——科教期刊（電子版）2019年第28期/10月（上）——135期大學數學動量定律和動能定律教學講解 姜俊（北京大學電子技術學院，成都，成都） 摘要 大學數學中有兩個重要的定律：粒子系統的動量定律和粒子系統的動能定律。 這兩條定律可以從牛頓第二定理和微積分知識中嚴格推導出來，因此中學生可以對這兩條定律有更好的理解。 關鍵詞 大學數學 粒子系統動量定律 動能定律 中圖分類號：O313.2 文獻編號：A1 粒子系統動量定律 學過數學的中學生都知道粒子系統動量定律：對于任何系統，系統所受外力合力的沖量等于系統動量的增量。 下面給出嚴格的證明。 1.1 單個質點動量定律 對于單個質點，假設該質點的質量為 m，其受到的外力為 ，其加速度為 ，根據湯頓第二定理： 由（1）和（2）可得（1）和（2）：在經典熱力學范圍內，m 可以認為是一個常數。 因此質點系的動量定理表達式，可以等待： (3) 粒子收到的基本沖量等于粒子動量的微分。 若外力作用于質點的時間在此時間區間內，則對(3)式取定積分： (4) 合成外力的沖量有： (5) 單個質點的動量定律：合成外力作用在質點上的沖量等于質點動量的增量。
1.2 粒子系統的動量定律 假設一個系統由 n 個粒子 m1、m2…、mn 組成，第一個粒子 m1 所受的合外力為 ，作用于第二個至第 n 個粒子的內力分別為 ，第一個粒子結束時刻的動量為 ，初始時刻的動量為 ，則單個粒子的動量定律（4）適用于第一個粒子。 其實有： (5) 同樣，類似的方程： =(6)...=(7) 這n個多項式都相乘： 考慮到：牛頓第三定理，內力總是成對出現，大小相等，方向相反，作用在同一條線上。 因此：所有內力的沖量相乘后必然等于0，即： 所以最后可得： = 化簡上式，其中： 為系統所受總外力的沖量， 為系統末端動量， 為系統始端動量。 最后我們得到： 這就是熱科學中質點系統動量守恒原理：系統所受到的總外力的沖量等于系統動量的增量。 2 粒子系統動能定律 粒子系統動能定律：對于一個系統，所有外力的功加上所有內力的功就等于系統動能的增量。 下面給出嚴格的推論。 2.1 單個質點動能定律假設質點 m 所受的合外力為 ，在 的作用下，質點 m 沿任意曲線從 A 點運動到 B 點。 質點在 A 點的速度為 v，在 B 點的速度為 v0質點系的動量定理表達式，即該路徑上的無限短位移。 那么外力所做的單元功為： (8) 采用自然坐標系，實際上有： (9) (注：t為切線方向，n為法線方向) 和： (注：ds為位移段 (10) 將(9)、(10)代入(8)可得： (注：) (11) 根據牛頓第二定理： (12) 將(12)代入(11)可得： (注：) (13)整個過程中所做的總功： (14) 即單個粒子的動能定律：對于單個粒子來說，所有外力所做的功等于粒子動能的增量。 2.2 粒子系統動能定律 同樣，假設系統由n個粒子m1,m2…,mn組成，對于第一個粒子m1，所有外力所做的功為W1，所有內力所做的功為w1，則利用動能定律(1 4) 對于單個粒子，我們可以得到： (15) 同樣，對于第二個……
