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課時作業14　萬有引力與航天(一)
時間：45分鐘

1．地球公轉軌道的半徑在天文學上常用來作為長度單位，叫做天文單位，用來量度太陽系內天體與太陽的距離．已知木星公轉的軌道半徑約5.0天文單位，請估算木星公轉的周期約為地球年(　C　)
A．3年 B．5年
C．11年 D．25年
解析：根據開普勒第三定律，有：R3木T2木＝R3地T2地，故T木＝T地 ?R木R地?3＝53×1年≈11年，C正確．
2．科學家發現太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運行一周所用的時間為1 200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100倍．假設該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓，僅利用以上兩個數據可以求出的量是(　A　)
A．該恒星與太陽的質量之比
B．該恒星與太陽的密度之比
C．該行星與地球的質量之比
D．該行星與地球表面的重力加速度之比
解析：根據萬有引力提供向心力可得GMmr2＝m2πT2r，解得M＝4π2r3GT2，所以可求出該恒星與太陽的質量之比，故A正確；由于不知該恒星與太陽的半徑之比，所以不能求出該恒星與太陽的密度之比，故B錯誤；根據萬有引力提供向心力可得GMmr2＝m2πT2r，解得的M是中心天體的質量，所以不能求出該行星與地球的質量之比，故C錯誤；根據公式mg＝GMmR2可知g＝GMR2，由于不知該行星與地球的半徑及質量關系，所以不能求出該行星與地球表面的重力加速度之比，故D錯誤．
3．1789年英國物理學家卡文迪許測出引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為“能稱出地球質量的人”．若已知引力常量為G，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，地球上一個晝夜的時間為T1(地球自轉周期)，一年的時間為T2(地球公轉周期)，地球中心到月球中心的距離為L1，地球中心到太陽中心的距離為L2，則下列說法正確的是(　B　)
A．地球的質量m地＝GR2g
B．太陽的質量m太＝4π2L32GT22
C．月球的質量m月＝4π2L21GT21
D．由題中數據可求月球、地球及太陽的密度
解析：若不考慮地球自轉，根據地球表面萬有引力等于重力，有Gm地mR2＝mg，則m地＝gR2G，故A錯誤；根據太陽對地球的萬有引力提供向心力，有Gm太m地L22＝m地4π2T22L2，則m太＝4π2L32GT22，故B正確；由題中數據無法求出月球的質量，也無法求出月球的密度，故C、D錯誤．
4．“玉兔號”月球車與月球表面接觸的第一步實現了中國人“奔月”的偉大夢想．若“玉兔號”月球車在月球表面做了一個自由落體實驗，測得物體從靜止自由下落h高度的時間t.已知月球半徑為R，自轉周期為T，引力常量為G，則(　D　)
A．月球表面重力加速度為t22h
B．月球第一宇宙速度為Rht
C．月球質量為hR2Gt2
D．月球同步衛星離月球表面高度為3hR2T22π2t2－R
解析：由自由落體運動規律得h＝12gt2，所以g＝2ht2，故A錯誤；月球的第一宇宙速度為近月衛星的運行速度，根據重力提供向心力得mg＝mv21R，所以v1＝gR＝2hRt2，故B錯誤；在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即mg＝GMmR2，所以M＝gR2G＝2hR2Gt2，故C錯誤；月球同步衛星繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力得GMm?R＋h?2＝m(R＋h)2πT2，解得h＝3hR2T22π2t2－R，故D正確．
5．(多選)公元2100年，航天員準備登陸木星，為了更準確了解木星的一些信息，到木星之前做一些科學實驗，當到達與木星表面相對靜止時，航天員對木星表面發射一束激光，經過時間t，收到激光傳回的信號，測得相鄰兩次看到日出的時間間隔是T，測得航天員所在航天器的速度為v，已知引力常量G，激光的速度為c，則(　AD　)
A．木星的質量M＝v3T2πG
B．木星的質量M＝π2c3t32GT2
C．木星的質量M＝4π2c3t3GT2
D．根據題目所給條件，可以求出木星的密度
解析：航天器的軌道半徑r＝vT2π，木星的半徑R＝vT2π－ct2，木星的質量M＝4π2r3GT2＝v3T2πG，知道木星的質量和半徑，可以求出木星的密度，故A、D正確，B、C錯誤．
6．2012年7月，一個國際研究小組借助于智利的甚大望遠鏡，觀測到了一組雙星系統，它們繞兩者連線上的某點O做勻速圓周運動，如圖所示．此雙星系統中體積較小成員能“吸食”另一顆體積較大星體的表面物質，達到質量轉移的目的，假設在演變的過程中兩者球心之間的距離保持不變，則在最初演變的過程中(　C　)

A．它們做圓周運動的萬有引力保持不變
B．它們做圓周運動的角速度不斷變大
C．體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度也變大
D．體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度變小
解析：對雙星M1、M2，設距離為L，圓周運動半徑分別為r1、r2，它們做圓周運動的萬有引力為F＝GM1M2L2，距離L不變，M1與M2之和不變，其乘積大小變化，則它們的萬有引力發生變化，A錯；依題意雙星系統繞兩者連線上某點O做勻速圓周運動，周期和角速度相同，由萬有引力定律及牛頓第二定律：GM1M2L2＝M1ω2r1，GM1M2L2＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝ω2L3G，M1r1＝M2r2，由此可知ω不變，質量比等于圓周運動半徑的反比，故體積較大的星體因質量減小，其軌道半徑將增大，線速度也增大，B、D錯，C對．
7．牛頓思考月球繞地球運行的原因時，蘋果偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它圍繞地球運動的力與拉著蘋果下落的力，是否都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律——二次方反比規律？因此，牛頓開始了著名的“月—地檢驗”．
(1)已知月球與地球的距離約為地球半徑的60倍，如果牛頓的猜想正確，請你據此計算月球公轉的向心加速度a和蘋果下落的加速度g的比值；
(2)在牛頓的時代，月球與地球的距離r、月球繞地球公轉的周期T等都能比較精確地測定，請你據此寫出計算月球公轉的向心加速度a的表達式；已知r≈3.84×108 m，T≈2.36×106 s，地面附近的重力加速度g取9.80 m/s2，請你根據這些數據估算比值ag；與(1)中的結果相比較，你能得出什么結論？
解析：(1)設月球的質量為m月，地球質量為M，根據牛頓第二定律有GMm月r2＝m月a
設蘋果的質量為m，地球半徑為R，根據牛頓第二定律有
GMmR2＝mg
由題意知r＝60R　聯立可得ag＝13 600
(2)由向心加速度的表達式得a＝v2r　其中v＝2πrT
聯立可得a＝4π2T2r　代入相關數據可得ag≈13 604
比較(1)中的結果，二者近似相等，由此可以得出結論：牛頓的猜想是正確的，即地球對月球的引力，地面上物體的重力，都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律——二次方反比規律．
答案：(1)13 600　(2)見解析

8．(2019?遼寧模擬)地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a；假設月球繞地球做勻速圓周運動，軌道半徑為r1，向心加速度為a1.已知引力常量為G，地球半徑為R.下列說法中正確的是(　A　)
A．地球質量M＝a1r21G
B．地球質量M＝aR2G
C．地球赤道表面處的重力加速度g＝a1r21GR2－a
D．加速度之比a1a＝R2r21
解析：月球圍繞地球轉，根據萬有引力提供向心力，有GMmr21＝ma1，得地球質量M＝a1r21G，A正確，B錯誤；在赤道處的物體，GMmR2－mg＝ma，解得g＝a1r21R2－a，C錯誤；對月球有GMmr21＝ma1，對地球赤道上的物體有GMmR2－mg＝ma，a1a≠R2r21，D錯誤，故選A.
9．(2019?江西贛州聯考)(多選)太陽系中某行星運行的軌道半徑為R0，周期為T0，但天文學家在長期觀測中發現，其實際運行的軌道總是存在一些偏離，且周期性地每隔t0時間發生一次最大的偏離(行星仍然近似做勻速圓周運動)．天文學家認為形成這種現象的原因可能是該行星外側還存在著一顆未知行星．假設兩行星的運行軌道在同一平面內，且繞行方向相同，則這顆未知行星運行軌道的半徑R和周期T是(認為未知行星近似做勻速圓周運動)(　BC　)
A．T＝t20t0－T0 B．T＝t0t0－T0T0
C．R＝R03t0t0－T02 D．R＝R03t0－T0t02
解析：行星的運行軌道發生最大偏離時，兩行星與太陽在同一直線上且位于太陽同一側，則有2πT0t0－2πTt0＝2π，解得未知行星的運行周期T＝t0t0－T0T0，故B正確，A錯誤．由開普勒第三定律有R30T20＝R3T2，解得R＝R03t0t0－T02，故C正確，D錯誤．
10．設地球是一質量分布均勻的球體，O為地心．已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零．在下列四個圖中，能正確描述x軸上各點的重力加速度g的分布情況的是(　A　)

解析：設地球的密度為ρ，在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有mg＝GMmR2，即g＝GMR2，由于地球的質量M＝43πR3ρ，所以地球表面重力加速度的表達式可寫成g＝4πGRρ3.根據題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，故在深度為R-x的井底，物體受到地球的萬有引力即為半徑等于x的球體在其表面產生的萬有引力，g＝4πGρ3x，即當xR時，g＝GMx2，g與x平方成反比，故A正確．
11．宇宙中有兩顆相距無限遠的恒星s1、s2，半徑均為R0.下圖分別是兩顆恒星周圍行星的公轉周期T2與公轉半徑r3的關系圖象，則(　B　)

A．恒星s1的質量大于恒星s2的質量
B．恒星s1的密度小于恒星s2的密度
C．恒星s1的第一宇宙速度大于恒星s2的第一宇宙速度
D．距兩恒星表面高度相同的行星，s1的行星向心加速度較大
解析：根據公式GMmr2＝m4π2T2r得M＝4π2r3GT2，r3T2越大，M越大，由題圖可以看出s2的質量大于s1的質量，故A錯誤；兩顆恒星的半徑相等，則它們的體積相等，根據M＝ρV，所以質量大的s2密度大，故B正確；根據萬有引力提供向心力，則GMmR20＝mv2R0，所以v＝GMR0，由于恒星s1的質量小于恒星s2的質量，所以恒星s1的第一宇宙速度小于恒星s2的第一宇宙速度，故C錯誤；距兩恒星表面高度相同的行星，它們的軌道半徑相等，它們的向心加速度a＝GMr2，所以s1的行星向心加速度較小，故D錯誤．
12．由于地球的自轉，物體在地球上不同緯度處隨地球自轉所需向心力的大小不同，因此同一個物體在地球上不同緯度處重力大小也不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點受到的重力大小之比約為299300，因此我們通常忽略兩者的差異，可認為兩者相等．而有些星球，卻不能忽略．假設某星球因為自轉的原因，一物體在該星球赤道上的重力與其在兩極點受到的重力大小之比為78，已知該星球的半徑為R.(引力常量為G)
(1)求繞該星球運動的同步衛星的軌道半徑r；
(2)若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，求該星球的密度ρ.
解析：(1)設物體質量為m，星球質量為M，星球的自轉周期為T，物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即
F萬＝GMmR2＝G極
物體在星球赤道上隨星球自轉時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力G赤，有F萬＝G赤＋Fn
因為G赤＝78G極，所以Fn＝18?GMmR2＝m2πT2R
該星球的同步衛星的周期等于星球的自轉周期T，則有
GMm′r2＝m′4π2T2r
聯立解得r＝2R.
(2)在星球赤道上，有78?GMmR2＝mg
解得M＝8gR27G
又因星球的體積V＝43πR3
所以該星球的密度ρ＝MV＝6g7GπR.
答案：(1)2R　(2)6g7GπR

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