1、第五講角動量及角動量定理5-0 回顧回顧5-1 角動量的定義角動量的定義5-2 角動量定理角動量定理5-3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動5-0 回顧回顧功的定義：功的定義：動能動能質(zhì)點的動能定理：質(zhì)點的動能定理：勢能勢能質(zhì)點系的動能定理：質(zhì)點系的動能定理：W外外W內(nèi)內(nèi)EKB - EKA彈性勢能彈性勢能重力勢能重力勢能萬有引力勢能萬有引力勢能機械能機械能:EEk + EP 功能定律：功能定律： W外外 W非保內(nèi)非保內(nèi)EB EA機械能守恒定理：機械能守恒定理：若若 則則E=）（保內(nèi)非外
2、.1.角動量概念的引入角動量概念的引入0 CvMp總總因為該系統(tǒng)剛體速率為零，所以角動量定理積分表達式，系統(tǒng)總動量為零，由于該系統(tǒng)剛體速率為零，所以，系統(tǒng)總動量為零，系統(tǒng)有機械運動，總動量卻為零？系統(tǒng)有機械運動，總動量卻為零？說明不宜使用動量來量度轉(zhuǎn)動物體的機械運動量。說明不宜使用動量來量度轉(zhuǎn)動物體的機械運動量。問題：將一繞通過剛體的固定軸問題：將一繞通過剛體的固定軸轉(zhuǎn)動的圓盤視為一個質(zhì)點系，系轉(zhuǎn)動的圓盤視為一個質(zhì)點系，系統(tǒng)總動量為多少？統(tǒng)總動量為多少？C C M M* *引入與動量引入與動量 對應(yīng)的角量對應(yīng)的角量 角動量（動量矩）角動量（動量矩）pL動量對參考點（或軸）求矩動量對參考點（或軸）求矩
3、5-1 5-1 角動量的定義角動量的定義r定義定義：質(zhì)點對點的角動量為質(zhì)點對點的角動量為OrL)(角動量大小：角動量大小： -平行四邊形面積平行四邊形面積 LvLvm角動量方向：右手螺旋定則角動量方向：右手螺旋定則2 角動量的定義角動量的定義*質(zhì)點對某參考點的角動量反映質(zhì)點繞該參考點旋轉(zhuǎn)運動的強弱。質(zhì)點對某參考點的角動量反映質(zhì)點繞該參考點旋轉(zhuǎn)運動的強弱。（1 1）質(zhì)點對點的角動量，不但與質(zhì)點運動有關(guān)，）質(zhì)點對點的角動量，不但與質(zhì)點運動有關(guān)，且與參考點位置有關(guān)。且與參考點位置有關(guān)。討討 論論 以以A點為參考點，任意時刻點為參考點，任意時刻t，有，有21,.
4、mgt 00,().;rRr 其大小: 方向垂直向里 以以O(shè)為參考點，任意時刻的角動量為：為參考點，任意時刻的角動量為： ggrR （2 2）做勻速圓周運動時，由于）做勻速圓周運動時，由于 ，質(zhì)點對圓，質(zhì)點對圓心的角動量大小為：心的角動量大小為：質(zhì)點對圓心質(zhì)點對圓心O的角動量為恒量的角動量為恒量大小不變大小不變大小不變方向不變方向不變方向不變 r （3）圓錐擺）圓錐擺mv0 0rF()pFdt?dLdt1.
5、質(zhì)點質(zhì)點MrF定義：力對座標(biāo)原點定義：力對座標(biāo)原點O的扭力：的扭力： OFmrM方向：方向：大小：大小： 0| | | sin|力臂力臂 12LL t角動量定理的微分形式角動量定理的微分形式 若轉(zhuǎn)矩作用一段有限時間，則有質(zhì)點角動量定理的若轉(zhuǎn)矩作用一段有限時間，則有質(zhì)點角動量定理的積分方式：積分方式： 沖量矩沖量矩反映在一段時間內(nèi)扭矩的時間積累反映在一段時間內(nèi)扭矩的時間積累 質(zhì)點系的角動量：質(zhì)點系對給定參考點的質(zhì)點系的角動量：質(zhì)點系對給定參考點的角動量，等于各質(zhì)點對該參考點的角動量角動量，等于各質(zhì)點對該參考點
6、的角動量的矢量和，即的矢量和，即. 質(zhì)點系角動量定理：質(zhì)點系角動量定理：總外扭力總外扭力M外總內(nèi)扭力總內(nèi)力矩 M內(nèi)d 外內(nèi)外內(nèi)（）()ijf=？)( 內(nèi)內(nèi) jrr一對內(nèi)力一對內(nèi)力的扭矩和的扭矩和)(和0iiMM內(nèi)內(nèi)與質(zhì)點角動量定理方式一樣與質(zhì)點角動量定理方式一樣辯一辯：總外扭矩與合外力的扭矩的區(qū)別辯一辯：總外扭矩與合外力的扭矩的區(qū)別 )(ijji
7、外LM和外（ 都對同一點）都對同一點） iL jL k/ iMjM k3. 角動量定理的份量方式：角動量定理的份量方式： dtLLM dtLLM dtLL5-3 5-3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動1.1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量的大小為的大小為對對O O點的角動量為：點的角動量為：
8、 iii 定義：剛體繞軸轉(zhuǎn)動的定義：剛體繞軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量：剛體繞定軸的角動量質(zhì)心繞定軸的角動量zzLJ特例：質(zhì)點特例：質(zhì)點 irZ轉(zhuǎn)動平面對定軸轉(zhuǎn)動起作用的是對定軸轉(zhuǎn)動起作用的是扭力扭力 沿沿Z Z 軸份量軸份量 FrM對對O O 點的扭力：點的扭力：F2.2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的扭矩剛體定軸轉(zhuǎn)動的扭矩對軸的扭矩對軸的扭矩O大小：大小：方向：方向： 注注 ：在：在定軸動問題中，如不加說明，所指的定軸動問題中，如不加說明，所指的轉(zhuǎn)矩是指力在
9、轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩。力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩。FrM 只能導(dǎo)致軸的只能導(dǎo)致軸的變型變型, , 對轉(zhuǎn)動無貢獻對轉(zhuǎn)動無貢獻。1Fr轉(zhuǎn)動平面)(-力臂力臂。sinrd rF d轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對轉(zhuǎn)軸的扭力方向可用轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對轉(zhuǎn)軸的扭力方向可用+ +、- -號表示號表示d3.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量定理轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理討論：討論： （3 3）Jz 和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個
10、物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 動力矩不同。動力矩不同。 （2 2）Jz 和質(zhì)量分布有關(guān)；和質(zhì)量分布有關(guān)；（1 1）轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性大小的量度）轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性大小的量度試一試：由牛頓方程推出剛體定軸轉(zhuǎn)動定律試一試：由牛頓方程推出剛體定軸轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用牛頓第二定律，可得：應(yīng)用牛頓第二定律，可得：O 對質(zhì)心中任一質(zhì)量元對質(zhì)心中任一質(zhì)量元im- -外力外力iF- -內(nèi)力內(nèi)力 afF采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：O OzzMJ想一想：想一想：1. 對靜止質(zhì)心施以外力作用，如果合外力
11、為零，對靜止質(zhì)心施以外力作用，如果合外力為零，剛體會不會運動？剛體會不會運動？2.如果質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速率很大，那么假如質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速率很大，那么（1）作用在它前面的力是否很大？）作用在它前面的力是否很大？（2）作用在它前面的扭矩很大？）作用在它前面的扭矩很大？4. 轉(zhuǎn)動慣量的估算轉(zhuǎn)動慣量的估算2221 12 2zi rm r分立的質(zhì)點系：分立的質(zhì)點系：例例1 1：一可忽視質(zhì)量的輕質(zhì)平：一可忽視質(zhì)量的輕質(zhì)平面正方形框架，邊長為面正方形框架，邊長為a ，其四個頂點上分別有一個質(zhì)其四個頂點上分別有一個質(zhì)量為量為m m 的質(zhì)點，求此質(zhì)點系的質(zhì)點，求此質(zhì)點
12、系繞垂直于正方形平面且過其繞垂直于正方形平面且過其中心的軸中心的軸OZOZ的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。222)22(若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一個頂點若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一個頂點2224)2( 若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一邊中點若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一邊中點)2()2( zz解：解：例例2 2、求長為、求長為L L、質(zhì)量為質(zhì)量為m m的均勻細(xì)棒對圖中不同的均勻細(xì)棒對圖中不同 軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸的轉(zhuǎn)動慣量。A AB BL LX XA AB BL/2L/2L/2L/2C CX X解：取如圖座標(biāo)，解：取如圖座標(biāo)，dm=dm=
13、xJLLC/m 平行軸定理平行軸定理試一試：證明平行軸定理試一試：證明平行軸定理例例3 3、求質(zhì)量為求質(zhì)量為m m、半徑為直徑為R R、厚為厚為l l 的均勻圓盤的均勻圓盤 的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：解：任取直徑為任取直徑為r r 寬為寬為dr dr 的同心的同心細(xì)細(xì)圓環(huán)圓環(huán), , 轉(zhuǎn)動慣量與其長度轉(zhuǎn)動慣量與其長度 l 無關(guān)。所以，實心圓錐對其軸的無關(guān)。所以，實心
14、圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也轉(zhuǎn)動慣量也是是 一些均勻質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量表一些均勻質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量表桿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為何飛輪的質(zhì)量為何大都分布于外車鉤？大都分布于外車鉤？討論：討論：例題例題4 4 一輕繩越過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端一輕繩越過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為分別懸有質(zhì)量為m m1 1和和m m2 2的物體的物體1 1和和2 2，m m1 1 m m2 2 如圖所示。如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為設(shè)滑輪的質(zhì)量為m m ，半徑為，半徑為r r，所受的摩擦阻力矩為，所受的摩擦阻力矩為M M。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體
15、的加速度和繩的。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。張力。解解: :用隔離體法受力分析用隔離體法受力分析21T rTrMJ對對 aGTm a12,mm對滑輪對滑輪 aGTm aT rT rMJra 約束條件：約束條件：/ /2/ /2/當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及磨擦阻力矩即令m m=0=0、M M
16、=0=0時，有時，有1212 上題中的裝置叫阿特伍德機，是一種可拿來測上題中的裝置叫阿特伍德機，是一種可拿來檢測重力加速度量重力加速度g g的簡單裝置。因為在已知的簡單裝置。因為在已知m m1 1、 m m2 2 、r r和和J J的情況下，能通過實驗測出物體的情況下，能通過實驗測出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a a角動量定理積分表達式，再通過加速度把再通過加速度把g g算下來。在實驗中可使兩物體的算下來。在實驗中可使兩物體的m m1 1和和m m2 2相仿，從而使它們的加速度相仿，從而使它們的加速度a a和速率和速率v v都較小，都較小，這樣才能角精確地測出這樣就
17、能角精確地測出a a來。來。例題例題5 5 一直徑為一直徑為R R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m勻質(zhì)圓盤，平置于粗勻質(zhì)圓盤，平置于粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為 ，令，令圓盤最初以角速率圓盤最初以角速率 0 0繞通過中心且垂直大盤的軸旋繞通過中心且垂直大盤的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？r rR Rd dr r d d e e解：思路：解：思路：/Mddtt元質(zhì)量元質(zhì)量dm= rd dre，所遭到的阻力矩是，所遭到的阻力矩是r dmg 。想一想：質(zhì)量元還有更簡單的取法嗎？想一想：質(zhì)量元還有更簡單的取法嗎？ dm= 2rdre