引言
要是說起靜電場的話，那就必然得提及靜電場的兩條基本規(guī)律，也就是高斯定理以及環(huán)路定理，這兩大定理助力人們?nèi)娴孛枋隽颂幱谡婵罩械撵o電場，并且還衍生出了場強、電勢等重要的電場性質(zhì)，本文會從數(shù)學本質(zhì)方面對靜電場的基本規(guī)律展開剖析。
高斯定理
內(nèi)容
在靜電場里頭，存在著任意的閉合曲面，其電場強度通量是 (Phi_{e}) ，它等同于該曲面所圍住的電荷代數(shù)和的 (frac{1}{{0}}) 倍數(shù)，并且和曲面外面的電荷沒有關(guān)聯(lián)，也就是說 (Phi_{e}=iintvec{E}·dvec{S}=frac{1}{{0}}sum_{S內(nèi)}^{}{q}) ，在其中呢，閉合曲面的定向采用外側(cè)。
推導
高斯定理既然名為高斯定理，其推導必然與高斯公式緊密關(guān)聯(lián).
高斯公式：設(shè)有一空間有界區(qū)域 V ，它的邊界是 S ，若函數(shù) P（x，y，z）、Q（x高中物理靜電場公式，y，z）、R（x，y，z）以及其 的一階偏導數(shù)在 V 上是連續(xù)的 ，那么就有 iint_{S}left( P，Q，R right)·dvec{S}={V}left( frac{ P}{ x}+frac{ Q}{ y}+frac{ R}{ z} right)高中物理靜電場公式，這里邊界的定向選取外側(cè) 。
首先，去思考僅僅由單獨的一個點電荷 q 而生成產(chǎn)生形成引發(fā)的靜電場，緊接著，把此該這個點電荷當作作為視為認定為原點物業(yè)經(jīng)理人，基于依據(jù)按照根據(jù)由庫倫定律就有得出得到算出 (Phi_{e}=iintvec{E}·dvec{S}=frac{q}{4pi{0}}iintleft( frac{x}{r^{3}}，frac{y}{r^{3}}，frac{z}{r^{3}} right)·dvec{S}) 。
一點電荷處于閉合曲面之外時，上述式子符合高斯公式之使用條件呵，所以呢，電通量(Phi_{e})等于(frac{q}{4pi{0}})對(iiintleft( frac{r^{2}-3x^{2}}{r^{5}}+ frac{r^{2}-3y^{2}}{r^{5}}+ frac{r^{2}-3z^{2}}{r^{5}} right)進行積分的結(jié)果為零 。
點電荷處于閉合曲面以內(nèi)時，須留意，在原點位置，(frac{1}{r^{3}})并非連續(xù)，這種情形下，高斯公式不可運用，。
特別地，當閉合曲面是圍繞著原點作為圓心的球面之時，(frac{1}{r^{3}})成為常數(shù)，所以依據(jù)高斯公式能夠得到，(Phi_{e}=frac{q}{4pi{0}r^{3}})(iintleft( x，y，z right)·dvec{S})，(frac{q}{4pi{0}r^{3}})乘以某個值等于(frac{q}{{0}})，后面的表述不太清晰，無法準確完整改寫。
普遍來講，當閉合曲面屬于不規(guī)則曲面時，能夠采取“挖洞法”做進一步證明。于不規(guī)則曲面內(nèi)部挑選球面x2 + y2 + z2 =2，其中足夠小，在由球面以及不規(guī)則曲面所圍成的區(qū)域之內(nèi)運用高斯公式，有Φ? = q / (4π{0}) ?((r2 - 3x2) / r? + (r2 - 3y2) / r? + (r2 - 3z2) / r?) ，其結(jié)果等于0 。
上述區(qū)域的外側(cè)邊界，是由球面內(nèi)側(cè)構(gòu)成的，也是由不規(guī)則曲面外側(cè)構(gòu)成的，兩者組成了這個外側(cè)邊界，球面內(nèi)側(cè)與不規(guī)則曲面外側(cè)兩者的Phi_{e}之和為零，容易知道球面內(nèi)側(cè)的Phi_{e}=-frac{q}{{0}}，所以對于任意閉合曲面而言，其外側(cè)的Phi_{e}=frac{q}{{0}} 。
首先，對于靜電場，當其中存在多個電荷的情況，依據(jù)場強的疊加原理來講 ，最后，只需要把q替換為sum_{S內(nèi)}^{}{q} ，如此便能夠得到證明結(jié)果 。
應用
利用高斯定理可以較為方便地求出靜電場的場強分布.
舉例來說，去求那種電荷面密度是(sigma)，屬于均勻帶電的情況，并且是無限大的薄平板所產(chǎn)生的場強哦。
常規(guī)積分法：
先求均勻帶電且半徑為R的薄圓盤軸線上一點的場強
E等于從某一范圍進行積分得到的dE 等于(σ除以4π{e})對h除以根號下(r平方 + h平方) 再乘dS除以(r平方 + h平方)進行二重積分 ，其中r 代表電荷元到圓心的距離 ，h 表示軸線上一點到圓心的距離 。
把直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標，存在 E，它等于frac{sigma h}{4pi {0}}，對theta從0到2pi進行積分，再對r從0到R進行積分，積分式子為frac{r·dr}{left( r^{2}+h^{2} right)^{frac{3}{2}}}，其結(jié)果等于frac{sigma}{2 {0}}與(1-frac{h}{sqrt{R^{2}+h^{2}}})的乘積 。
在R遠遠大于h的這樣一種情形之下，就是那個E，再除以2{0}，它就等同于與一直處在均勻帶電狀態(tài)的、具有無限大特征表現(xiàn)的薄平板的場強了。
高斯定理法：
選取一個圓柱體的表面，將其作為閉合曲面，這個閉合曲面可以讓一塊無限大的薄平板去截該圓柱體，截完后能得到一個半徑為R的圓。
是因為電場線僅僅是從圓柱體的上下表面呈垂直狀態(tài)穿過，所以依據(jù)高斯定理得出，電通量(Phi_{e})等于(frac{sigmapi R^{2}}{{0}})，它又等于對電場強度矢量與面積元矢量點積的曲面積分(iintvec{E}·dvec{S})，而這個積分結(jié)果等于電場強度(E)乘以(2pi R^{2}) 。
解得 E=frac{sigma}{2{0}} .
環(huán)路定理
內(nèi)容
靜電場里，場強沿著任意閉合環(huán)路所做的線積分一直都等于零，也就是說，存在這樣一個等式，即對場強與矢量元位移做點積后在閉合路徑上進行積分的結(jié)果為零 ，也就是 ointvec{E}·dvec{l}=0 。
推導
因為涉及到第二型曲線積分，所以環(huán)路定理能夠借助斯托克斯公式加以證明。
存在一個斯托克斯公式，它是這樣規(guī)定的：設(shè)有一個以逐段光滑曲線L作為邊界的光滑可定向曲面S ，若存在函數(shù)P（x，y， z個有且只有一個） 、Q（x，y，z這三個字符所代表的特定函數(shù)） 、R（x，y，z這一函數(shù)） ，而且它們及其那些唯一的一個一階偏導數(shù)在S之上是連續(xù)的 ，那么就會有這樣一個等式 ：沿曲線L的閉合積分left( P，Q，R right)·dvec{l}等于對面S的二重積分left(frac{ R}{ y}-frac{ Q}{ z}right)dydz加上那種特定形式的積分 left(frac{ P}{ z}-frac{ R}{ x}right)dzdx再加上另一種特定形式的積分 left(frac{ Q}{ x}-frac{ P}{ y}right)dxdy ，這里面曲線L的方向與曲面S的法向量是依照右手螺旋法則來確定的 。
依照庫侖定律能夠輕易知曉，靜電場里頭隨便一處的場強大小單單跟該點的位置存在關(guān)聯(lián)，將其標記為E = E（r），所以，對(vec{E}·dvec{l})進行閉合曲線積分就等于對(left(Eleft( r right)·frac{x}{r}，Eleft( r right)·frac{y}{r}，Eleft( r right)·frac{z}{r}right)·dvec{l})進行閉合曲線積分 。
從斯托克斯公式(ointvec{E}·dvec{l}=0)，能夠得到證明，完畢 。
應用
電場力做功與路徑無關(guān)
假定存在某一個質(zhì)點，它分別順著兩條不一樣的路徑L?以及L?，從A點朝著B點進行運動，電場力所做的功分別是A?和A?，那么。
存在這樣一種情況，A?減去A?，它等于在L?上對向量E與向量dl做點積的積分，再減去在L?上對向量E與向量dl做點積的那個積分，而這又等于從A到B對向量E與向量dl做點積積分加上從B到A對向量E與向量dl做點積積分，另外還等于沿閉合路徑對向量E與向量dl做點積的積分，最終該結(jié)果等于零 。
因此電場力做功只跟始末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān).
不僅是這樣，對于任意存在的有心力而言，只要該有心力的大小僅僅是位置方面對應的函數(shù)，也就是說 F 等于 F 對 r 的函數(shù)關(guān)系時候，那么就都能夠得出做功與路徑?jīng)]有關(guān)聯(lián)的結(jié)論，這樣一種力被稱作保守力，庫侖力、彈力、萬有引力（重力）等都屬于保守力.
電勢及電勢能
伴隨著勢能的變化對應著保守力做功，而電勢能W的改變是由電場力做功所引發(fā)的 。
A等于能量變化量，能量變化量等于對電荷量與電場強度矢量點乘沿路徑積累的積分，不難發(fā)現(xiàn)，當確定零勢能面后，點電荷在某一點的電勢能與自身電荷量成正比，定義電勢為電勢能與電荷量的比值，零勢能面的電勢恒為零，而兩點間的電勢差被稱為兩點間的電壓，兩點間的電勢差等于電場強度矢量沿路徑積累的積分 。