定理的適用范圍更廣泛，是自然界普遍適用的基本規律之一。
因為應用動量守恒定理解決的問題過程較復雜，又經常跟能量守恒綜合考查，致使應用動量守恒定理求解的題目難度較大，加之動量定律、動量守恒定理都是矢量多項式，這也給應用這種規律解決問題降低了難度。所以，本章也是中學數學備考的難點之一。
本章知識可分兩個單元組織備考：
（1）動量和沖量，動量定律
（2）動量守恒定理
三.知識點：
1.動量
（1）定義：運動物體的稱作動量，動量的單位：。
（2）物體的動量表征物體的運動狀態，其中的速率為瞬時速率，一般以地面為參考系。
（3）動量是量，其方向與的方向相同。兩個物體的動量相同必須是大小相等，方向相同。
（4）注意動量與動能的區別和聯系：動量、動能和速率都是描述物體運動的狀態量，動量是矢量，動能是標量，動量和動能的關系是：p2=2mEk。
2.動量的變化量
（1）ΔP=
（2）動量的變化量是矢量，共方向與速率變化的方向相同，與合外力沖量的方向相同，跟動量的方向無關。
（3）求動量變化量的方式：①ΔP=＝mvt－mv0；②
3.沖量
（1）定義：，稱作該力的沖量，I=，沖量的單位：。
（2）沖量是過程量，它表示力在一段時間內的累積作用療效。
（3）沖量是量，其方向由力的方向決定。假如在作用時間內力的方向不變，沖量的方向就與力的方向相同。
（4）求沖量的方式：①I＝Ft（適用于求恒力的沖量），②ΔP=。
4.動量定律
（1）物體所受，等于這個物體動量的，這就是動量定律。
表達式為：Ft=或Ft＝
（2）動量定律的研究對象是單個物體或可視為單個物體的系統。當研究對象為物體系時，物體系總動量的增量等于相應時間內物體系所受的合外力的沖量。所謂物體系總動量的增量是指系統內各物體的動量變化量的矢量和。所謂物體系所受的合外力的沖量是指系統內各物體所受的一切外力的沖量的矢量和，而不包括系統內部物體之間的互相斥力（內力）的沖量；這是由于內力總是成對出現的，并且它們的大小相等、方向相反，其矢量和總等于零。
（3）動量定律公式中的F是研究對象所受的包括重力在內的所有外力的合力。它可以是恒力，也可以是變力。當合外力為變力時，F應當是合外力對作用時間的平均值。
說明：
①在嚴打和碰撞問題中，物體之間的互相斥力的量值很大，變化很快，作用時間短，這些斥力一般叫力道，力道的本質是彈力。
②當力道比其他力大得多時，可以忽視其他力，把力道作為公式中的F，而且我們必須清楚這只是一種近似的處理方式。
③從數學意義上講，公式中的F應當是合力，而不是力道。
（4）動量定律公式中的FΔt是合外力的沖量，也可以是外力沖量的矢量和，是使研究對象動量發生變化的誘因。在所研究的化學過程中，假如作用在研究對象上的各個外力的作用時間相同，求合外力的沖量時，可以先按矢量合成法則求所有外力的合力，之后再除以力的作用時間；也可以先求每位外力在作用時間內的沖量，之后再按矢量合成法則求所有外力沖量的矢量和；假如作用在研究對象上的各個力的作用時間不相同，就只能求每位力在相應時間內的沖量，之后再求所有外力沖量的矢量和。
（5）動量定律中mv2－mvl是研究對象的動量增量，是過程終態動量與初態動量的差值（矢量加法）。式中“一”號是運算符號，與正方向的選定無關。
（6）動量定律中的等號（＝），表明合外力的沖量與研究對象的動量增量的數值相等，方向一致，單位相同，但絕不能覺得合外力的沖量就是動量的增量。合外力的沖量是導致研究對象的運動狀態改變的外來誘因，而動量的增量則是研究對象受外力沖量后所造成的必然結果。
（7）FΔt=Δmv是矢量式，在應用動量定律時，應當遵守矢量運算的平行四邊形法則。也可以采用正交分解法，把矢量運算轉化為標量運算。假定用Fx（或Fy）表示合外力在x（或y）軸上的份量，（或）和vx（或vy）表示物體的初速率和末速率在x（或y）軸上的份量，則FxΔt＝
FyΔt＝
上述兩式表明，合外力的沖量在某一座標軸上的份量等于物體動量的增量在同一座標軸上的份量。在寫動量定律的份量方程式時，對于已知量，但凡與座標軸正方向同向者取正值，但凡與座標軸正方向反向者取負值；對未知量，通常先假定為正方向，若估算結果為正，說明實際方向與座標軸正方向一致，若估算結果為負，說明實際方向與座標軸正方向相反。
（8）按照F＝ma得
F＝ma＝m＝，即F＝。
這是牛頓第二定理的另一種抒發方式；合外力F等于物體動量的變化率。
5.用動量定律解釋現象
用動量定律解釋的現象通?？煞譃閮深悾?span style="display:none">0XH物理好資源網(原物理ok網)
一類是物體的動量變化一定，此時力的作用時間越短，力就越大；時間越長，力就越小；另一類是斥力一定，此時力的作用時間越長，動量變化越大；力的作用時間越短，動量變化越小，剖析問題時，要把那個量變化認清楚。
四.疑難解析：
1.指的是動量的變化量，不要理解為是動量，它的方向可以跟初動量的方向相同（同仍然線，動量減小）；可以跟初動量的方向相反（同仍然線，動量增大）；也可以跟初動量的方向成某一角度，但動量變化量（）的方向一定跟合外力的沖量的方向相同。
2.（1）應用動量定律I＝Δp求變力的沖量：假若物體遭到大小或方向改變的力的作用，則不能直接用Ft求變力的沖量，而應求出該力作用下物體動量的變化Δp等效代換變力的沖量I。諸如質量為m的小球用長為r的細繩的一端系住，在水平光滑的平面內繞細繩的另一端做勻速圓周運動，速度為v，周期為T，向心力F＝m。在半個周期的沖量不等于m，由于向心力是個變力（方向時刻在變）。由于半個周期的始、末線速率方向相反，動量的變化量是2mv，依據動量定律可知，向心力在半個周期的沖量大小也是2mv，方向與半個周期的開始時刻線速率的方向相反。
（2）應用Δp＝F?Δt求恒力作用下的曲線運動中物體動量的變化；在曲線運動中，速率方向時刻在變化，求動量的變化（Δp＝p2－p1）須要應用矢量運算技巧，比較麻煩，假如斥力是恒力，可以求出恒力的沖量等效代換動量的變化。如平拋運動中動量的變化問題。
五.思索討論：
以初速率平拋出一個質量為m的物體，求拋出后t秒內物體的動量變化。
3.用動量定律解題的基本思路
（1）明晰研究對象和研究過程。研究對象可以是一個物體，也可以是幾個物體組成的系統。系統內各物體可以是保持相對靜止的，也可以是相對運動的．研究過程既可以是全過程，也可以是全過程中的某一階段。
（2）進行受力剖析。只剖析研究對象以外的物體施給研究對象的力．所有外力之和為合外力。研究對象內部的互相斥力（內力）會改變系統內某一物體的動量，但不影響系統的總動量，因而毋須剖析內力。假如在所選取的研究過程中的不同階段中物體的受力情況不同，就要分別估算它們的沖量，之后求它們的矢量和。
（3）規定正方向。因為力、沖量、速度、動量都是矢量，在一維的情況下，列式前要先規定一個正方向，和這個方向一致的矢量為正，反之為負。
（4）寫出研究對象的初、末動量和合外力的沖量（或各外力在各個階段的沖量的矢量和）。
（5）依據動量定律列式求解。
【典型例題】
[例1]“蹦極”是一項勇敢者的運動，如圖1所示，某人用彈性橡皮繩擄獲身體自高空P處自由下落，在空中體會失重的滋味．若此人質量為60kg，橡皮繩長20m，人可看成質點，g取10m／s2，求：
（1）此人從點P處由靜止下落至橡皮繩剛下蹲（無伸長）時，人的動量為；
（2）若橡皮繩可相當于一根勁度系數為100N／m的輕質彈簧，則此人從P處下落到
m時具有最大速率；
（3）若彈性橡皮繩的緩沖時間為3s，求橡皮繩遭到的平均力道的大小。
圖1
解析：
（1）人從高空落下，先在重力作用下做自由落體運動，彈性橡皮繩剪短后除遭到重力外還遭到橡皮繩的彈力F作用。他做自由落體運動的時間為t1＝＝＝2s
他做自由落體運動的末速率為v＝gtl＝20m／s
此時他的動量為p＝mv＝1200kg?m／s
（2）當他抵達平衡位置時，速率最大，則kx＝mg
解得平衡位置時橡皮繩伸長量為x＝6m，他從P處下落了26m。
（3）對人從開始下落到速率減為零的全過程，又由動量定律得
mg（t1+t2）一Ft2＝0
解得：F＝1000N
依據牛頓第三定理得，橡皮繩遭到的平均力道大小為1000N。、
推進拓展：
參照本例試剖析：
（1）在“跳高”和“跳遠”的賽事中，運動員為何要落在沙坑中?
（2）“跳傘”運動員著地時，為何要有“團身”動作?
（3）在棋類項目的體育課上，搶斷和投球時為何要有緩沖動作?
說明：前面問題中通過延長動量變化時間減少斥力，通過估算可以看出這些緩沖作用的療效很顯著。這也就是雜技藝人、高空作業的工人、高速行駛的駕駛員和后排旅客要扣安全帶的道理。
[例2]兩物體質量之比為，ml:m2＝4:1，它們以一定的初速率沿水平面在磨擦力作用下做減速滑行到停出來的過程中：
（1）若兩物體的初動量相同，所受的磨擦力相同，則它們的滑行時間之比為；
（2）若兩物體的初動量相同，與水平面間的動磨擦質數相同，則它們的滑行時間之比為；
（3）若兩物體的初速率相同，所受的磨擦力相同，則它們的滑行時間之比為；
（4）若兩物體的初速率相同，與水平面間的動磨擦質數相同，則它們的滑行時間之比為。
解析：
（1）由動量定律得
因為Ff和p均相同，所以tl:t2＝1:1
（2）由動量定律得
因為p、均相同，所以t與m成正比，故t1:t2＝m2:ml=1:4
（3）由動量定律得
因為Ff、v均相同動量沖量動量定理思維導圖，所以t與m成反比，故tl:t2=m1:m2=4:1
（4）由動量定律得
因為、v均相同，所以t1:t2＝1:1
說明：（1）對于這些涉及時間的動力學問題，借助動量定律剖析常常比較便捷，請朋友們注意感受。
（2）求解比列問題時，通常是推導入所求數學量與其他化學量的關系式，再求比列。求比列時，要非常注意表達式中什么數學量是不變的，什么化學量是變化的。
[例3]高壓掘進水槍進水口的截面積為S，水的射程為v，射到礦體上后，水速率為零。若水的密度為ρ，求水對礦體的力道。
解析：從水槍中射出的水是連續的，這樣對解題極為不便，為使連續的水像物體一樣，我們可以取一小段時間的水進行研究．射到礦體上的水，在較短時間速率變為零，煤一定對水（水為研究對象）形成了力的作用，此力為變力，因而可以由動量定律來求出煤對水的平均斥力，即力道，由牛頓第三定理就曉得水對煤的斥力。
由水流算出Δt內水的質量，以Δt時間內的水為研究對象，由動量定律列多項式，求煤對水的力，再由牛頓第三定理求水對煤的力。
設在Δt時間內，從水槍射出的水的質量為Δm，則Δm＝ρSvΔt．以Δm為研究對象，它在Δt時間內動量變化為；Δp＝Δm（0一v）＝一ρSv2Δt
設FN為水對礦體的力道，FN'為礦體對水的反沖力，以FN’的方向為正方向，按照動量定律（忽視水的重力）有：Δt＝Δp＝一ρSv2Δt
解得：FN’＝一ρSv2
依據牛頓第三定理知FN＝一FN’，所以FN＝ρSv2
說明：這是一類發霉量（或連續流體）問題，對這類問題的處理，通常要選定一段時間的流體為研究對象，之后表示出所選研究對象的質量，剖析它的受力及動量的變化，依據動量定律列多項式求解。
推進拓展：
國產水刀——超高壓數控萬能水切割機以其神奇的切割性能在上海國際展覽中心舉辦的第五后國際車床展覽會上造成震驚，它能切割40mm厚的厚板、50mm厚的花崗巖等材料。
水刀就是將普通的水加壓，使其從口徑為0.2mm的噴管中以800m／s～1000m／s的速率射出的水射流。我們曉得，任何材料承受的浮力都有一定限度，下表列舉了一些材料所能承受的浮力限度。
構想有一水刀的水射流橫截面積為S，垂直入射的速率v＝800m／s，水射流與材料接觸后，速率為零，且不附著在材料上，水的密度ρ＝1×103kg／m3，則此水刀不能切割上述什么材料?
[例4]如圖2所示，p為坐落某一高度處的質量為m的物塊，B為坐落水平地面上的質量為M的特殊長平板，m／M＝1／10，平板與地面間的動磨擦質數為μ＝2.00×10—2。在板的上表面上方，存在一定長度的“相互作用區域”，如圖中畫實線的部份。當物塊P步入互相作用區時，B便有豎直向下的恒力f作用于p，f＝amg，a＝5l，f對p的作用使p恰好不與B的上表面接觸；在水平方向p、B之間沒有互相斥力。已知物塊p開始自由落下的時刻，板B往右的速率為v0＝10.0m／s。P從開始下落到剛抵達互相作用區所經歷的時間為T0＝2.00s。設B板足夠長，保證物塊p總能落入B板上方的互相作用區，取重力加速度g=9.80m／s2。問：當B開始停止運動那一時刻，p早已回到過初始位置幾次?
圖2
解析：因為P恰好不與B的上表面接觸，P下落時先做自由落體運動，它步入互相作用區后做勻減速運動，速率降低到零再返回，返回時與下落時受力情況完全相同，所以，p恰好能回到初始位置。p從開始下落到返回原處的時間內，設恒力f作用的時間為Δt，則重力作用時間為：2To+Δt，P在該過程所受合外力總沖量為零，即fΔt一mg（2To+Δt）＝0
由f＝amg得：Δt＝0.08s
恒力f作用的時間木板受磨擦力的大小為f’＝μ（Mg+amg）
p不在互相作用區的時間內木板受磨擦力的大小為f0＝μMg
對木板應用動量定律
fo?2To＋f’?Δt＝M?Δv
即μMg?2+μ（Mg+amg）?Δt＝Δv
得：Δv＝0.88m／s
n＝＝11.38，取整數為：N＝11次
說明：
（1）剖析該問題時要緊抓過程周期性的特性．
（2）注意物塊P從開始下落到返回原高度一周期內，物塊p在互相作用區的時間和不在互相作用區的時間內，B板的受力情況不同，決定了它的運動的情況不同。
【模擬試卷】（答題時間：50分鐘）
1.下述各類說法中，不能否創立的是（）
A.某一段時間內物體動量的增量不為零，而其中某一時刻物體的動量可能為零
B.某一段時間內物體遭到的沖量為零，而其中某一時刻物體的動量可能不為零
C.某一段時間內物體遭到的沖量不為零，而動量的增量為零
D.某一時刻物體的動量為零，而動量對時間的變化率不為零
2.質量為5kg的物體，它的動量對時間的變化率保持不變為2kg?m／s2，則（）
①該物體一定做勻速運動
②該物體一定做勻變速直線運動
③該物體在任意相等的時間內所受合外力的沖量一定相同
④無論物體運動軌跡怎樣，它的加速度一定是0.4m／s2
以上推論正確的是（）
A.①④D.②③C.③④D.②④
3.質量不等的兩個物體靜止在光滑的水平面上，兩物體在外力作用下，獲得相同的動能。下邊的說法中正確的是（）
A.質量小的物體動量變化大
B.質量大的物體受的沖量大
C.質量大的物體末動量小
D.質量大的物體動量變化率一定大
4.沿同仍然線，甲、乙兩物體分別在阻力Fl、F2作用下做直線運動，甲在t1時間內，乙在t2時間內動量p隨時間t變化的P—t圖像如圖1所示。設甲物體在t1時間內所遭到的沖量大小為I1，乙物體在t2時間內所遭到的沖量大小為I2，則兩物體所受外力F及其沖量I的大小關系是（）
A.F1>F2，Il＝I2B.F1C.Fl>F2，I1>I2D.Fl=F2，Il＝I2
圖1
5.物體A初動量大小是7.0kg?m／s，碰撞某物體后動量大小是4.0kg?m／s。這么物體碰撞過程動量的增量Δp的大小范圍是。
6.如圖2所示，兩個質量相等的物體在同一高度沿夾角不同的兩個光滑斜面由靜止自由滑下，抵達斜面底端的過程中，兩個物體具有的相同數學量是（）
A.重力的沖量
B.彈力的沖量
C.剛抵達底端時的動量
D.合力的沖量大小
圖2
7.質量為m的小球從h高處自由下落，與地面碰撞時間為Δt，地面對小球的平均斥力為F。取豎直向下為正方向，在與地面碰撞過程中（）
A.重力的沖量為mg（+Δt）
B.地面對小球斥力的沖量為F?Δt
C.合外力對小球的沖量為（mg+F）?Δt
D.合外力對小球的沖量為（mg－F）?Δt
8.（2004年廣州，14）一質量為m的小球，以初速率沿水平方向射出，正好垂直地射到一夾角為30o的固定斜面上，并立刻反方向彈回。已知大跌速率的大小是入射速率大小的，求在碰撞中斜面對小球的沖量大小。
9.如圖3，質量分別為mA、mB的鐵塊疊置于光滑的水平面上，在A上施加水平恒力F，使兩鐵塊從靜止開始做勻加速運動，A、B無相對滑動，則經過ts，鐵塊A所受的合外力的沖量為，鐵塊B的動量的增量Δp為。
圖3
10.如圖4中的四個圖像是描述豎直上拋物體的動量增量隨時間變化的曲線和動量變化率隨時間變化的曲線。若不計空氣阻力，取豎直向下為正方向，這么以下推論正確的是（）
①動量增量隨時間變化的圖線是甲圖
②動量變化率隨時間變化的圖線是乙圖
③動量增量隨時間變化的圖線是丙圖
④動量變化率隨時間變化的圖線是丁圖
A.①④B.②③C.③④D.①②
圖4
11.如圖5所示，一石塊壓著一字條置于水平桌面上，當以速率v抽出字條后，石塊掉在地上的p點。若以2v速率抽出字條，則石塊落地點為（）
A.仍在P點
B.在P點右邊
C.在P點一側不遠處
D.在P點一側原水平位移的兩倍處
圖5
12.如圖6所示，質量為2kg的質點，從原點O沿Ox軸由靜止開始做勻加速直線運動，它的動量p隨位移的變化規律是p＝8kg?m／s。則有
①質點在1s內遭到的沖量為8N?s
②質點通過相同距離，動量的增量可能相同
③質點通過A、B、C……各點時，動量對時間的變化率相同，均為16kg?m／s2
④質點在任意相等時間內的動量增量一定相同
以上推論正確的是（）
A.①④B.②③C.③④D.①②
圖6
13.物體A和B用輕繩相聯接，掛在輕質彈簧下靜止不動，如圖7（a）所示。A的質量為m，B的質量為M．當聯接A、B的繩忽然斷掉后，物體A上升，經某一位置時的速率大小為v這時，物體B的下落速率大小為u，如圖（b）所示。在這段時間里，彈簧的彈力對物體A的沖量為（）
A.mvB.mv—MuC.mv+MuD.mv+mu
圖7
14.一個物體同時遭到兩個力Fl、F2的作用，F1、F2與時間的關系如圖8所示，假如該物體從靜止開始運動，當該物體具有最大速率時，物體運動的時間是s，該物體的最大動量值是kg?m／s。
圖8
15.質量m＝5kg的物體在恒定水平推力F＝5N的作用下，自靜止開始在水平橋面上運動，t1=2s后，撤掉力F，物體又經t2＝3s停了出來。求物體運動中受水平面滑動磨擦力的大小。
16.一人水平端著沖鋒槍，可以給槍的平均水平力為40N，被打出的炮彈質量20g，出槍口的速率為200m／s，則該槍1min內最多可發射多少發炮彈？
17.如圖9所示，質量為m的小球在豎直光滑矩形內軌道中做圓周運動，周期為T，則
①每運轉一周，小球所受重力的沖量的大小為0
②每運轉一周動量沖量動量定理思維導圖，小球所受重力的沖量的大小為mgT
③每運轉一周，小球所受合力的沖量的大小為0
④每運轉半周，小球所受重力的沖量的大小一定為mgT／2以上推論正確的是（）
A.①④B.②③C.②③④D.①③④
圖9
探究創新
18.有一宇宙飛船，它的正面面積S＝0.98m2，以v＝2×102m／s的速率飛入一宇宙微粒塵區，此塵區每立方米空間有一個微粒，微粒的平均質量m＝2×10－7kg。要使飛船速率保持不變，飛船的牽引力應降低多少?（設微粒與飛船殼體碰撞后附于飛船上）
【試題答案】
1.C2.C3.B4.A5.3kg?m／s≤Δp≤11kg?m／s
6.D7.B8.9.
10.C11.B12.C13.D14.525
15.2N16.60017.B18.0.78N