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近四六年來，隨著計算機硬件和軟件的急速發展，以及估算方式和技術的不斷進步，估算化學在數學學各大分支學科的研究中均發揮了重要作用，早已與理論化學、實驗化學并列為數學學的三大支柱。
鑒于其重要地位，估算化學早已逐漸發展成為學院數學專業的核心課程之一。近些年來，為了推動學院生愈發積極主動地學習和研究估算化學，全省學院生化學實驗大賽在自選類題目中增設了一種新的化學教學資源開發題目，其中要求參賽者“自主開發一個仿真/模擬程序，容許操作者改變參數，可視化地輸出仿真/模擬結果”。
在此背景下，數學學專業的學院生結合自己的學習實際，借助計算機軟件進行一些仿真模擬方面的可視化研究，必定對其專業成長形成非常積極的推動作用。
天文學是一門古老的科學，從哥白尼日心說到開普勒三大行星運動定理，再到牛頓三大運動定理和萬有引力定理，16-17世紀的天文觀測有力地推動了精典熱學的發展。天體運動是數學學習者最常接觸的一種運動，從中學數學課程到學院熱學和理論熱學課程，對其學習層層深入。
但是，在教學過程中發覺不少朋友對天體運動，包括其中較為簡單的行星、周期慧星和雙星系統的運動，還缺少足夠廣泛和深入的認識與理解。諸如，絕大多數朋友對雙星系統的認知僅逗留在方形軌道上，極少有朋友才能清晰地描述出雙星系統的橢圓軌道運動。
因而，使用計算機軟件模擬行星、周期慧星和雙星系統的運動，作出直觀形象的動漫，幫助學習者更好地認識和理解天體運動，是一個很有意義且適宜學院生施行的可視化研究課題。
是一款通用物理軟件，其基礎功能包括數值估算、符號估算、圖形勾畫，因功能強悍、用法簡單、語法高貴，它是進行化學教學資源開發最理想的平臺軟件之一，在估算化學非常是其中的仿真、模擬和可視化研究方面具有寬廣的應用空間。本文將充分借助軟件強悍的圖形勾畫功能和方便的動漫合成功能來精確地模擬行星、周期慧星和雙星系統的運動。
具體而言，本文先模擬行星和周期慧星的運動，之后在此基礎上進一步模擬雙星系統的運動。在前一部份中，先模擬以太陽為參考系的行星和周期慧星的運動，之后將其拓展到以月球為參考系的情形。在后一部份中，先模擬質情系中的雙星系統的運動，之后將其拓展到通常慣性參考系中的情形。
模擬這種天體運動時，本文采取的通常步驟如下：首先，使用（勾畫二維圖形）等函數勾畫一張天體運動的靜態圖；之后，利用Table（表格）函數生成一系列循序漸進的靜態圖；最后，通過（導入）函數將該系列靜態圖按次序合成并輸出為一個動態圖。上述這種強悍的外置函數的運用，極大地便利了本文研究過程的施行和研究目標的實現。
行星和周期慧星的運動
理論剖析
開普勒三大定理以非常簡約地方法統一描述了太陽系中各大行星、小行星和周期慧星的公轉運動。從實驗可以看見，除水星之外，其它行星偏心率都大于0.1，因而，這種行星的公轉軌道都是十分接近于圓的橢圓，可用圓來近似取代，只是在精度要求較高的場合下，仍須根據橢圓來處理。據悉，水星的公轉軌道偏心率小于0.2，早已明顯地具備了橢圓軌道的特點。除八大行星外，太陽系中還有數十萬顆小行星，其中不乏公轉軌道偏心率較大的小行星。
哈雷慧星和恩克慧星分別是第一、二顆按人類預言回歸的慧星，紫金山一、二號慧星是我國科學家發覺的第一、二顆慧星。從該表可以看見，這種慧星的公轉軌道偏心率一般較大，是較扁的橢圓。
為此，要想全面了解太陽系天體的公轉運動，必須對它們的橢圓軌道運動有足夠的認識，非常地，可以利用形象的動漫來降低對它們的感性認識。創作這類動漫的難點在于怎樣使模擬的天體運動也遵守開普勒第二定理，該定理要求天體與太陽之間的連線在相等的時間內掃過相等的面積，該定理可用微分等式抒發為
12[r(t)]2θ˙(t)=πabT(1)
結合年率條件有
θ(0)=0(2)
以及橢圓的極座標多項式為
r=d1+ecosθ(3)
可以求解極角θ隨時間t變化的關系，這是精確模擬天體橢圓軌道運動的關鍵。在前面三個公式中r是極徑，T是公轉周期，a、b、e和d分別是橢圓軌道的半長軸、半短軸、偏心率和半正焦弦。
仿真程序
依照上面的理論剖析，本文編撰的模擬行星和周期慧星運動的程序如下所示。
a=1.000;
e=0.017;
T=1;
c=a*e;
b=a2?c2??????√;
d=b1?c2a2?????√;
s=[{12(d1+ecos[Θ[t]])2Θ'[t]==πabT,
Θ[0]==0},Θ,{t,0,T}];
θ[t_]?First[Θ[t]/.s];
image[t_]:=[{Green,Thick,[{?c,0},{a,b}],
Red,Disk[{0,0},b*0.1],
Blue,Disk[{d1+ecos[θ[t]]cos[θ[t]],
d1+ecos[θ[t]]sin[θ[t]]},b*0.05]},
→{{?1.5a?c,1.5?c},
{?1.5b,1.5b}}];
=Table[image[t],{t,0,T,T/180}];
["月球公轉.gif",,
→0.05,
→{Round[360*a/b],360},
""→6]
其中，前6行句子先對軌道半長軸a、離心律e和公轉周期T進行形參，之后借助a和e估算了軌道的半焦距c、半短軸b和半正焦弦d。第7-9行句子借助（數值求解微分多項式）函數精確求解了極角θ隨時間t變化的函數關系，依據上面的理論剖析，這3行句子是精確模擬天體橢圓軌道運動的關鍵。
第10行及其旁邊的句子是這段程序的主體部份，該部份代碼可分為三個步驟。第一步利用函數定義了image函數，拿來生成天體橢圓軌道運動在t時刻的靜態圖。此處的函數包含以下兩個參數：
（1）涵蓋11-14行的列表，其中包括三個繪圖元素，分別用黑圈、大圓點和小圓點勾畫了橢圓軌道、太陽和繞日公轉的天體；
（2）→{{?1.5a?c,1.5?c},{?1.5b,1.5b}}指定繪圖的橫縱座標范圍分別是{?1.5a?c,1.5?c}和{?1.5b,1.5b}.
第二步借助Table函數生成一系列循序漸進的靜態圖()。其中，Table函數有兩個參數：image[t]；{t,0,T,T/180}拿來指定函數中時間變量t的取值列表，其起始值為0，中止值為T，步長為T/180。
第三步運用函數將系列靜態圖按次序合成并輸出為一個動態圖。這兒的函數有五個參數：（1）“地球繞日公轉.gif”是輸出文件的名子；（2）；（3）→0.05指定動態圖中每幀圖象的顯示時間為0.05秒；（4）→{Round[360*a/b],360}指定動態圖中每幀圖象的橫、縱軸像質數分別為Round[360*a/b]和360，其中Round[360*a/b]是360*a/b四舍五入后的整數值；（5）””→6指定動漫重復播放次數為6。
模擬結果
作為示例，里面的程序將月球公轉的軌道半長軸、偏心率和周期賦給變量a、e和T，所得動態療效圖詮釋的是月球的橢圓軌道運動，改變a、e和T的數值，可以模擬不同天體的橢圓軌道運動。本文又模擬了水星、紫金山二號慧星和恩克慧星的橢圓軌道運動天體物理專業代碼，因文章中不能展示彩色動態圖，本文僅在實驗中展示以上四個動態圖在t=0時刻的黑白靜態圖。
上述模擬結果清晰地展示了相應天體繞日公轉運動。從實驗可以看出：（1）月球的公轉軌道是一個橢圓，但它十分接近于正圓，很難通過肉眼將其與正圓區分開來；（2）水星的公轉軌道也近似于正圓，但太陽顯著偏離軌道的中心，可以通過肉眼將其與正圓區分開來；（3）紫金山二號慧星的公轉軌道是一個典型的橢圓；（4）恩克慧星的公轉軌道也是一個典型的橢圓，但它更扁。
拓展研究
上述天體的橢圓軌道運動是以太陽作為參考系的。但是，一般情況下，我們是在月球上觀測這種天體的運動。因為日心說的成功及其在教材中的普及，不少朋友在學習時忽視了行星和周期慧星相對于月球的運動情況，對此，她們或則不甚清楚，或則誤以為人們在月球上直接觀測到的就是它們繞日公轉的橢圓軌道。
為了讓學習者更清楚地了解人們在月球上觀測到的行星和周期慧星的運動情況，作為示例，本文在此模擬了火星在月球參考系中的運動。因為火星公轉軌道平面與月球公轉軌道平面之間的傾角很小，只有1.85°，在模擬過程上將其近似為0°，覺得這兩個軌道平面互相重合。
火星相對于月球的運動可以由火星相對于太陽的運動疊加太陽相對于月球的運動而成。當以太陽為參考系時，太陽的位置座標一直為(0,0)，月球和火星的位置座標可以分別抒發為
(d11+e1cosθ1cosθ1，d11+e1cosθ1sinθ1)(4)和(d21+e2cosθ2cosθ2，d21+e2cosθ2sinθ2)(5)
其中，d1(d2)、e1(e2)和θ1(θ2)分別代表月球(火星)公轉軌道的半長軸、偏心率和它所處位置的極角。而在月球參考系中，月球的位置座標一直為(0,0)，依據座標變換法則，可以得到太陽和火星的位置座標分別為
(?d11+e1cosθ1cosθ1，?d11+e1cosθ1sinθ1)(6)和(?d11+e1cosθ1cosθ1+d21+e2cosθ2cosθ2，?d11+e1cosθ1sinθ1+d21+e2cosθ2sinθ2)(7)
在前述天體橢圓軌道運動的程序基礎上，按照位置座標公式(6)和(7)，結合月球和火星繞日公轉的數據，編撰并運行新的程序，可模擬火星在月球參考系中的運動。
從中可見，火星相對于月球的運動軌跡要比它相對于太陽的運行軌道復雜得多，由此可見，日心說在描述行星運動時比地心說簡約得多。哥白尼提出的日心說實現了天文學的根本改革，后經布魯諾的鼓吹、第谷的觀測和開普勒的推演，終成三大行星運動定理，并引導牛頓最終完善了萬有引力定理，促進了化學學的巨大進步。
雙星系統的運動
理論剖析
以行星和周期慧星運動的模擬為基礎，可以進一步模擬雙星系統的運動。雙星系統由兩顆星體組成，它們在彼此萬有引力的作用下，在各自的軌道上繞著它們的剛體運動。天文觀測表明，銀河系中存在大量的雙星系統，研究它們，對于理解星體和銀河系的產生與演變都具有極其重要的意義。
關于雙星運動，最簡單的情形是，兩星均繞著它們的剛體做勻速圓周運動，這是數學學習者自小學階段以來就熟知的一種情形。但是，這只是一種特殊情形，普遍的情形則是，兩星均繞著它們的剛體做橢圓軌道運動，絕大多數朋友對這些情形并不熟悉。下邊直接給出對此普遍情形的理論剖析。
設兩星的質量分別為m1和m2，位矢分別為r1和r2，兩星剛體的位矢為r0，第二顆星體相對于第一顆星體的位矢為?r，按照剛體定義和矢量運算法則，有
(m1+m2)r0=m1r1+m2r2(8)
?r=r2?r1(9)
在質情系中，r0=0，結合前面兩式，可得
r1=?m2m1+m2?r(10)
r2=m1m1+m2?r(11)
綜合前面兩式，有r1=?（12）
由此式可知，在質情系中，r1與r2反向，且兩者大小之比與兩星質量之比互為倒數。
依據牛頓第二定理和萬有引力定理，有m1r¨1=Gm1m2?r3?r(13)m2r¨2=?Gm2m1?r3?r(14)
結合公式(10)和(13)、公式(11)和(14)，分別可得
m1r¨1=?Gm1m2(m2m1+m2)(15)
m2r¨2=?Gm2m1(m1m1+m2)(16)
這兩個公式具有重要意義，它們提供了看待雙星運動的新視角：在質情系中，雙星系統的第一、二顆星體分別在靜止于剛體處且質量分別為m2(m2m1+m2)2、m1(m1m1+m2)2的虛擬等效星體的萬有引力作用下運動。依據理論熱學教材中有隴右心力場的相關闡述可知，在質情系中，兩星均繞著它們的剛體做橢圓軌道運動。
綜合剖析公式(12)、(15)和(16)的推論，可進一步獲知，在質情系中：（1）兩星軌道共面且相像，長軸共線，短軸平行，相像比為兩星質量比的倒數；（2）兩星運動同頻且同步，比如它們同時達到遠剛體點和近剛體點。考慮到兩星坐落剛體右側，它們的極座標多項式方式略有不同，如下邊兩式所示。
r1=d11+e1cosθ1(17)
r2=d21?e2cosθ2(18)
且θ1和θ2有如下關系：
θ2=θ1+π(19)
這兒，r1(r2)、θ1(θ2)、e1(e2)和d1(d2)分別是第一(二)顆星體的極徑、極角、軌道偏心率和軌道半正焦弦。
仿真程序
按照上面的理論剖析，本文編撰了下邊這段程序來模擬雙星系統的運動。
m1=1;m2=1;
a1=1;
e1=0.6;
T1=1;
c1=a1*e1;
b1=a12?c12????????√;
d1=b11???????√;
a2=a1*m1m2;
e2=e1;
c2=c1*m1m2;
b2=b1*m1m2;
d2=d1*m1m2;
xmin=If[?(a1+c1)a1?c1,
a2+c2,a1?c1];
Δx=xmax?xmin;
r1=Max[b1,b2]20*If[m1>m2,1,(m1m2)13];
r2=Max[b1,b2]20*If[m1
s=[{12(d11+e1cos[Θ[t]])2Θ'[t]
==π,Θ[0]==0},Θ,{t,0,T1}];
θ[t_]?First[Θ[t]/.s];
image[t_]:=[{Blue,Disk[{d11+e1cos[θ[t]]cos[θ[t]],
d11+e1cos[θ[t]]sin[θ[t]]},r1],
Blue,Thick,[{?c1,0},{a1,b1}],
Green,Disk[{d21?e2cos[θ[t]+π]cos[θ[t]+π],
d21?e2cos[θ[t]+π]sin[θ[t]+π]},r2],
Green,Thick,[{c2,0},{a2,b2}],
Red,Thick,,Line[{{d11+e1cos[θ[t]]cos[θ[t]],d11+e1cos[θ[t]]sin[θ[t]]},
{d21?e2cos[θ[t]+π]cos[θ[t]+π],
d21?e2cos[θ[t]+π]sin[θ[t]+π]}}]},
→{{xmin?Δx4,xmax+Δx4},
{?1.5Max[b1,b2],1.5Max[b1,b2]}}];
=Table[image[t],{t,0,T1,T1180}];
["雙星系統的運動_質量比為1比1_
偏心率為0.6.gif",,
→0.05,→
{Round[360*Δx2Max[b1,b2]],360},
""→6]
其中，前12行句子先把具體數值賦給兩星質量m1和m2以及第一顆星體的軌道半長軸a1、離心律e1和周期T1，之后借助a1、e1、m1和m2估算了第一顆星體的軌道半焦距c1、半短軸b1和半正焦弦d1以及第二顆星體的軌道半長軸a2、離心律e2、半焦距c2、半短軸b2和半正焦弦d2。第13-19行句子估算了兩星軌道上所有點橫坐標的最小值、最大值以及它們的差值，并在密度相同（直徑與質量的1/3次方成反比）的假定下，設定了兩星在圖上的顯示直徑。
第23行及其旁邊的句子是這段程序的主體部份，該部份代碼也可分為三個步驟。第一步利用函數定義了image函數，拿來生成雙星系統橢圓軌道運動在t時刻的靜態圖。此處函數的第一個參數是一個涵蓋24-35行的列表，其中包括五個繪圖元素：（1）第一、二個元素勾畫了第一顆星體及其運動軌道；（2）第三、四個元素分別用勾畫了第二顆星體及其運動軌道；（3）第五個元素勾畫了兩星之間的連線。
模擬結果
借助里面的程序，只要在前4行句子中設定了兩星的質量m1和m2以及其中第一顆星體的軌道半長軸a1、離心律e1和周期T1，就可以模擬相應雙星系統在其質情系中的運動。因為計算機模擬和真實情況之間存在時空縮放因子，a1和T1不是影響仿真療效的核心要素，本文將它們設定為1，以聚焦于考察不同m1:m2和e1對應的雙星系統運動情況。作為示例，本文首先模擬了m1:m2=1:1，e1=e2=0.6、0.4、0.2和0四種情形下的雙星系統運動。
實驗展示了m1:m2=1:1時不同偏心率下的雙星系統運動，可以看出：（1）當偏心率小于0時，兩星軌道相交且全等；（2）隨著偏心率的降低，兩星軌道漸漸變圓且趨于于重合；（3）當偏心率等于0時，兩星順著同一軌道做勻速圓周運動。
之后，本文又模擬了e1=e2=0.6，m1:m2=1:2、1:4、1:10和1:100四種情形下的雙星系統運動，在圖4中展示這四個動態圖在t=0時刻的黑白靜態圖。
從實驗可以看出：（1）隨著質量比的減少，兩星軌道半長軸之比減小，其中質量大的星體軌道半長軸小，質量小的星體軌道半長軸大；（2）隨著質量比的減少，兩星軌道之間的關系，會發生從相交到相切再到相含的變化，仔細剖析可知，(1?e1)(1+m2/m1)=2是相切情形對應的臨界條件；（3）當質量比為1:100時，可近似覺得，質量大的星體是靜止的，而質量小的星體則繞著質量大的星體做橢圓軌道運動。
拓展研究
以上所述為雙星系統在其質情系中的運動。但是，實際觀測時，我們并不處在雙星系統的剛體位置?？紤]到雙星系統一般遠離其他天體，可將其近似為一個理想的孤立系統，因不受外力，系統剛體靜止或則做勻速直線運動，其中靜止是在質情系中獨有的特殊情況，勻速直線運動是在通常慣性參考系中觀察到的普遍情況。為此，在雙星系統橢圓軌道運動的基礎上，疊加一個勻速直線運動，即可得到其在通常慣性參考系中的運動。
修改程序中所有圖形對象的座標，在橫座標和縱坐標的基礎上分別疊加一個增量vxt和vyt，并繪出兩星的運動軌跡，即可模擬雙星系統在通常慣性參考系中的運動（這兒未考慮垂直于雙星系統橢圓軌道平面方向的剛體平移運動份量vzt）。
作為示例，在此僅考察m1:m2=1:2，e1=e2=0.6的雙星系統在vx=1，vy=0情況下的運動，圖5中展示該雙星系統運動三個周期后的黑白靜態圖，其中黑線代表兩星在通常慣性參考系中的運動軌跡，而灰線則代表它們在質情系中的運行軌道以及它們之間的連線。
其相應的動態圖清晰地展示了雙星系統在通常慣性參考系中的運動，盡管其中的雙星運動軌跡看似比較復雜，但實際上它們僅是在其相應的動態圖所示的質情系中橢圓軌道運動的基礎上，疊加了一個整體水平往右的勻速直線運動而產生的?？紤]到通常情況下剛體也有順著雙星系統橢圓軌道平面法線方向的運動份量，雙星運動軌跡會愈加復雜，但無論怎樣，它們都可分解為剛體的平移運動和在質情系中兩星各自的橢圓軌道運動。
本文借助軟件強悍的數值估算功能、圖形勾畫功能、動畫合成功能和程序設計功能，基于精典熱學公式和定理，結合天文學相關數據，對行星、周期慧星和雙星系統的運動進行了精確地動態模擬，作出了多種天體運動的動態療效圖，其中囊括：（1）以太陽為參考系的行星和周期慧星的運動；（2）以月球為參考系的行星和周期慧星的運動；（3）質情系中的雙星系統的運動；（4）通常慣性參考系中的雙星系統的運動。這種動態療效圖形象生動，特別有助于學習者構建清晰的化學圖象，降低對行星、周期慧星和雙星系統的直觀認識，增進對天體運動規律的深入理解。
本文以天體運動的模擬為例介紹了基于的化學教學資源開發。就研究內容而言，行星和周期慧星的繞日公轉運動屬于一體運動問題，雙星系統的運動是兩體運動問題。這兩類問題都有普適的解析解,理論上簡約明晰，因此相應的運動便于模擬。
三體及其以上的多體運動問題不存在普適的解析解，具體問題的研究須要用到天體熱學中的高階理論和技巧，相對來說要困難好多，可以作為將來進行化學教學資源開發的一個拓展方向。天體熱學在科學發展史上留下了濃墨工筆的一筆，其成就為人類深入理解宇宙墊定了基礎，同時也為人類的航海和航天事業提供了幫助，在此方向開發教學資源，可以進一步拓展和迸發物理學習者的視野和興趣。
化學學是研究物質基本組成單元、相互作用和運動規律的科學分支，運動和變化是化學學研究的核心主題。運用計算機軟件將化學學中的運動和變化過程可視化為形象直觀的動漫，可以幫助學習者降低感性認識，構建化學圖象，甩掉物理桎梏天體物理專業代碼，養成化學直覺。
因而，化學學專業的朋友早日接觸估算化學學，在普通數學和四大熱學等課程的學習過程中，進行一些仿真模擬方面的可視化研究，是一件十分有益的事情。正如本文研究內容所詮釋的，作為一款功能強悍、用法簡單、語法高貴的物理軟件，是進行這類研究最為方便和有力的工具之一。
《中國學科發展戰略·計算數學學》
《第八屆全省學院生化學實驗大賽(創新）第一輪通知》
《計算軟件在估算化學課程中的地位與作用》