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問題 5:開普勒定律
2022/1/4
定律
三定律
眉宇間,飛雪親吻著大地最后一絲秋色。
抬頭仰望,一片浩瀚星空,深藍(lán)的色彩點(diǎn)綴著夜的私語。
從宇宙到世間微塵,一切都是相連的,看不見,無聲無息,看不見……
如果影子不能在一起,那我愿星與你,在夢(mèng)里……
——格拉斯調(diào)香師
小時(shí)候,老師給我們講過牛頓在一棵果樹下發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的故事,一顆熟透的蘋果從樹枝上掉下來,雖然砸傷了牛頓,但也揭示了人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)。
工程趣話·第五期
我們體能測(cè)試立定跳遠(yuǎn)的時(shí)候,都希望引力消失一秒鐘,當(dāng)然這是不可能的,引力是宇宙間最基本的力,只要有兩個(gè)有質(zhì)量的物體,它們之間就一定存在引力。
在生活中,引力很常見,但多是地球“吸引”物體,人基本感覺不到引力的存在。但放眼宇宙,當(dāng)兩個(gè)物體是行星、恒星時(shí),它們之間的引力就變得非常巨大。這種力就像一根繩子,把兩個(gè)天體綁在一起,使行星圍繞恒星做周期性運(yùn)動(dòng)。
隨著我們年齡的增長(zhǎng)和知識(shí)的增加,我們知道行星的運(yùn)動(dòng)符合開普勒三大定律。
在中學(xué)時(shí),我們知道萬有引力定律結(jié)合曲線運(yùn)動(dòng)公式可以導(dǎo)出開普勒三大定律,而將萬有引力定律與開普勒定律結(jié)合起來,可以更加準(zhǔn)確的描述天體的運(yùn)動(dòng)。
在本期《趣味工程》中,我們將對(duì)萬有引力定律的推導(dǎo)過程以及開普勒三大定律和萬有引力定律的應(yīng)用進(jìn)行更深入的了解。比如,我們知道行星的軌道是橢圓形,那么我們能否利用開普勒三大定律推導(dǎo)出萬有引力定律呢?這是我們本期《趣味工程》要討論的問題之一。
由于篇幅有限,還有很多知識(shí)需要同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中去探索,事不宜遲,讓我們開始本期《有趣的工程》的討論吧!
目錄
行星的運(yùn)動(dòng)
①萬有引力定律
② 開普勒定律
有精力
①扭矩
② 動(dòng)量矩
③角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律
④ 有精力
#證明精神力量是一種保守力量
軌道微分方程-比奈公式
①利用比奈公式求軌道方程
②極坐標(biāo)系中的圓錐曲線方程
③ 利用能量準(zhǔn)則尋找軌道方程(可選)
開普勒定律和萬有引力定律
①利用開普勒三大定律和比奈公式,推導(dǎo)出萬有引力定律的數(shù)學(xué)形式
平方反比引力與穩(wěn)定性
① 適應(yīng)性與穩(wěn)定性的平衡
② 引力平方反比與圓形軌道的穩(wěn)定性
行星的運(yùn)動(dòng)
01
萬有引力定律
我們?cè)谥袑W(xué)的時(shí)候就學(xué)過,世界上的一切物體,大到天體,小到塵埃粒子,也就是一切有質(zhì)量的物體,都會(huì)受到一種力的作用,這種力就叫引力,這個(gè)定律就叫萬有引力定律。
這一偉大定律是由英國(guó)科學(xué)家牛頓發(fā)現(xiàn)的,后人根據(jù)牛頓的發(fā)現(xiàn)完善了萬有引力定律,設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)定了萬有引力常數(shù)G,并最終給出了萬有引力定律在國(guó)際單位制中的表達(dá)形式:
萬有引力定律可以用文字表達(dá)如下:
“任何兩個(gè)粒子在它們中心連線的方向上都存在吸引力。這種吸引力的大小與它們質(zhì)量的乘積成正比,與它們距離的平方成反比。它與兩個(gè)物體的化學(xué)成分和它們之間的介質(zhì)類型無關(guān)。”
--自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理
其實(shí)萬有引力定律的推導(dǎo)過程是一波三折的,歷史上,伽利略早在1632年就提出了離心力和向心力的初步設(shè)想,布里亞爾在1645年提出了萬有引力平方反比的設(shè)想,而萬有引力與相互作用物體質(zhì)量乘積成正比的設(shè)想,是從發(fā)現(xiàn)萬有引力平方反比定律到發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的必經(jīng)階段。
沿著離心力—向心力—重力—萬有引力這一概念的演進(jìn)順序,牛頓從1665年到1685年,用了整整二十年的時(shí)間,才最終提出了“萬有引力”的概念和術(shù)語。
1665年至1666年間,牛頓只利用了離心力定律和開普勒第三定律,因此只能證明圓形軌道上的引力平方反比關(guān)系,而不能證明橢圓軌道上的引力平方反比關(guān)系。1679年,他懂得了利用開普勒第二定律,但證明方法上沒有突破,停留在以前的水平。幾年后,牛頓基于開普勒第三定律、向心力定律以及極限和微積分等數(shù)學(xué)概念,用幾何方法證明了這個(gè)難題。
02
開普勒三大定律
開普勒定律是德國(guó)天文學(xué)家開普勒提出的行星運(yùn)動(dòng)三條定律。第一、第三定律發(fā)表于1609年,是開普勒根據(jù)天文學(xué)家第谷·布拉赫觀測(cè)火星位置得到的數(shù)據(jù)總結(jié)出來的;第三定律發(fā)表于1619年。這三條定律又稱為橢圓定律、面積定律、調(diào)和定律。
橢圓定律:所有行星繞太陽運(yùn)行的軌道都是橢圓形,太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。
面積定律:行星與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。
諧波定律:所有行星繞太陽公轉(zhuǎn)一周的時(shí)間的平方與其半長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的立方成正比,即:
此后,學(xué)者們對(duì)第一定律進(jìn)行了修改:
“所有行星(和彗星)的軌道都是以太陽為焦點(diǎn)的圓錐曲線?!?span style="display:none">jlg物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
只有當(dāng)行星的質(zhì)量遠(yuǎn)小于太陽時(shí),第二定律才是正確的。如果我們考慮到行星也吸引太陽,這就是一個(gè)二體問題。
修正第三定律的準(zhǔn)確表達(dá)式為:
其中m1,m2為兩顆行星的質(zhì)量,m0為太陽的質(zhì)量。
有精力
顧名思義,有向心力,即力有一個(gè)“力心”。
對(duì)于任何行星來說,它所受到的力主要都是太陽的引力,而這個(gè)引力的作用線也總是通過太陽的中心。對(duì)于人造衛(wèi)星來說也是如此,它所受到的力幾乎就只有地球的引力,而這個(gè)引力的作用線也總是通過地球的中心。
一般而言,如果力作用于運(yùn)動(dòng)粒子上時(shí),其作用線總經(jīng)過一個(gè)固定點(diǎn),我們就說作用于這個(gè)粒子上的力是向心力。向心力的大小一般是半徑r(粒子與力心之間的距離)的函數(shù),力的方向總是沿著粒子與力心的連線。凡是趨向于固定點(diǎn)的力都是吸引力,凡是遠(yuǎn)離固定點(diǎn)的力都是排斥力。
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扭矩
我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)杠桿問題的時(shí)候,引入了“杠桿臂”的概念,它指的是“從杠桿作用力的一端到杠桿所在直線所引的垂直線的長(zhǎng)度”。
我們知道,圖示杠桿的平衡條件是:
我們把
它被稱為 F1 和 F2 的力臂。我們乘以
它被稱為 F1 和 F2 的矩。以矢量積的形式,我們可以將矩寫為:
以半徑向量L的方向作為支點(diǎn)指向力的作用點(diǎn)。
勢(shì)頭
我們以與扭矩相同的方式定義角動(dòng)量。
假設(shè)有一物體以速度v運(yùn)動(dòng),我們?cè)谠撐矬w周圍選取一個(gè)參考點(diǎn)O,并過O畫一條軸l,該物體可看作一個(gè)質(zhì)量為m的點(diǎn)粒子。
半徑矢r的模數(shù)定義為粒子到軸線l的距離,r的方向是從軸線到粒子m。
所以m的角動(dòng)量為:
角矩定理和角矩守恒定律
高中的時(shí)候老師教過我們“力作用在粒子上一般會(huì)改變物體的動(dòng)量”。我們不妨猜測(cè),力作用在粒子上的瞬間也會(huì)改變粒子的動(dòng)量,因?yàn)樗鼈兪且灰粚?duì)應(yīng)的。那我們來驗(yàn)證一下這個(gè)猜測(cè)是否正確呢?
力矩 M 等于 r 和 F 的矢量積。為了找到力矩 M 的影響,我們將運(yùn)動(dòng)方程乘以位置矢量 r:
由兩邊可得:
由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)規(guī)律可知:
在動(dòng)作分析第二期中我們談到了:
即向量函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也是一個(gè)向量,且這個(gè)向量在該點(diǎn)處垂直于原向量,因此根據(jù)向量積的計(jì)算規(guī)則有:
然后我們得到:
所以,
如果將上式寫成分量表達(dá)式的形式,
然后我們有:
它可以寫成上面的形式,其中利用了行列式的知識(shí):
其中i,j,k分別為x,y,z方向的單位向量。利用向量相等時(shí),相應(yīng)分量系數(shù)也相等這一知識(shí),可以得到分量表達(dá)式。
因此,力矩確實(shí)可以改變動(dòng)量。這種關(guān)系稱為動(dòng)量定理,又稱角動(dòng)量定理。即“慣性系中質(zhì)點(diǎn)繞某一定點(diǎn)或定軸的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微分(導(dǎo)數(shù))等于作用于該質(zhì)點(diǎn)的力繞同一點(diǎn)或軸的力矩。”
如果以J表示角動(dòng)量,M表示力矩,則角動(dòng)量定理可以寫成:
其積分形式為:
我們把上式的右邊稱為沖量矩,因此,粒子的角動(dòng)量的變化量等于該時(shí)間內(nèi)外力賦予粒子的沖量矩。
如果一個(gè)粒子不受外力作用,那么對(duì)于該點(diǎn)來說,該粒子的角動(dòng)量是一個(gè)恒定的矢量。我們把這種關(guān)系稱為角動(dòng)量守恒定律,或者角動(dòng)量守恒定律。
補(bǔ)充完扭矩和角動(dòng)量相關(guān)的知識(shí)之后,我們可以繼續(xù)進(jìn)行心智方面的研究。
在向心力作用下,粒子總是在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),因?yàn)镕與位置矢量r共線,r×F=0,J為常數(shù)矢量。根據(jù)我們剛剛補(bǔ)充的知識(shí),粒子滿足角動(dòng)量守恒定律的條件。
中心力F的值一般是徑向矢量r的函數(shù),即:
或者
在直角坐標(biāo)系中,以力的作用點(diǎn)為原點(diǎn),以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面為xy平面,則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:
顯然,r2=x2+y2,m為粒子的質(zhì)量??梢姡蒙鲜龉絹硌芯肯蛐牧κ植环奖?。因此,我們可以嘗試用極坐標(biāo)系來研究這個(gè)問題。
在第二期中,我們提出了極坐標(biāo)系中粒子的加速度分量:
因此,我們可以在極坐標(biāo)系中寫出粒子的運(yùn)動(dòng)微分方程:
請(qǐng)注意,第二個(gè)公式可以簡(jiǎn)化為:
對(duì)兩邊進(jìn)行積分可得:
也可以寫成:
其中h為常數(shù)。現(xiàn)在我們來理解一下上述公式的物理意義。
在第二期中,我們給出了極坐標(biāo)中粒子的速度表達(dá)式:
因此動(dòng)量橫向分量的大小為:
徑向分量矢量的幅度為:
由于徑向分矢量經(jīng)過O點(diǎn),所以繞O點(diǎn)的動(dòng)量矩的大小為0,而繞O點(diǎn)的橫向分矢量的動(dòng)量矩的大小為
也是整個(gè)粒子到O點(diǎn)的動(dòng)量值,因此公式為:
也就是說,在極坐標(biāo)系中,離心動(dòng)量守恒定律有一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式。
事實(shí)上,對(duì)于有心力,外加力矩r×F=0,角動(dòng)量J是一個(gè)常數(shù)矢量,其分量當(dāng)然也是常數(shù)。
用心力動(dòng)量守恒定律代入運(yùn)動(dòng)微分方程第二方程,可得到以下方程組:
這是粒子在向心力作用下所要滿足的方程組。
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證明思想是一種保守的力量
要證明一個(gè)力是保守力,我們需要證明這個(gè)力所作的功與路徑無關(guān)。例如引力是保守力,引力也是保守力。接下來我們開始證明有心力也是保守力。
大腦所做的工作量是:
我們可以在極坐標(biāo)中分解力:
類似地,我們也可以對(duì)單元位移做同樣的分解:
因此,在極坐標(biāo)系中,所做功的表達(dá)式為:
在前面的討論中,我們得到:
然后積分可以簡(jiǎn)化為:
顯然,F(xiàn)(r)的原函數(shù)一定存在,所以定積分的值只和起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑r有關(guān),和路徑無關(guān)。(這里要和我們學(xué)過的定積分區(qū)分開來,因?yàn)锳、B表示位置,也就是說是在實(shí)際曲線上進(jìn)行積分運(yùn)算,r1、r2是對(duì)應(yīng)于位置的積分極限,相當(dāng)于把實(shí)際曲線上的積分搬到坐標(biāo)系軸上算圖像面積。所以,不管從A→B走什么路徑,對(duì)應(yīng)的積分極限都是相同的。又因?yàn)樵瘮?shù)一定存在,所以結(jié)果就是函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積,也就是積分結(jié)果總是一樣的。)
或者我們可以利用第三和第四階段旋度的知識(shí)來判斷該力是否為保守力,即判斷:
為了證明這個(gè)公式是否恒成立,我們?cè)谄矫鏄O坐標(biāo)系中寫出上面公式的各分量:
制作:
所以:
所以精神力量是一種保守的力量。
且必須有一個(gè)勢(shì)能V,使得精神力滿足:
去掉上式右邊的負(fù)號(hào)后,我們稱之為標(biāo)量場(chǎng)的梯度(梯度是函數(shù)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)的最大值所確定的矢量,它的大小就是該點(diǎn)方向?qū)?shù)的最大值。)
由于勢(shì)能差與原點(diǎn)無關(guān),因此我們可以:
此時(shí)勢(shì)能函數(shù)V當(dāng)然只是半徑向量r的函數(shù),即V=V(r)。至于機(jī)械能守恒定律,當(dāng)然也是成立的。其具體表達(dá)式為:
其中E是粒子的總能量,它是一個(gè)常數(shù)。
軌道微分方程-比奈公式
在第二節(jié)中,我們提出了質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程:
那么我們可以做出一個(gè)猜想:從這組方程出發(fā),能否解出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡方程r(θ)=r呢?
對(duì)于系統(tǒng)中的每個(gè)方程,我們可以解微分方程來獲得參數(shù)方程:
但很多時(shí)候我們無法推導(dǎo)出這樣的顯函數(shù),而只能將其表示為關(guān)于t的隱函數(shù)。
那么我們能否對(duì)上述公式進(jìn)行變形,推導(dǎo)出粒子的軌道微分方程呢?
其實(shí)是可以的,因?yàn)樵诹W(xué)問題中,為了求軌道方程,我們通常先求出運(yùn)動(dòng)定律,然后從運(yùn)動(dòng)定律中消去t。在有心力問題中,我們可以用另一種方法:先消去參數(shù)t,然后求出運(yùn)動(dòng)定律。
基于這個(gè)想法開普勒第三定律,我們不妨從方程組中消除角度量θ。
為了計(jì)算方便,我們通常做如下代入:
代入第二個(gè)方程,我們得到:
還因?yàn)椋?span style="display:none">jlg物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
代換
必須:
類似地,我們可以得到:
捆
代入第一個(gè)方程,我們得到:
此公式稱為比奈公式,當(dāng)F為引力時(shí),F(xiàn)為負(fù)數(shù),反之為正數(shù)。利用此公式,我們不僅可以求出已知力條件下的軌道方程,而且還可以由已知粒子在向心力作用下的軌道方程,求出向心力F(r)的具體形式。
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利用比奈公式求軌道方程
為了計(jì)算方便,我們把太陽和地球看作質(zhì)點(diǎn),設(shè)太陽的質(zhì)量為ms,行星的質(zhì)量為m。那么萬有引力定律告訴我們,太陽與行星之間的力可以寫成:
其中G為萬有引力常數(shù),k2=Gms是一個(gè)與行星無關(guān)、只與太陽有關(guān)的量,稱為太陽高斯常數(shù)。R為地心與日心之間的距離。將萬有引力定律代入比奈公式,可得:
現(xiàn)在:
如果我們訂購:
那么原公式就變成:
所以我們接下來的主要任務(wù)就是解這個(gè)微分方程。
如果我們訂購:
那么微分方程可以寫成:
我們將等式的兩邊乘以 ξ 的一階導(dǎo)數(shù),得到:
寫成積分形式即為:
利用分部積分的方法,可以完成上述積分并得到:
其中C為積分常數(shù),然后將dθ乘以兩邊并取平方根:
再次積分,我們得到:
因此我們可以得到:
這里的調(diào)整利用了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。
和:
或者:
其中A和θ0為兩個(gè)積分常數(shù),如果我們手動(dòng)旋轉(zhuǎn)調(diào)整極軸,可使θ0=0,則上式可簡(jiǎn)化為:
如果命令:
那么上面的公式可以寫成:
這是極坐標(biāo)中以焦點(diǎn)為原點(diǎn)的圓錐曲線方程。
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極坐標(biāo)中的圓錐曲線方程
高中時(shí)我們學(xué)過直角坐標(biāo)系下圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,那么在極坐標(biāo)系下它們的表達(dá)式會(huì)是什么樣的呢?
其實(shí),只利用幾何知識(shí)和簡(jiǎn)單的計(jì)算技巧,我們就可以推導(dǎo)出極坐標(biāo)系中圓錐曲線的方程(以橢圓為例)。
P為焦弦長(zhǎng)度的一半,r為焦點(diǎn)到曲線上某點(diǎn)的距離,半焦距為c,半長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為a,θ為r與x的夾角,則可寫出準(zhǔn)線方程:
將點(diǎn) (c, p) 代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)矩形方程:
得到:
因此我們可以將準(zhǔn)線寫成如下形式:
半焦距也可以寫成:
利用橢圓的第二個(gè)定義,我們可以得到方程(重點(diǎn)放在右邊):
簡(jiǎn)化一下,我們得到:
此時(shí)極坐標(biāo)系的原點(diǎn)即為右焦點(diǎn)。
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選擇
讀
★
利用能量標(biāo)準(zhǔn)尋找軌道方程
這一點(diǎn)還需要圍繞向心力的性質(zhì)展開討論。前面我們討論到,向心力是保守力。那么機(jī)械能守恒定律應(yīng)該成立。我們是否可以用總能量E作為判斷標(biāo)準(zhǔn)呢?現(xiàn)在我們就來討論一下這個(gè)問題。
當(dāng)然,前提是知道F(r)的形式,我們來試著求出勢(shì)能V(r)的具體形式。
如前面提到的:
在向心函數(shù)中,V只能是r的函數(shù),則:
所以:
取無窮大作為勢(shì)能零點(diǎn),則重力勢(shì)能為:
因此機(jī)械能守恒定律可以寫成:
現(xiàn)在,讓我們想辦法消除 dt 這個(gè)術(shù)語:
進(jìn)行以下轉(zhuǎn)換:
還因?yàn)椋?span style="display:none">jlg物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
將其代入機(jī)械能守恒定律,可得:
接下來我們分離變量并得到:
我們可以使用積分公式:
對(duì)原公式積分開普勒第三定律,可得:
然后解出 r,即:
使用標(biāo)準(zhǔn)方程:
比較一下你就會(huì)知道:
所以:
①E<0,e<1,軌道為橢圓。
②E=0,e=1,軌道為拋物線。
③E>0,e>1,軌道為雙曲線。
開普勒定律和萬有引力定律
前三節(jié)我們主要討論了向心力的性質(zhì)及其相關(guān)的應(yīng)用,并利用向心力的知識(shí)給出了質(zhì)點(diǎn)在向心力作用下的軌道微分方程——比奈公式。
所以在這一節(jié)中,我們將利用開普勒三大定律和比奈公式,嘗試推導(dǎo)萬有引力定律。
根據(jù)開普勒第二定律,單位時(shí)間內(nèi)徑向矢量掃過的面積A相等,即:
讓我們嘗試找到面積隨時(shí)間 t 變化的率的表達(dá)式:
P1、P2是行星軌道上相鄰的兩個(gè)位置,當(dāng)P1、P2特別接近時(shí),掃過的面積約等于三角形OP1P2'的面積,即:
但:
所以:
由已知條件可知:
如果它們都是常數(shù),那么行星繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒,也就是行星繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)所受的力矩為0,行星受到的力必定是向心力。
現(xiàn)在,根據(jù)開普勒第一定律我們得到:
軌道為橢圓,以右焦點(diǎn)為極點(diǎn),軌道方程為:
或者:
將此關(guān)系代入比奈公式,我們注意到:
所以:
所以:
上述公式表明,施加在行星上的力與其距離的平方成反比。
但是還有一個(gè)問題,公式里的系數(shù):
它不一定是常數(shù),也不代表該公式就是萬有引力定律。
所以我們還是要用開普勒第三定律。
我們使用之前得到的公式:
整合,我們得到:
當(dāng)徑向矢量掃整整個(gè)橢圓時(shí),A =πab,所需的時(shí)間為t,則:
和:
因?yàn)?span style="display:none">jlg物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
所以:
根據(jù)開普勒的第三定律,上述方程式的左側(cè)是與行星無關(guān)的常數(shù)。
如果:
然后,我們可以將重力寫為:
這是普遍重力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)。
平方重力和穩(wěn)定性
我想知道您是否曾經(jīng)有這個(gè)問題:為什么重力能夠滿足逆方法律?
實(shí)際上,要回答這個(gè)問題,我們只需要再次查找星空,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)太陽,月亮和星星在不斷移動(dòng),但它們并不是不規(guī)則的或不穩(wěn)定的。
這種穩(wěn)定在物理學(xué)中稱為平衡。
例如,如果在開放空間上有半球并將球放在頂部,則整個(gè)系統(tǒng)可以處于力平衡狀態(tài)。
但是這種平衡是不穩(wěn)定的,如果我們?cè)谒椒较蛏辖o球帶來了一個(gè)小的干擾,球?qū)⑹テ胶獠膱A柱體上滾下來。
但是,如果將球放入半圓形碗中,如圖所示:
無論干擾多么小,只要我們將球保留在碗中,它最終將達(dá)到平衡狀態(tài)。
我們將第一種平衡稱為適應(yīng)性平衡,第二種是穩(wěn)定的平衡。
因此,為了找出為什么重力遵守逆方法律,我們可以從行星軌道的穩(wěn)定性開始討論。
為了方便起見,我們討論了圓形軌道的穩(wěn)定性。
對(duì)于圓形軌道,參數(shù)為:
從高中知識(shí)中,這總是一個(gè)常數(shù),我們知道,如果軌道是圓形的,那么速度是平等的,也就是:
引入角度θ,我們得到:
或者:
因此,二階導(dǎo)數(shù)是:
替代雙折射公式:
當(dāng)粒子軌道是圓形軌道下的圓形軌道時(shí),在中心力的作用下應(yīng)滿足的方程式:
在:
它代表了每單位質(zhì)量顆粒上施加的吸引力。
接下來,讓我們探索對(duì)粒子的微小干擾是否會(huì)影響其運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。
讓初始值為:
顯然很滿意
引入騷亂:
我們可以將ξ及其在公式中的導(dǎo)數(shù)視為非常小的痕跡。
顯然,我們看不到結(jié)果,因此我們需要使用通用的泰勒公式將上述公式的右側(cè)擴(kuò)展到一個(gè)系列中:
請(qǐng)注意,由于ξ是無限量的數(shù)量,因此:
將類似的術(shù)語結(jié)合在一起,我們得到:
在:
采用一階跟蹤并引入常數(shù)
你可以
寫為:
C2是另一個(gè)常數(shù),其價(jià)值獨(dú)立于問題的性質(zhì)。
接下來,我們將研究C1不同值對(duì)微分方程解的影響。
我們訂購:
①當(dāng)C1
將雙方乘以ξ',我們得到:
同時(shí)集成雙方并使用零件公式的集成,我們得到:
現(xiàn)在:
簡(jiǎn)化:
取平方根并分開我們得到的變量:
不可缺少的:
完成上述集成,我們得到:
其中θ0是集成常數(shù),求解ξ產(chǎn)量:
擴(kuò)展由三角函數(shù)引起的公式,并使用A和B表示系數(shù):
然后,我們完成其他兩種情況的解決方案,并列出以下總解決方案:
只有當(dāng)C1> 0時(shí),ξ的表達(dá)在其他兩個(gè)表達(dá)式中的值才會(huì)隨著θ的增加而增加,并最終傾向于無窮大。
因此,滿足在圓形軌道上運(yùn)行的質(zhì)量點(diǎn):
當(dāng)時(shí),它將變得穩(wěn)定。
所以
在特殊情況下,我們考慮了重力和距離的n階段。
因此很容易得到:
而不是C1 >0獲得n <3。
因此,只有當(dāng)n = -1或n = 2時(shí),才能給出穩(wěn)定的圓軌道。
因此,重力可以符合正方形逆法律。
參考書目
①第四版的“理論力學(xué)教程” -Zhou
高等教育出版社
②第七版“高級(jí)數(shù)學(xué)” - 湯吉大學(xué)數(shù)學(xué)系
高等教育出版社
③“財(cái)富幾何”的第四版-Mei /Huang
高等教育出版社
④北京大學(xué)的“高級(jí)代數(shù)” - 數(shù)學(xué)部門的第五版
高等教育出版社
⑤第六版的“線性代數(shù)” - 湯吉大學(xué)數(shù)學(xué)系
高等教育出版社
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