應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題六化
高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常會(huì)出現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)題，令有些朋友無(wú)所適從，倘若能在求解時(shí)加以辨識(shí)、轉(zhuǎn)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題，就不難解了，以下是常用的幾種途徑。一、對(duì)照轉(zhuǎn)換，實(shí)際問題規(guī)范化如圖所示，甲、乙兩個(gè)容器等重，底面積相同，內(nèi)裝有同一深度的水，水平放置在桌面上，①比較甲、乙兩容器頂部遭到的壓力和浮力的大?。虎诒容^甲、乙兩容器對(duì)桌面的壓力和浮力的大??；
甲乙
這是一道有關(guān)容器頂部壓力和浮力的習(xí)題。由于容器底有兩個(gè)面，上表面和液體接觸，所以是液體的壓力和浮力問題；下表面和桌面接觸，所以是固體的壓力和浮力問題。解答這種問題，要反復(fù)用到公式P=F/S和P=ρgh。這么在比較其壓力和浮力時(shí)，其思路怎樣呢？從液體浮力公式P=ρgh可以看出，液體的浮力只跟液體的密度有關(guān)，跟液重?zé)o關(guān)，再由F=PS=ρghs可知物理中的升華和凝華的概念，液體對(duì)容器頂部的壓力也跟液重?zé)o關(guān)，所以比較液體對(duì)容器頂部的壓力和浮力時(shí)，不管容器的形狀怎樣，通常應(yīng)先由公式P=ρgh比較出液體對(duì)容器頂部的浮力，之后由公式F=PS比較其壓力。容器連同它所盛的液體都支承在椅子上，對(duì)椅子的壓力就等于它們的總重，而浮力則是單位面積上遭到的壓力。因而要比較容器對(duì)桌面的壓力和浮力，應(yīng)該比較它們對(duì)支承物的壓力，之后再由公式P=F/S比較其浮力。弄清這種問題的思路，問題也就迎刃而解了。二、抓住本質(zhì)，研究對(duì)象模型化如圖，一重為500牛，直徑為0.5米的車輪F置于高為30分米的臺(tái)階旁，車輪與臺(tái)階接觸A處是粗糙的。要想將車輪剛能開始向臺(tái)階上O滾，所用的最小力應(yīng)為多少？作用在何處？方向怎樣？G剖析：本題中隱蔽條件有：1車輪與臺(tái)階接觸處是粗糙的；2車輪剛能開始向臺(tái)階上滾即已知“地面對(duì)車輪的支持力為零”；3對(duì)車輪施以最小的力即已知所施力的力臂最長(zhǎng)；至此，已知條件皆已明晰，按照杠桿的平衡條件不難求解。
解：按照以上剖析，如圖所示，力作用于A點(diǎn)，且力的方向垂直于AO其大小可依照杠桿平衡條件得：F.2R=G.LL=R=0.5G=500牛，h=0.3米代人得：F=229牛再例如有諸如下：電熱器淋浴器分為儲(chǔ)水式和無(wú)水箱式兩種。儲(chǔ)水式淋浴器要用較長(zhǎng)時(shí)間把水箱中的水加熱，待溫度達(dá)到要求后用水箱中的冷水淋浴。無(wú)水箱式淋浴器使熱水流過電熱器就達(dá)到要求的體溫而立刻從噴嘴流出供淋浴。已知熱水的氣溫為16℃，淋浴所需的冷水水溫為38℃，淋浴所需冷水流量為4×10-3米3/分，水的比熱是4.2×103焦耳/（千克.℃），家庭電路容許通過的最大電壓為5A。請(qǐng)你借助以上數(shù)據(jù)通過估算說(shuō)明家庭中不宜使用無(wú)水箱式電熱淋浴器。剖析：本題是熱電綜合題，從題給條件可知，每秒鐘所需冷水的容積和每秒鐘所需冷水的質(zhì)量，因而求知每秒鐘將水加熱所需的熱量。從題目看，為說(shuō)明家庭中不宜使用無(wú)水箱式電熱淋浴器，可以從電壓考慮，看實(shí)際電壓是否超過容許通過的最大電壓5A。此題就弄成“要使流量為4×10-3米3/分的水從16℃升高到38℃，所需的家庭電路的電壓是多少？”解：每秒鐘所需加熱的水的質(zhì)量m=ρV=1.0×103千克/米3×(4×10-3×1/60)米3=6.67×10-2千克每秒鐘將水從16℃加熱到38℃所需的熱量Q=cm(t-t0)=4.2×103×6.67×10-2×(38-16)焦=6163焦由于P=UI所以I=P/U=Q/Ut=6163/220A=28A＞＞5A∴家庭不宜使用無(wú)水箱式電熱淋浴器。
三、細(xì)致剖析，模糊目標(biāo)清晰化例1煮飯至沸騰時(shí)，壺口的“白汽”是（）A)水蒸汽B)水汽C)小水珠D)水蒸汽和水的混和物剖析：初中中學(xué)生常選水蒸汽，但正確答案卻是小水珠。由于水蒸汽是一種無(wú)色無(wú)味的看不見的二氧化碳，而壺口的白汽是看得見的，它是水蒸汽遇冷液化而成的小水珠飄浮在空中。例2離開槍口的炮彈遭到（）力的作用。（空氣阻力忽視不計(jì)）A)只有重力B)有重力和推力C)有慣性D)不受力剖析：中學(xué)生常常選B，也有的選C，但正確答案是A；由于炮彈離開槍口后已不遭到手對(duì)它的力的作用。它之所以能運(yùn)動(dòng)是由于炮彈具有慣性，在空中它將編曲線運(yùn)動(dòng)，由于重力的影響。例3有一個(gè)銅坯料，在它澆鑄時(shí)所用的實(shí)心木模是12千克，木模的密度是0.6×103千克/米3。稱出這個(gè)坯料的質(zhì)量是175千克，按照這種數(shù)據(jù)判定這個(gè)銅坯料有沒有氣孔？剖析：本題待求的問題是“判斷銅坯料有沒有氣孔？”正確理解關(guān)鍵詞句“有無(wú)氣孔”是解題的關(guān)鍵所在。認(rèn)真剖析，不難發(fā)覺本題實(shí)際上是判定銅坯料是否實(shí)心的問題。歸根究竟是比較此坯料的密度與銅的密度大小的問題。若此坯料密度值恰為銅的密度，則實(shí)心，無(wú)氣孔。若大于銅的密度，則說(shuō)明此坯料必有氣孔。
解：銅坯料的容積即為木模的容積：V=V木=m/V=12/0.6×103=0.02(米3)則銅坯料的密度：ρ=m/V=175/0.02=8.75×103（千克/米3）因ρ銅=8.9×103（千克/米3）故說(shuō)明此坯料有氣孔。四、認(rèn)真辨識(shí)，題設(shè)條件明朗化冰裹著物體，懸浮在海面上，當(dāng)冰完全凝固以后，湖面是上升，增長(zhǎng)還是不變？這種題目多次在中學(xué)物體大賽題中出現(xiàn)，粗看上去比較難解，似有無(wú)從人手的覺得。是否真的無(wú)從人手，找不到判別方式呢？可通過以下例題來(lái)說(shuō)明問題：例1海面下浮有一大塊0℃的冰，冰中包有一實(shí)心的鐵塊，當(dāng)冰全部溶化以后，關(guān)于液面升降的'正確判定是：A)增長(zhǎng)B)不變C)上升D)難以判定剖析：由于壓強(qiáng)的大小等于物體排開液體的重力，所以判定液面的升降我們可以從包有石塊的冰溶化過程中，壓強(qiáng)大小變化去考慮；假如壓強(qiáng)減小，則排開液體的容積減小，即液面上升；假如壓強(qiáng)降低，則排開液體的容積增大，液面增長(zhǎng)；假如壓強(qiáng)不變，則排開液體容積不變，液面高度就不變。而總的壓強(qiáng)又可分為兩部份：冰和其中包的物體在冰溶化前后受的壓強(qiáng)。因?yàn)楸咳芑癁樗蟮娜莘e不影響海面的高低，只要看冰中所包含的物體，在冰溶化前后所受壓強(qiáng)是否變化，就很容易找到問題的答案。
上題中的石塊在冰中時(shí)，壓強(qiáng)等于它的重力，而冰溶化后石塊墜入容器的底，這時(shí)它所受的壓強(qiáng)大于重力。也就是它所受的壓強(qiáng)降低，造成總的壓強(qiáng)降低，因而排開的水的容積增大，湖面增長(zhǎng)。答案應(yīng)為A。由此可見，解這類題的鎖匙是考察壓強(qiáng)的變化。五、尋找聯(lián)系，實(shí)際問題物理化例1：請(qǐng)選出其中“熱”指的是“內(nèi)能”的反例：A)明天天氣很熱；B)熱運(yùn)動(dòng)；C)熱傳遞；D)磨擦生熱；中學(xué)數(shù)學(xué)中提及“熱”字的地方好多，并且“熱”在不同的地方它的涵義是不同的。常見的有三種情況：一是指氣溫，氣溫是表示物體冷熱程度的化學(xué)量?！敖裉焯鞖夂軣帷保弧拔矬w的熱膨脹”；“熱得燙手”；“熱運(yùn)動(dòng)”都指的是氣溫；二是指熱量；熱量是在熱傳遞過程中的一個(gè)數(shù)學(xué)量，它的實(shí)質(zhì)是在熱傳遞過程中能量轉(zhuǎn)移的數(shù)目。如“煤燃燒放出熱”；“銅是熱的良導(dǎo)體”；“熱傳遞”；“冰放熱會(huì)凝固”中的“熱”指的都是“熱量”。三是指內(nèi)能，它與分子的運(yùn)動(dòng)有關(guān)?！澳Σ辽鸁帷保弧跋臒峥梢宰鞴Α薄盁釞C(jī)”中的“熱”指的是“內(nèi)能”；所以本題的正確答案是D。例2：在下邊列出的現(xiàn)象中，屬于升華現(xiàn)象的是：A)秋天，冰淇淋周圍冒“白氣”；B)嚴(yán)寒的夏季，玻璃窗上結(jié)冰花；C)萘制的衛(wèi)生球日久變?。籇)秋天物理中的升華和凝華的概念，木盆外壁“出汗”；剖析：本題中的“冒白氣”`“出汗”`“結(jié)冰花”等都是生活語(yǔ)言，必須把它跟“蒸發(fā)”`“液化”`“凝華”`“凝固”等化學(xué)概念聯(lián)系上去。
冒“白氣”實(shí)質(zhì)上是冰淇淋周圍空氣中的水蒸汽遇冷“液化”成小水滴；玻璃上結(jié)冰是室外空氣中含的體溫較高的水蒸汽遇冷弄成固態(tài)的冰花，屬“凝華”現(xiàn)象；而木盆“出汗”是“液化”現(xiàn)象；只有衛(wèi)生球日久變小是“物質(zhì)從固態(tài)直接弄成氣態(tài)”，屬升華現(xiàn)象，故正確答案是C。六、加強(qiáng)基礎(chǔ)，克服思維定勢(shì)化例1:有仍然線行駛的車輛（列車或客輪），做一小實(shí)驗(yàn)，讓手中的小球下落，這么小球會(huì)落在A）A處B）B處C）C處CABD）未能判定中學(xué)生受思維定勢(shì)影響，盲目運(yùn)用過去的解題經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致選A的錯(cuò)解。若選A，需存在一前提，即車輛作勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，物體因?yàn)閼T性，要保持原先的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，物體在空中僅受重力作用，（空氣阻力忽視不計(jì)）。如無(wú)此條件，車輛可作加速直線運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)、減速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的答案分別是B、A、C。所以本題答案是D。再如有以下選擇題：使用機(jī)械效率高的機(jī)械一定（）A)省力B)省功C)省距離D)省時(shí)間對(duì)這道題，中學(xué)生因?yàn)槭芄Φ脑碇小安皇」Α钡挠绊?，選擇了除B以外的其他答案。雖然，正確答案恰恰是B?，F(xiàn)剖析如下：從機(jī)械效率的公式η=W有用/W總,可得W總=W有用/η。在使用不同的機(jī)械對(duì)物體作功時(shí)，由不省有用功（即做同樣多的有用功）可知，η高的機(jī)械所需的總功（即人們對(duì)機(jī)械做的功），比η低的機(jī)械要多些，即省些?？梢?，該題備選答案中的“省功”指的是省總功。其實(shí)，解答好化學(xué)題，不僅要有適當(dāng)?shù)姆绞酵猓€應(yīng)注意挖掘題中的蘊(yùn)涵條件；正確判定問題所處的知識(shí)范疇；并擅于將題中的日常語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為化學(xué)語(yǔ)言；即要擅于捉住問題的本質(zhì)。
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