然而，這種思維在定義點、線、面時會產生問題。 畢竟，如果給你一個點/線/面，你就不能直接用它做任何事情。 如果單獨放置一個點/線/面，它實際上會做什么？ 不。堅持這個想法你會得到類似“點沒有長度”/“直線是只有長度的物體，可以在同一方向上無限延伸”或“直線是由點向同一方向的運動。“軌跡”純粹是修辭性的描述。
此時你會覺得有些奇怪：但這不對啊！ 如果點/線/面什么都不是，那么我們在幾何學中做什么？ 幾何命題當然不是純粹修辭意義上的結果。 仔細回顧一下，我們在幾何中討論的命題實際上是點/線/面之間的關系。 例如，我們需要在推理中要求
通過兩個不同的點，只有一條直線。
或要求
通過直線外一點，存在且只有一條與已知直線平行的直線。
我們的推理是通過這些所謂的公理來促進的。 這些公理實際上描述了點/線/面之間的關系。 那么可以考慮的一個解決方案就是指定點/線/面之間的關系。 確定“點/線/面”代表什么。 也就是說，通過“調用相互關系R(A,B)、R(B,C)、R(C,A)(某一類型)滿足屬性P的對象實現A、B的定義什么叫一條線段， C”。 您可以看到，這無非是對原始解決方案的概括。
我們現在需要描述點/線/面之間的關系，例如“一點在一條直線上”/“兩條直線相交于一點”。 這時，幾何公理告訴我們這些關系滿足什么性質，比如“通過不同的兩點，存在且只有一條直線”等等。所以我們可以對點/線/面進行封裝和定義以及它們之間的關系，類似于以下方式：
幾何系統由以下部分組成：對象為A、B、C，關系為R(A,B)、R(B,C)、R(C,A)，使得這些關系滿足一系列公理P1 ，P2什么叫一條線段，...，Pn。
在幾何學中，這個框架被實現為幾何公理系統：希爾伯特公理_百度百科，'s。
當然，有了這樣的定義之后，還需要驗證這個定義是否良好，即公理之間的兼容性等（保證公理之間不互相矛盾）。 本系列內容可參見《The of》（有中譯本《希爾伯特幾何基礎》）。
這個時候，很多讀者可能還是一頭霧水：說了這么多，你還沒告訴我什么是點/線/面呢！
這是一個很常見的問題。 而我實在無法告訴你什么是“點/線/面”。 一個原因是你定義的時候一層層往回走，總有一些原來的概念很難理解。 這是通過直接告訴您它是什么來實現的。 我們在數學中所做的就是告訴你這些概念之間的關系是什么。 有了概念之間的關系，就可以完成推理。 本質上，對象本身“是什么”其實并不那么重要，重要的是它們之間的關系。 對于數學家來說，你把“空氣”/“土地”/“水”當作“點”/“線”/“面”也沒有問題（大概），只要推理規則不變，數學大廈本身沒有影響。
當然，并不是所有人都支持關于數學基礎的形式主義。 還有人對數學基礎提出了直覺主義等觀點。 然而，這可能不是一個數學問題（而是一個數學哲學問題）。 現在，我選擇不談論這個問題。
（PS我開始刷屏，中途點了提交，尷尬了。）